专题一 数学思想方法第一讲 函数与方程思想1． 函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2． 函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．1． (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是 ( )A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]答案 C解析 如图，△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则＝2＝2，所以y＝40－x，由题意知xy≥300，即x(40－x)≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解不等式得10≤x≤30.2． (2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 ( )A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析 设a＝log36＝1＋log32＝1＋，b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1＋log72＝1＋，显然a>b>c.3． (2012·浙江)设a>0，b>0，e是自然对数的底数 ( )A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>bB．若ea＋2a＝eb＋3b，则abD．若ea－2a＝eb－3b，则ab成立，故A正确，B错误；当0时，F′(x)>0，F(x)单调递增，故当x＝时，F(x)有最小值，即|MN|达到最小．(2)方法一 (看成函数的值域)∵ab＝a＋b＋3，a≠1，∴b＝.而b>0，∴>0.即a>1或a<－3，又a>0，∴a>1，故a－1>0.∴ab＝a·＝＝(a－1)＋＋5≥9.当且仅当a－1＝，即a＝3时取等号．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．方法二 若设ab＝t，则a＋b＝t－3，所以a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．从而有即解得t≥9，即ab≥9.所以ab的取值范围是[9，＋∞)．反思归纳 (1)求参数的取值范围，一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(2)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．变式训练1 若点O和点F(－2,0)分别是双曲线－y2＝1 (a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为 ( )A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)C. D．答案 B解析 因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为－y2P(x0，y0)，则有－y＝1 (x0≥)，解得y＝－1 (x0≥)，因为＝(x0＋2，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋2)＋y＝x0(x0＋2)＋－1＝＋2x0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线x0＝－，因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2，故·的取值范围是[3＋2，＋∞)．题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题例2 如果方程cos2x－sin x＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范围．审题破题 可分离变量为a＝－cos2x＋sin x，转化为确定的相关函数的值域．解 方法一 设f(x)＝－cos2x＋sin x(x∈(0，])．显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解．∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝(sin x＋)2－，且由x∈(0，]知sin x∈(0,1]．易求得f(x)的值域为(－1,1]．故a的取值范围是(－1,1]．方法二 令t＝sin x，由x∈(0，]，可得t∈(0,1]．将方程变为t2＋t－1－a＝0.依题意，该方程在(0,1]上有解．设f(t)＝t2＋t－1－a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－，如图所示．因此f(t)＝0在(0,1]上有解等价于，即，∴－12m＋4x恒成立，求x的取值范围．审题破题 本题可先求出m的范围，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立可转化为函数g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2的值恒大于0.解 ∵t∈[，8]，∴f(t)∈.原题转化为当m∈时，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立．令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈，问题转化为g(m)在m∈上恒大于0，则 即解得x>2或x<－1.反思归纳 在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．变式训练3 设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围是 ( )A. B．(2，＋∞)C. D．(－∞，2)答案 C解析 原不等式即(x－1)m－(2x－1)<0，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数f(m)的值在区间[－2,2]内恒为负时应满足的条件，得即解得x>.题型四 利用函数与方程思想解决数列问题例4 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－4n＋4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1.审题破题 可将Tn看作关于自然数n的函数，通过函数的单调性来证明不等式．(1)解 当n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋4－[(n－1)2－4(n－1)＋4]＝2n－5.∵a1＝1不适合上式，∴an＝.(2)证明 由题意知bn＝＝.当n＝1时，T1＝，当n≥2时，Tn＝＋＋＋…＋， ①Tn＝＋＋＋…＋＋， ②①－②得：Tn＝－＋2－＝－，∴Tn＝1－ (n≥2)，当n＝1时也适合上式．故Tn＝1－ (n∈N*)．∵>0 (n∈N*)，∴Tn<1.当n≥2时，Tn＋1－Tn＝－＝>0，∴Tn0D．若对任意n∈N*。
