新编高三数学理高考总复习：板块命题点专练六 Word版含解析.doc

板块命题点专练（六）命题点一　简单的三角恒等变换命题指数：☆☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题、解答题1．(20xx·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)A．－　　　　　　　　 B．C．－ D．解析：选D　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D．2．(20xx·全国甲卷)若cos＝，则sin 2α＝(　　)A． B．C．－ D．－解析：选D　因为cos＝，所以sin 2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－．3．(20xx·全国丙卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)A．－ B．－C． D．解析：选D　∵cos 2θ＝＝，又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝．4．(20xx·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________．解析：由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝ ＝．tan＝tan＝－＝－＝－×＝－．答案：－5．(20xx·全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．解析：由θ在第二象限，且tan＝，得sin＝－，故sin θ＋cos θ＝sin＝－．答案：－6．(20xx·四川高考)已知A，B，C为△ABC的内角，tan A，tan 是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．(1)求C的大小；(2)若AB＝3，AC＝，求p的值．解：(1)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，所以p≤－2或p≥．由根与系数的关系，有tan A＋tan B＝－p，tan Atan B＝1－p，于是1－tan Atan B＝1－(1－p)＝p≠0，从而tan(A＋B)＝＝－＝－．所以tan C＝－tan(A＋B)＝，所以C＝60°．(2)由正弦定理，得sin B＝＝＝，解得B＝45°或B＝135°(舍去)．于是A＝180°－B－C＝75°．则tan A＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋．所以p＝－(tan A＋tan B)＝－(2＋＋1)＝－1－．命题点二　解三角形命题指数：☆☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题、解答题1．(20xx·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)A． B．C．2 D．3解析：选D　由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D．2．(20xx·全国丙卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)A． B．C．－ D．－解析：选C　法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a．∴cos A＝＝＝－．故选C．法二：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a．在Rt△ABD中，由勾股定理得，AB＝ ＝a．同理，在Rt△ACD中，AC＝ ＝a．∴cos A＝＝－．3．(20xx·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)A．5 B．C．2 D．1解析：选B　由题意可得AB·BC·sin B＝，又AB＝1，BC＝，所以sin B＝，所以B＝45°或B＝135°．当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°．由余弦定理可得AC＝＝．4．(20xx·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．解析：因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝．又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝×＝．答案：5．(20xx·全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m．解析：在△ABC中，AC＝100 m，在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，解得MA＝100 m，在△MNA中，MN＝MA·sin 60°＝150 m．即山高MN为150 m．答案：1506．(20xx·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c．(1)求C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，即2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C．可得cos C＝，所以C＝．(2)由已知得absin C＝．又C＝，所以ab＝6．由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25．所以△ABC的周长为5＋．7．(20xx·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．解：(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD．因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC．由正弦定理，得＝＝．(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝．在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC．故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6．由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1．命题点三　三角函数与解三角形的综合问题命题指数：☆☆☆☆难度：高、中题型：解答题1．(20xx·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csinB．(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得，sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B．又B∈(0，π)，所以B＝．(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac．由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos．又a2＋c2≥2ac，故ac≤＝4＋2，当且仅当a＝c时等号成立．因此△ABC面积的最大值为(4＋2)＝＋1．2．(20xx·山东高考)设f(x)＝sin xcos x－cos2x＋．(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．解：(1)由题意知f(x)＝－＝－＝sin 2x－．由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z)．(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，由题意知A为锐角，所以cos A＝．由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．因此bcsin A≤．所以△ABC面积的最大值为．。