(完整word版)高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解,推荐文档.doc

经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、 映射：(1)对映射定义的理解2)判断一个对应是映射的方法一对多不是映射，多对一是映射集合A, B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从 A-B的映射f:(x,y)— (x2+y2,xy)，求象(5, 2)的原 象.13•已知集合A到集合B={ 0, 1, 2, 3}的映射f:x」x| 1，贝煉合a中的元素最多有几个？写出元 素最多时的集合A.2、 函数构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法例1 设f(x)是一次函数，且f[f(x)] 4x 3，求f(x)配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f (x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式 时，常用配凑法但要注意所求函数 f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g(x)的值域例2已知f(x 1) x2丄(x 0)，求f(x)的解析式x x三、 换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求 f(x)的解析式与配凑法一样，要 注意所换元的定义域的变化。

例 3 已知 f (.、x 1) x 2、x，求 f (x 1)四、 代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法例4已知：函数y x2 x与y g(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式五、 构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过1解方程组求得函数解析式例5设f(x)满足f(x) 2f (-) x,求f(x)x1例6 设f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f (x) g(x) 一 ,试求f (x)和g(x)的解析式x 1六、 赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值, 使问题具体化、简单化，从而求得解析式例7 已知：f(0) 1,对于任意实数x、y，等式f(x y) f(x) y(2x y 1)恒成立，求f(x)七、 递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或 者迭代等运算求得函数解析式例8 设f(x)是N上的函数，满足f (1) 1，对任意的自然数a,b都有f(a) f (b) f (a b) ab，求 f(x)1、求函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3 )对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1；6.( 05江苏卷)函数y Jlog°.5(4x2 3x)的定义域为2求函数定义域的两个难点问题(1) 已知f (x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

2) 已知f(2x-1)的定义域是[-1,3],求f( x)的定义域例2设f (x) lg -―-，则f百 f (2)的定义域为 2 x 2 x2xxx变式练习：f(2 x) J4 x2，求f (仮)的定义域三、函数的值域1求函数值域的方法① 直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；② 换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；③ 判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y的取值范围；适合分母为二次且x€ R的分式;④ 分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);⑤ 单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥ 图象法：二次函数必画草图求其值域；⑦ 利用对号函数⑧ 几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域主要是含绝对值函数4.(直接法)y(△法)y2 1 2. f(x) 2 ,24 2x x2 3.(换元法)yx 2x 35 x2 1_5. y 4 x2 13x2x6.(分离常数法)①y xx 14) 7.(单调性)y3x 2x(x [1,3])& ①y 「x 1、x1,②11.(几何意义)y |x四.函数的奇偶性1 .定义2性质:9•(图象法)y 32 82x x ( 1 x 2)10 .(对勾函数)y 2x (x 4) x① y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于y轴对称,② 若函数f(x)的定义域关于原点对称，贝U f(0)=0③ 奇土畚奇偶±偶=偶奇乂奇=偶偶乂偶=偶y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称奇％偶=奇［两函数的定义域D1，D2, Dd D2要关于原点对称］1已知函数f(x)是定义在(,)上的偶函数.当x ( , 0)时，f(x) x x4，则当x (0, )时，f (x) .2x b2已知定义域为R的函数f(x) 是奇函数。

I)求a,b的值；(U)若对任意的2 at R，不等式f(t2 2t) f (2t2 k) 0恒成立，求k的取值范围；3已知f (x)在(一1,1 )上有定义，且满足x, y ( 1,1)有f(x) f (y) f (丄丄)，1 xy证明：f (x)在(一1，1)上为奇函数；4 若奇函数 f(x)(x R)满足 f(2) 1，f(x 2) f(x) f(2),则 f(5) 五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2设y f g x是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则y f g x在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，贝U y f g x在M上是增函数2例函数f (x)对任意的m,n R，都有f (m n) f (m) f(n) 1，并且当x 0时，f(x) 1 ，⑴求证：f(x)在R上是增函数； ⑵若f (3) 4，解不等式f(a2 a 5) 23函数y log°.1(6 x 2x2)的单调增区间是 (3a 1)x 4a x 14(高考真题)已知f(x) ' ' '是(，)上的减函数，那么a的取值范围是loga x,x 11 1 1 1(A) (0,1) (B) (0,-) (C) [-,-) (D) [-,1)3 7 3 7:函数单调性的证明1.取值2,作差r 口疋号4，结论:函数单调性的判定,求单调区间x2 2x2x 3x2 5x12x 3x2 4xIog2(x23x2)1x2 2x三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数f(x) x2 bx c对任意实数t都有f (2 t) f(t 2)，那么 A、 f(2) f(1) f (4) B、f (1) f (2) f(4)C、f (2) f (4) f (1) C、f(4) f (2) f(1)2•解不等式例：定义在(—1 , 1) 上的函数f (x)是减函数，且满足：f(1 a) f(a)，求实数a的取值范 围。

