函数的单调性和奇偶性.doc

2.3 函数的单调性和奇偶性[教学目的] ⒈使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤；⒉使学生了解奇函数、偶函数的概念，掌握判断函数奇偶性的方法.[重点难点] 重点：函数的单调性、奇偶性的有关概念；难点：证明或判断函数的单调性或奇偶性.[教学设想] 1.教法: 2.学法: 3.课时:4课时§ 函数的单调性[教学目的] 使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数的增减性的方法；[重点难点] 重点：函数单调性的有关概念；难点：证明或判断函数的单调性.一、复习引入 ⒈ 复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数y=x2和y=x3的图象. y=x2的图象如图1，y=x3的图象如图2.⒉ 引入：从函数y=x2的图象〔图1〕看到：图象在y轴的右侧局部是上升的，也就是说，当x在区间[0，+)上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大，即如果取x1,x2∈[0，+)，得到y1=f(x1),y2=f(x2),那么当x1y2.这时我们就说函数y=x2在(-,0)上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、学习、讲解新课 ⒈ 增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2.⑴假设当x1(fx2),那么说f(x) 在这个区间上是减函数〔如图4〕.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2〔图1〕，当x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数.⒉ 单调性与单调区间假设函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有〔严格的〕单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数〔或减函数〕，例如，图5中，在x1,x2那样的特定位置上，虽然使得f(x1)<(fx2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x1)<(fx2) 或f(x1)>(fx2) 〞改为“f(x1)(fx2) 或f(x1)(fx2)〞即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，假设单调函数的图象上升，那么为增函数，图象下降那么为减函数.⒊ 例题评价例1 图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 解：函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y=f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.练习：课本P60练习：1.答案：f(x)的单调区间有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；f(x)在区间[-2,-1]，[0,1]上是增函数，在区间[-1,0]，[1,2]上是减函数.g(x)的单调区间有[-,-/2]，[-/2,/2]，[/2,]；g(x)在区间[-,-/2]，[/2，]上是减函数，在区间[-/2，/2]上是增函数.说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增〔减〕函数的定义进行证明，下面举例说明.例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x10,即 f(x1)>f(x2).∴f(x)=-3x+2在R上是减函数.例3 证明函数f(x)=1/x在(0,+)上是减函数.证明：设x1,x2是(0,+)上的任意两个实数，且x10,又由x10 ,于是f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).∴f(x)=1/x在(0,+ )上是减函数.练习：判断函数f(x)=1/x在(-，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论.解：设x1,x2∈(-，0)，且x10,又由x10 , ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).∴f(x)=1/x在(-，0)上是减函数.能否说函数f(x)=1/x在(-，+)上是减函数？答：不能. 因为x=0不属于f(x)=1/x的定义域.说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出一种猜测，然后通过推理的方法，证明这种猜测的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.⒋ 目标检测⑴ 判断函数f(x)=kx+b在R上的单调性，并说明理由.⑵ 课本P60练习：4.解：⑴设x1,x2∈R，且x10，又x10,即 f(x1)>f(x2).∴f(x)=kx+b在R上是减函数.⑵设x1,x2∈(0,+)，且x10，x1-x2<0，∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)0,即 f(x1)>f(x2).∴f(x)=x2-5x+6在(-,5/2]上是减函数.类似地，可以证明f(x)在[5/2,+)上是增函数.⑵f(x)=-x2+9的图象是以(0,9)为顶点、y轴为对称轴、开口向下的一条抛物线〔如图〕；它的单调区间是(-,0]与[0,+)，它在(-,0]上是增函数，在[0,+)上是减函数. 证明：设x10，∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)0时，函数y=mx+b在(-，+)上是增函数；⑵当m<0时，函数y=mx+b在(-，+)上是减函数.⒉函数y=k/x (k0)y=kx (k0)k>0k<0k>0k<0单调区间{x|x0}{x|x0}(-，+)(-，+)单调性减函数增函数增函数减函数⒊⑴当a>0时，函数y=ax2在(0，+)上是增函数；⑵当a<0时，函数y=ax2在(0，+)上是减函数.二、学习、讲解新课 ⒈课堂练习：课本P64-65习题2.3: 5，6. 补充题：求函数f(x)=x2-2ax+3在(-2,2)内的单调性.⒉教师巡回，根据学生中出现的共性问题，进行矫正讲解，重点放在证明函数单调性的方法步骤上.答案与提示：习题5：设x10，x22+x1x2+x12>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).∴f(x)=-x3+1在(-,0)上是减函数.当x∈(0,+)时，f(x)=-x3+1也是减函数，证法同上.习题6： ⑴设x1