2021年高考数学压轴题100题精选【含答案】.doc

2021年高考数学压轴题100题精选一、立体几何多选题1．如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）A．与所成角的余弦值为B．过三点、、的正方体的截面面积为C．四面体的内切球的表面积为D．正方体中，点在底面（所在的平面）上运动并且使，那么点的轨迹是椭圆AB【分析】构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角为与所成角的余弦值判断A的正误；同样设结合向量夹角的坐标表示，且由等角的余弦值相等可得，进而判断P的轨迹知D的正误；由立方体的截面为梯形，分别求，进而得到梯形的高即可求面积，判断B的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r，进而求内切球表面积，判断C的正误.【详解】A：构建如下图所示的空间直角坐标系：则有：，∴，，故正确.B：若N为的中点，连接MN，则有，如下图示，∴梯形AMND’为过三点、、的正方体的截面，而，可得梯形的高为，∴梯形的面积为，故正确.C：如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，∴，而四面体的棱长都为，有表面积为，∴若其内切圆半径为，则有，即，所以内切球的表面积为.故错误.D：正方体中，点在底面（所在的平面）上运动且，即的轨迹为面截以AM、AP为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线，构建如下空间直角坐标系，，若，则， ∴，，即，整理得，即轨迹为双曲线的一支，故错误.故选：AB关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.2．如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB＝8，把△ADE沿着DE翻折至A'DE位置，使得二面角A'-DE-B为60°，则下列选项中正确的是（ ）A．点A'到平面BCED的距离为3B．直线A'D与直线CE所成的角的余弦值为C．A'D⊥BDD．四棱锥A'-BCED的外接球半径为ABD【分析】作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.利用线面垂直的判定定理判定CD⊥平面A'MN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到到平面面BCED的高A'H,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC,经过计算求解可得半径从而判定D.【详解】如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.则A'M⊥DE,MN⊥DE, ,∵∩MN=M,∴CD⊥平面A'MN,又∵CD⊂平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC,在平面A'MN中作A'H⊥MN,则A'H⊥平面BCED,∵二面角A'-DE-B为60°，∴∠A'EF=60°，∵正三角形ABC中，AB=8,∴AN=,∴A'M=2,∴A'H=A'Msin60°=3，故A正确；连接DN,易得DN‖EC,DN=EC=4,∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，DN=DA'=4,A'N=A'M=2,cos∠A'DN=,故B正确；A'D=DB=4,A'B=,∴,∴A'D与BD不垂直，故C错误’易得NB=NC=ND=NG=4，∴N为底面梯形BCED的外接圆的圆心，设四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC,若O在平面BCED上方，入图①所示：设ON=x,外接球的半径为R,过O作A'H的垂线，垂足为P,则HP=x,易得,解得,舍去；故O在平面BCED下方，如图②所示：设ON=x,外接球的半径为R,过O作A'H的垂线，垂足为P,则HP=x,易得, 解得,∴,,故D正确.故选:ABD.本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.3．在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（含边界）一点．（ ）A．若，则满足条件的P点有且只有一个B．若，则点P的轨迹是一段圆弧C．若平面，则长的最小值为D．若且平面，则平面截正方体外接球所得截面的面积为ABD【分析】选项A，B可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面平面，知满足平面的点P在BD上，长的最大值为；结合以上条件点P与B或D重合，利用，求出，进而求出面积.【详解】对A选项，如下图：由，知点P在以为球心，半径为的球上，又因为P在底面ABCD内（含边界），底面截球可得一个小圆，由底面ABCD，知点P的轨迹是在底面上以A为圆心的小圆圆弧，半径为，则只有唯一一点C满足，故A正确；对B选项，同理可得点P在以A为圆心，半径为的小圆圆弧上，在底面ABCD内（含边界）中，可得点P轨迹为四分之一圆弧.故B正确；对C选项，移动点P可得两相交的动直线与平面平行，则点P必在过且与平面平行的平面内，由平面平面，知满足平面的点P在BD上，则长的最大值为，则C不正确；对选项D，由以上推理可知，点P既在以A为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又段BD上，即与B或D重合，不妨取点B，则平面截正方体外接球所得截面为的外接圆，利用.故D正确.故选：ABD（1）平面截球所得截面为圆面，且满足（其中为球半径，为小圆半径，为球心到小圆距离）；（2）过定点A的动直线平行一平面，则这些动直线都在过A且与平行的平面内.4．如图，在棱长为2的正方体，中，为棱上的中点，为棱上的点，且满足，点，，，，为过三点，，的平面与正方体的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）A． B．三棱锥的体积C．直线与平面所成的角为 D．ABD【分析】面面平行性质定理可得出A正确；等体积法求得B正确；直线与平面所成的角为，求其正切值不等于1即可得出C错误；利用面面平行性质定理和中位线求出长度即可得出D正确.【详解】解：对于A.在正方体中平面平面，又平面平面，平面平面，有平面与平面平行的性质定理可得，故正确；对于B.因为，所以，又为棱上的中点，所以,所以，故正确；对于C.由题意及图形可判定直线与平面所成的角为，结合B选项可得，故错误；对于D.同A选项证明方法一样可证的，因为为棱上的中点，为棱上的中点，所以所以，所以，故正确.故选：ABD求体积的常用方法：（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；（2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换；（3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.5．已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ）A．平面B．平面C．与平面所成的角的大小为45°D．平面将正方体分成两部分的体积的比为ACD【分析】如图，计算可得分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A、B的正确与否，计算出直线与平面所成的角为后可得C正确，而几何体为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D正确与否.【详解】如图，连接，则，故棱与球面没有交点.同理，棱与球面没有交点.因为棱与棱之间的距离为，故棱与球面没有交点.因为正方体的棱长为2，而，球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，所以棱与球面各有一个交点， 如图各记为.因为为直角三角形，故，故为棱的中点.同理分别为棱的中点.由正方形、为所在棱的中点可得，同理，故，故共面.由正方体可得，故因为平面，平面，故平面，故A正确.因为在直角三角中，， ，，与不垂直，故与不垂直，故平面不成立，故B错误.由正方体可得平面，而平面，所以，所以在正方形中，因为分别为的中点，故，因为，故平面，所以为直线与平面所成的角，而，故直线与平面所成的角为，因为，故与平面所成的角的大小为45°.故C正确.因为分别为所在棱的中点，故几何体为三棱柱，其体积为，而正方体的体积为8，故平面将正方体分成两部分的体积的比为，故D正确.故选：ACD.本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.6．已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（）A．直线与平面所成角的正弦值范围为B．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D．已知为中点，当的和最小时，为的中点AC【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱、、、、、的中点、、、、、，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点、，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用、、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，平面，则为平面的一个法向量，且，，，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；对于B选项，当与重合时，连接、、、，在正方体中，平面，平面，，四边形是正方形，则，，平面，平面，，同理可证，，平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；对于C选项，设平面交棱于点，点，，平面，平面，，即，得，，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，而，，且，由空间中两点间的距离公式可得，，，所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：若最短，则、、三点共线，，，，所以，点不是棱的中点，D选项错误.故选：AC.本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.7．已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，以下结论正确的是（ ）A．四边形不一定是平行四边形B．平面分正方体所得两部分的体积相等C．平面与平面不可能垂直D．四边形面积的最大值为BD【分析】由平行平面的性质可判断A错误;利用正方体的对称性可判断B正确;当､为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C错误;当与重合,与重合时,四边形的面积最大,且最大值为,可判断D正确.【详解】如图所示,对于选项A,因为平面,平面平面,。