例：设-「•是定义在「I「上的增函数，—| ，且求满足不等式- ■' 二-的x的取值范围.3. 取值范围例：函数 畑在卜如］上是减函数，则口的取值范围是 例：若f(x) (3a 1)x 49 x 1是R上的减函数，那么a的取值范围是() logax x 11 1 1 1A. (0,1) b.(o,3) 57,3) D.［~,1)3 7 3 74. 二次函数最值 例：探究函数f (x) x2 2ax 1在区间0,1的最大值和最小值例：探究函数f(x) x2 2x 1在区间a,a 1的最大值和最小值5. 抽象函数单调性判断例：已知函数f (x)的定义域是(0,)，当x 1时，f(x) 0,且f(xy) f (x) f(y)⑴求f(1)，⑵证明f(x)在定义域上是增函数1 1⑶如果f(-) 1，求满足不等式f(x) f (——)> 2的x的取值范围3 x 22 例：已知函数 f(x)对于任意 x，y€ R，总有 f(x) + f(y)= f(x+y)，且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)=—-.(1) 求证：f(x)在R上是减函数；(2)求 f(x)在［—3,3］上的最大值和最小值.X1例：已知定义在区间(0，+^)上的函数f(x)满足f( ) = f(X1)— f(X2)，且当x>1时，f(x)<0.x2(1) 求 f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)= — 1，解不等式f(|x|)< — 2.六•函数的周期性：1. (定义)若f (x T) f(x)(T 0) f(x)是周期函数，T是它的一个周期。

说明：nT也是f (x)的周(推广)若f(x a) f(x b)，则f(x)是周期函数，b a是它的一个周期对照记忆f (x a) f (x a)说明：f(a x) f (a x)说明：1 i2 .若 f (x a) f (x) ; f (x a) ; f (x a) ;则 f (x)周期是 2af(x) f(x)1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)= — f(x),则,f(6)的值为(A)— 1 (B) 0 (C) 1 (D)22定义在R上的偶函数f(x)，满足f(2 x) f(2 x)，在区间］-2,0 ］上单调递减，设a f ( 1.5), b f(J2),c f (5)，贝U a,b,C 的大小顺序为 3已知f (x)是定义在实数集上的函数，且f(x 2) 1―3,若f(1) 2 込 则1 f (x)f (2005)= L4已知f(x)是(-， )上的奇函数，f(2 x) f (x)，当0 x 1时，f(x)=x，贝Uf(7.5)= 例11设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数 x恒满足f(2 x) f(x)，当x ［0,2］时f(x) 2x x2⑴求证：f(x)是周期函数；⑵当x ［2,4］时，求f(x)的解析式;⑶计算：湎+J①十/亦」打⑺2)七. 二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1、 已知函数f(x) 4x2 mx 5在区间［2,)上是增函数，则f(1)的范围是( )(A) f (1) 25 (B) f (1) 25 (C) f (1) 25 (D) f(1) 252、 方程mx2 2mx 1 0有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是 八. 指数式与对数式1.幕的有关概念(1)零指数幕a0(3)正分数指数幕mana 0,m, n N , n 1 ；(5)负分数指数幕1man1a 0, m, n N , n 1n m、a(6)0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.2 .有理数指数幕的性质r s r1 a a a a 0,r,ssQ 2 arars a 0,r,s Q3 ab3 .根式根式的性质:当 n是奇数，则n.ana ;当n是偶数，则nan0,b 0,r Qa 0a 04.对数(1)对数的概念:如果ab N(a 0,a(2) 对数的性质：①零与负数没有对数(3) 对数的运算性质1),那么b叫做以a为底N的对数，记b log a N(a 0,a 1)② log a 1 0 ③ log a a 1logMN=logM+logN对数换底。