[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟题线性代数(四).docx

[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟题线性代数(四)一、填空题问题:1. 1 设A是3阶矩阵，其特征值是1，2，-1，那么(A+2E)2的特征值是______．答案:9设矩阵A属于特征值λi的特征向量是αi，那么 (A+2E)αi=Aαi+2αi=(λi+2)αi， (A+2E)2αi=(A+2E)(λi+2)αi=(λi+2)(A+2E)αi=(λi+2)2αi． 由于αi≠0，故αi是矩阵(A+2E)2属于特征值(λi+2)2的特征向量，即矩阵(A+2E)2的特征值是9，16，1． 问题:2. 已知若矩阵A与αβT相似，那么(2A+E)*的特征值是______．答案:1,5,5记B=αβT，由于 所以矩阵曰的特征方程为 |λE-B|=λ3-2λ2=λ2(λ-2)=0， 即B的特征值是2，0，0．那么矩阵A的特征值是2，0，0，从而2A+E的特征值是5，1，1． 因此，|2A+E|=5·1·1=5．所以，(2A+E)*的特征值是1，5，5． 问题:3. 设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足 A4-3A3+3A2-2A=0．那么，矩阵A的n个特征值是______． 答案:2(r重)，0(n-r重) 设λ是矩阵A的任一特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即Aα=Aα，α≠0． 那么，Anα=λnα．于是有 (A4-3A3+3A2-2A)α=(λ4-3λ3+3λ2-2λ)α=0． 从而 λ4-3λ3+3λ2-2λ=0，即 λ(λ-2)(λ2-λ+1)=0． 因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以矩阵A的特征值只能是2或0．又因为实对称矩阵必可相似对角化，故 而r(A)=r(Λ)=r，从而矩阵A的特征值是2(r重)，0(n-r重)． 问题:4. 已知A是3阶实对称矩阵，若有正交矩阵P使得且α1=是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量，则P=______．答案: 因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量互相正交．设属于λ=-3的特征向量α3=(x1，x2，x3)T，则 评注 注意正交矩阵的几何意义，列向量应两两正客且长度为1．以往在用正交变化实对称矩阵为对角形的问题中，总有同学忘记正交化(若特征值有重根)或单位化，在枝节问题上丢分是非常可惜的． 问题:5. 已知有三个线性无关的特征向量，则a=______．答案:-10 先求矩阵A的特征值，由 知矩阵A的特征值是λ1=1，λ2=λ3=2． 因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，故λ=2必有两个线性无关的特征向量，那么秩r(2E-A)=1． 所以a=-10． 问题:6. 已知矩阵A第一行3个元素是3，-1，-2，又α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，0)T，α3=(1，0，1)T是矩阵A的三个特征向量，则矩阵A=______．答案: 设矩阵A的三个特征值依次为λ1，λ2，λ3，则 利用第1行相乘，可知λ1=0，类似可知λ2=λ3=1，那么 A(α1，α2，α3)=(0，α2，α3)． 所以 问题:7. 设二次型经正交变换化为标准形则a=______．答案:2 二次型矩阵与标准形矩阵分别是 问题:8. 若f(x1，x2,x3)=(ax1+2x2-3x3)2+(x2—2x3)2+(x1+ax2-x3)2是正定二次型，则a的取值范围是______．答案:由题设条件知，对任意的x1，x2，x3，恒有f(x1，x2，x3)≥0，其中等号成立的充分必要条件是 而上述齐次方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式 二、单项选择题问题:1. 已知α1是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量，α2和α3是矩阵A属于特征值λ=2的线性无关的特征向量，如果 ①P=(α3，-α2，2α1) ②P=(3α1，α3，α2) ③P=(α2，α2-α3，α1) ④P=(α3，α1+α2，α1) 那么正确的矩阵P是 A.①，②．B.①，③．C.②，③．D.②，④．答案:B是矩阵A的特征值，而α1，α2，α3依次分别是α1，α2，α3的特征向量． 根据特征值，特征向量的性质： 1°若α，β是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则kα+lβ(kl≠0)仍是矩阵A属于特征值λ的特征向量． 2°若α，β是矩阵A不同特征值的特征向量，则kα+lβ(kl≠0)就不是矩阵A的特征向量． 因为④中的α1+α2不是矩阵A的特征向量，而②中矩阵P的特征向量的排序与对角矩阵Λ中特征值的排序不协调，故②、④不正确，所以应选(B)． 三、分析论述题问题:1. 已知齐次方程组 同解，求a，b，c． 答案:解法一 设这两个方程组的系数矩阵分别为A和B，由Ax=0与Bx=0同解，知r(A)=r(B)．显然r(B)＜3，故|A|=0．于是由 得到方程组(Ⅰ)的通解：k(-1，-l，1)T，其中k为任意常数． 把x1=-k，x2=-k，x3=k代入方程组(Ⅱ)，得 解法二 因为Ax=0与Bx=0同解 问题:2. 已知齐次方程组 同解，求a，b，c之值并求它们的通解． 