2021-2022学年广西壮族自治区河池市老鹏中学高三数学理下学期期末试卷含解析.docx

2021-2022学年广西壮族自治区河池市老鹏中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（　　）A． B． C． D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，分别计算正方体和四棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：×1×1×=，故组合体的体积V=1﹣=，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．2. “a=﹣1”是“直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的（　　）A．充分不必要的条件 B．必要不充分的条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】两条直线垂直的判定．【分析】当a=﹣1时直线ax+（2a﹣1）y+1=0的斜率和直线3x+ay+3=0的斜率都存在，只要看是否满足k1?k2=﹣1即可．【解答】解：当a=﹣1时直线ax+（2a﹣1）y+1=0的斜率是，直线3x+ay+3=0的斜率是3，∴满足k1?k2=﹣1a=0时，直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直，∴a=﹣1是直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直的充分条件．故选A．3. 已知集合，则A∩B=（  ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】先化简集合A,B，再求A∩B得解.【详解】,所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4. 已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是（   ）A．                B．               C．             D．参考答案：C试题分析：因为定义域为的偶函数，所以，对任意正实数满足，所以，因为，所以，所以函数在上单调递增，所以在上单调递减，由不等式，所以或，解得或，故选C.考点：函数的奇偶性与单调性的应用；利用导数研究函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性与函数的单调性的应用，本题的解答中根据函数的奇偶性和利用导数判定函数的单调性，得出函数在上单调递增，所以在上单调递减，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题.5. 已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α； ②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β； ③若m、n是两条异面直线，m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是(     )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】平面与平面之间的位置关系． 【专题】证明题．【分析】①直线与平面的位置关系有三种：平行，相交，在平面内，此命题中n可能在平面α内，故①错误；②利用“垂直于同一条直线的两平面平行即可判断②正确；③利用线面垂直的判定定理，先证明平面β内有两条相交直线与平面α平行，再由面面平行的判定定理证明两面平行，③正确；④若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，由此性质定理即可判断④正确【解答】解：①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确③过直线m作平面γ交平面β与直线c，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，m?γ，γ∩β=c∴m∥c，∵m?α，c?α，∴c∥α，∵n?β，c?β，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，故选C【点评】本题综合考查了直线与平面的位置关系，面面平行的判定定理及结论，面面垂直的性质定理等基础知识6. 函数f（x）=Asin（2x+φ）（|φ|≤，A＞0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b）=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有f（x1+x2）=，则（　　）A．f（x）在（﹣，）上是减函数 B．f（x）在（﹣，）上是增函数C．f（x）在（，）上是减函数 D．f（x）在（，）上是增函数参考答案：B【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出函数f（x）的最小正周期，且b﹣a为半周期，再根据f（x1）=f（x2）时f（x1+x2）的值求出φ的值，从而写出f（x）的解析式，判断f（x）的单调性．【解答】解：∵f（x）=Asin（2x+φ），∴函数最小正周期为T=π；由图象得A=2，且f（a）=f（b）=0，∴?=b﹣a，解得b﹣a=；又x1，x2∈[a，b]，且f（x1）=f（x2）时，有f（x1+x2）=，∴sin[2（x1+x2）+φ]=，即2（x1+x2）+φ=，且sin（2?+φ）=1，即2?+φ=，解得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）在区间[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z上是单调增函数，∴f（x）在区间（﹣，）上是单调增函数．故选：B．7. 若定义在R上的偶函数满足，且当时，则函数的零点个数是（    ）A．0个           B．2个            C．4个            D．6个参考答案：C8. 将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则函数的单调增区间为（  ）A． B．C. D．参考答案：A9.   已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心参考答案：A略10. 若变量满足约束条件,则的最大值是（  ）A．        B．0          C．         D．参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 化简的结果为__________.参考答案：25略12. 已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为　　．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆柱的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入柱体的体积公式求解．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得，所以高，所以．故答案为：．【点评】本题考查圆柱的侧面积、体积公式，以及方程思想，属于基础题．13. 如果的展开式中各项系数之和为128，则含项的系数等于        　　．（用数字作答）参考答案：试题分析：根据题意，令可知展开式的各项系数和为，可知，所以所给的式子的展开式的通项为，令，解得，故该项的系数为.考点：二项式定理.14. 已知（，为常数），若对于任意都有，则方程在区间内的解为             . 参考答案：略15. 若实常数，则不等式的解集为        ．参考答案：16. 函数最小值是___________参考答案：略17. 给出下列不等式：， ， ，… ，则按此规律可猜想第n个不等式为        ．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线  平行直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,⑴求P0的坐标; ⑵若直线  , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.参考答案：解析：:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.又∵点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为 (－1,－4).⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4)∴直线l的方程为即.19. (1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈3，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．参考答案：(1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a＝0时，f(x)＝，满足对定义域上任意x，f(－x)＝f(x)，∴a＝0时，f(x)是偶函数；当a≠0时，f(1)＝a＋1，f(－1)＝1－a，若f(x)为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；若f(x)为奇函数，则1－a＝－(a＋1),1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数.(2)方法一 ：任取x1>x2≥3，f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－＝a(x1－x2)＋＝(x1－x2)(a－)．∵x1－x2>0，f(x)在3，＋∞)上为增函数，∴a>，即a>＋在3，＋∞)上恒成立．∵＋<，∴a≥． 方法二：用导数求解，简解如下： ，由题意得在3，＋∞)上恒成立，即在3，＋∞)上恒成立，令，而在3，＋∞)单调递减， 所以，，所以。

请酌情得分）20. （本小题满分14分） 已知函数在处取得极值为（1）求的值； （2）若有极大值28，求在上的最大值参考答案：(Ⅰ)因 故  由于 在点 处取得极值 故有即 ,化简得解得 (Ⅱ)由(Ⅰ)知  , 令 ,得当时,故在上为增21. 已知数列的前项和，数列满足  ．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的通项；（Ⅲ）若，求数列的前项和．参考答案：（Ⅱ）∵∴，，，……… 略22. 已知是函数的极值点.（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：函数存在唯一的极小值点，且.（参考数据：，，其中e为自然对数的底数）参考答案：(Ⅰ) (Ⅱ)见证明【分析】(Ⅰ)根据，求得实数的值，通过导数验证函数单调，可知时极值点为，满足题意；(Ⅱ)由(Ⅰ) 函数的极小点值位于 ，此时的零点位于，且此为的极小点值点，代入，中，化简即可得到关于的二次函数，求解二次函数在区间上的值域即可证明结论详解】解：(Ⅰ)因为，且 是极值点，所以，所以 . 此时 ，设 ，则 .则当 时， 为减函数.又，所以在时， ， 为增函数； 时， ，为减函数.所以为的极大值点，符合题意. （Ⅱ）当 时，，为增函数，且 ，所以存在 当 时， ，为减函数； 时， ， 为增函数，所以函数存在唯一的极小值点 . 又 ，已知 ，可得 ，所以，所以 ，且满足 .所以 . 其中也可以用如下方式证明： ，设 ，则.则当 时， ，为减函数；当 时，， 为增函数.所以 所以在 ，所以【点睛】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题。