中考复习最短路线问题.docx

中考复习：最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短"为原则引申出来的.人们在生产、生 活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是 线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是 折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有 一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在 一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段.这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的.例如，在地球（近似看成圆球）上A、 B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心0的平面截地球，在地球表面留下的截 痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最 短路线，航海上叫短程线.关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲.在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最 短，从而找到所需的最短路线.像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一 种常用的重要思想方法.例1如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报.在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没 有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来.B解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线.作点A关于河岸的对称点A',即作AA，垂直于河岸，与河岸交于点C,且使AC=A' C,连接A，B 交河岸于一点P,这时P点就是饮马的最好位置，连接PA,此时PA+PB就是侦察员应选择的最短路线.证明：设河岸上还有异于P点的另一点P，,连接P，A, P，B, P，A' .•..P' A+P' B=P' A' +P' B>A, B=PA' +PB=PA+PB,而这里不等式P' A，+P，B>A，B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线.此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A，B,所以这种方法也叫做化直 法，其他还有旋转法、翻折法等.看下面例题.例2如图一只壁虎要从一面墙壁a上A点，爬到邻近的另一面墙壁B上的B点捕蛾，它可以沿许多 路径到达，但哪一条是最近的路线呢？解：我们假想把含B点的墙B顺时针旋转90° （如下页右图），使它和含A点的墙a处在同一平面 上，此时B转过来的位置记为B' , B点的位置记为B，,则A、B，之间最短路线应该是线段AB',设这条线段与墙棱线交于一点P,那么，折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线.证明：在墙棱上任取异于P点的P'点，若沿折线AP' B走，也就是沿在墙转90°后的路线AP' B， 走都比直线段APB'长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线.由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转 成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线 段所构成的折线，就是所求的最短路线.例3长方体ABCD—A' B，C D'中，AB=4, A7 A=2，, AD=1,有一只小虫从顶点D，出发，沿长方 体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1））解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D，、B两点的两个相邻的面“展开”在同 一平面上，在这个“展开”后的平面上D，B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D，点出 发，到B点共有六条路线供选择.① 从D，点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2））, 这时在这个平面上D，、B间的最短路线距离就是连接D，、B两点的直线段，它是直角三角形ABD'的斜边，根据勾股定理，D' B=D, A2+AB2= (1+2) 2+42=25, /.D, B=5.② 容易知道，从D，出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5.③ 从D，点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点.将这两个面摊开在同一平面上，同理求得 在这个平面上D，、B两点间的最短路线(上页图(3)),有：D，B2=22+ (1+4) =29.④ 容易知道，从D，出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29.⑤ 从D，点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可 求得在这个平面上D，、B两点间的最短路线(见图)，D' B= (2+4) 2+l2=37.⑥ 容易知道，从D，出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37.比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从 > 点出发，经过上底面然后进入前侧面 到达B点(上页图(2)),或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5 个单位长度.利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题, 例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题(下左图)，同样可以把A、B两点所 在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面(下右图),连接A、B成线段AP1P2B, Pl、P2是 线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线.圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开"后也是直线，这条曲线称为螺旋线.因为它具有最短的性 质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用.如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题.例4景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点, 绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图 中的圆柱面时，A，、B，分别与A、B重合），连接AB',再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB， 在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路.圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线.请看下面例题.例5有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为A0的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线.解：将圆锥面沿母线A0剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A'、B'分 别与A、B重合），在扇形中连AB',则将扇形还原成圆锥之后，AB，所成的曲线为所求.例6如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点 沿母线到桶口 C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶 口）孤长是15厘米.如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想 将BD延长到F,使DF=BD,即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F,用F代替B,即可找出最短路 线了.解：将圆柱面展成平面图形（上图）,延长BD到F,使DF=BD,即作点B关于直线CD的对称点F, 连结AF,交桶口沿线CD于0.因为桶口沿线CD是B、F的对称轴，所以0B=0F,而A、F之间的最短线路是直线段AF,又AF=A0 +0F,那么A、B之间的最短距离就是A0+0B,故蚂蚁应该在桶外爬到0点后，转向桶内B点爬去.延长AC到E,使CE=DF,易知AAEF是直角三角形,AF是斜边,EF=CD,根据勾股定理， AF=（AC+CE）2+EF2 = （12+8） 2+152=625=252,解得 AF=25.即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米.例7 A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图）,现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于 河岸.请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短.分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折 线化为直线.由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值.因此，从A点作河岸的垂线， 并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决.解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂 直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点.即两村的最短路程是AE+ED+DB.例8在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须 先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短?解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A，和B，，连结A，、B，分别交甲岸 线、乙岸线于E、F两点，则A-E-F-B-A是最短路线，即最短路程为：AE+EF+FB+BA.证明：由对称性可知路线A-E-F-B的长度恰等于线段A，B，的长度.而从A岛到甲岸，又到乙岸, 再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A，、B，之间的折线，它们的长度都 大于线段Az B',例如上图中用“ "表示的路线A-E，-F，-B的长度等于折线AE' F' B的长度，它大于A，B，的长度，所以A-E—F-B-A是最短路线.。