答案:和(Ⅱ)的系数矩阵分别是A和曰， a，b，c恒有r(A)=r(B)=2． 取x2，x4为自由变量，得到(Ⅰ)的基础解系 η1=(-1，1 -4，0)T， η2=(-a，0，-3a，1)T． 因为(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，故η1，η2是(Ⅱ)的基础解系．代入(Ⅱ)有 方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的通解均为k1(-1，1，-4，0)T+k2(2，0，6，1)T，其中k1，k2为任意常数．评注 请你用例11.1的解法二再做一遍． 问题:3. 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，秩r(A)=n，证明齐次方程组ABx=0与Bx=0同解．答案:设α是齐次方程组Bx=0的解，则Bα=0．那么ABα=A(Bα)=A0=0，即α是方程组ABx=0的解． 若α是齐次方程组ABx=0的解，则ABα=0，那么Bα是齐次方程组Ax=0的解．因为秩r(A)=n，所以Ax=0只有0解．故Bα=O．从而α是齐次方程组Bx=0的解． 因此ABx=0与Bx=0同解． 问题:4. 设A是m×n矩阵，如果齐次方程组Ax=0的解全是方程 b1x1+b2x2+…+bnxn=0 的解，证明向量β=(b1，b2，…，bn)可由A的行向量线性表出． 答案:因为Ax=0的解全是b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解，所以 若是矩阵A行向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组，那么也是α1，α2，…，αm，β的极大线性无关组．因此β可由线性表出，亦即β可由A的行向量线性表出．问题:5. 证明n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是ATx=0的解全是bTx=0的解．答案:因为方程组Ax=b有解，设α是Ax=b的一个解，即Aα=b，即 bT=(Aα)T=αTAT． 若η是ATx=0的任一个解，则ATη=0，那么 bTη=αTATη=αT0=0， 即η是bTη=0的解． (充分性)因为ATx=0的解全是bTx=0的解，所以ATx=0 与同解． 那么即r(A)=r(A，b)，因此方程组Ax=b有解．问题:6. 已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα-2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．答案:解法一 由于A3+2A2α-3Aα=0，有 A(A2α+2Aα-3α)=0=0(A2α+2Aα-3α)． 因为α，Aα，A2α线性无关，故必有A2α+2Aα-3α≠0．所以λ=0是A的特征值，而k1(A2α+2Aα-3α)(k1≠O)是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量． 类似地，由A3α+2A2α-3Aα=0，有 (A-E)(A2α+3Aα)=0=0(A2α+3Aα)， (A+3E)(A2α-Aα)=0=0(A2α-Aα)． 所以，λ=1是A的特征值，而k2(A2α+3Aα)(k2≠0)是属于λ=1的特征向量；λ=-3是A的特征值，而k3(A2α-Aα)(k3≠0)是属于λ=-3的特征向量． 解法二 由A(α，Aα，A2α)=(Aα，A2α，A3α)=(Aα，A2α，3Aα-2A2α) 知矩阵B的特征值是0，1，-3，亦即A的特征值是0，1，-3． 由(0E-B)x=0得基础解系β1=(-3，2，1)T； (E-B)x=0得基础解系β2=(0，3，1)T； (-3E-B)x=0得基础解系β3=(0，-1，1)T． 如Bβ=λβ 有(P-1AP)β=λβ，即 A(Pβ)=λPβ．所以 问题:7. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，其中α1是齐次方程组Ax=0的解，又知Aα2=α2+2α2，Aα3=α1-3α2+2α3． (Ⅰ) 求矩阵A的特征值与特征向量； (Ⅱ) 判断A是否和对角矩阵相似并说明理由； (Ⅲ) 求秩r(A+E)． 答案:据已知条件，有 所以矩阵B的特征值是2，2，0，亦即矩阵A的特征值是2，2，0． 对应于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-B)x=0得基础解系ξ1=(1，2，0)T． 如果Bα=λα，则(P-1AP)α=λα，有A(Pα)=λ(Pα)，那么是矩阵A对应于特征值λ=2的特征向量． 又Aα1=0=0α1，知α1是矩阵A对应于特征值λ=0的特征向量． 从而矩阵A对应于λ1=λ2=2的特征向量是k1(α1+2α2)，k1≠0； 矩阵A对应于λ3=O的特征向量是k2α1，k2≠0． (Ⅱ)因为秩r(2E-B)=2，矩阵曰对应于λ1=λ2=2只有一个线性无关的特征向量，矩阵B不和对角矩阵相似，所以A不和对角矩阵相似． (Ⅲ)因为A-B，有A+E-B+E．从而r(A+E)=r(B+E)=3． 问题:8. 已知矩阵与对角矩阵Λ相似，求a的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP=Λ．答案:由 =(λ+1)(λ-3)2=0， 得到矩阵A的特征值 λ1=λ2=3，λ3=-1． 由矩阵A的特征值有重根，而A与对角矩阵相似，可知λ=3必有2个线性无关的特征向量，因而秩r(3E-A)=1．于是由 问题:9. 已知矩阵试求可逆矩阵P，使P-1AP=B 分析 因为A和B均与对角矩阵相似，可有 答案:由得到矩阵A的特征值：λ1=λ2=0，λ3=1． 对应于λ1=λ2=0，解齐次线性方程组(0E-A)x=0，得基础解系： 。