2012年理数高考试题答案及解析-四川.doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（供理科考生使用） 参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径第一部分 （选择题 共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上2、本部分共12小题，每小题5分，共60分一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、的展开式中的系数是（ ）A、 B、 C、 D、[答案]D [解析]二项式展开式的通项公式为=，令k=2，则[点评]：高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.2、复数（ ）A、 B、 C、 D、[答案]B. [解析][点评]突出考查知识点，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以.3、函数在处的极限是（ ）A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于[答案]A [解析]分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.[点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。

4、如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）A、 B、 C、 D、 [答案]B [点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.5、函数的图象可能是（ ）[答案]C[解析]采用排除法. 函数恒过（1,0），选项只有C符合，故选C.[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用.6、下列命题正确的是（ ）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行[答案]C[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.7、设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）A、 B、 C、 D、且[答案]D[解析]若使成立，则选项中只有D能保证，故选D.[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.8、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。

若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）A、 B、 C、 D、[答案]B [解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=, [点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).9、某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元[答案]C[解析]设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得 利润为Z元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y且画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y可变形为Y= 这是随Z变化的一族平行直线解方程组 即A（4,4） [点评]解决线性规划题目的常规步骤：一列（列出约束条件）、二画（画出可行域）、三作（作目标函数变形式的平行线）、四求（求出最优解）.10、如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（ ）A、 B、 C、 D、[答案]A[解析] 以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，则A[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.11、方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A、60条 B、62条 C、71条 D、80条[答案]B[解析]方程变形得，若表示抛物线，则所以，分b=-3,-2,1,2,3五种情况：（1）若b=-3， ; （2）若b=3, 以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；同理当b=-2,或2时，共有23条； 当b=1时，共有16条.综上，共有23+23+16=62种[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.12、设函数，是公差为的等差数列，，则（ ）A、 B、 C、 D、[答案]D[解析]∵数列{an}是公差为的等差数列，且∴∴ 即 得∴[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.第二部分 （非选择题 共90分）注意事项：（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。

答在试题卷上无效2）本部分共10个小题，共90分二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分把答案填在答题纸的相应位置上13、设全集，集合，，则_______[答案]{a, c, d}[解析]∵ ； ∴{a,c，d}[点评]本题难度较低，只要稍加注意就不会出现错误.14、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________[答案]90º[解析]方法一：连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以，DN⊥平面A1MD1，又A1M平面A1MD1，所以，DN⊥A1D1，故夹角为90º方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴，建立空间直角坐标系D—xyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A1（2,0,2）故，所以，cos< = 0,故DN⊥D1M，所以夹角为90º[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决. 15、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。

[答案] [解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.16、记为不超过实数的最大整数，例如，，，设为正整数，数列满足，，现有下列命题：①当时，数列的前3项依次为5,3,2；②对数列都存在正整数，当时总有；③当时，；④对某个正整数，若，则其中的真命题有____________写出所有真命题的编号）[答案]①③④[解析]若，根据 当n=1时，x2=[]=3, 同理x3=, 故①对.对于②③④可以采用特殊值列举法：当a=1时，x1=1, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对.当a=2时，x1=2, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……xn=1, ……此时③④均对综上，真命题有 ①③④ .[点评]此题难度较大，不容易寻找其解题的切入点，特殊值列举是很有效的解决办法.三、解答题（本大题共6个小题，共74分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。

Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望[解析]（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1-P（C）=1-P= ，解得P=………………………………4 分 （2）由题意，P（=0）=P（=1）=P（=2）=P（=3）=所以，随机变量的概率分布列为：0123 P故随机变量X的数学期望为：E=0 ……………………12分.[点评]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.18、(本小题满分12分) 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形Ⅰ）求的值及函数的值域；（Ⅱ）若，且，求的值[解析]（Ⅰ）由已知可得： =3cosωx+又由于正三角形ABC的高为2，则BC=4所以，函数所以，函数……………………6分（Ⅱ）因为（Ⅰ）有 由x0所以，故 ………………………………………………………12分[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运。