电路课件 电路08 相量法.ppt

电路第八章相量法§8-1-§8-429/6/2024第八章 相量法第八章 相量法l相量法：线性电路正弦稳态分析的一种简便而又有效的方法复数复数8.1正弦量正弦量8.2相量法的基础相量法的基础8.3电路定律的相量形式电路定律的相量形式8.4本章重点本章重点39/6/2024第八章 相量法8-1 复 数l相量法要用复数运算l复数有多种表示形式 代数形式：代数形式： F F= =a+j+jb 为虚单位(数学用i，电路用i表示电流，改用j)la称复数F实部，b称复数F虚部： Re[F]=a，Im[F]=bl复数F在复平面上是一个坐标点，图8-149/6/2024第八章 相量法复数F的表示l图8-1得复数F三角形式：三角形式： F F =|=|F F|(cos|(cosθθ+jsin+jsinθθ) )l指数形式：指数形式： F F＝＝| |F F|e|ej jθθl极坐标形式：极坐标形式： |F|为模(值)，θ为辐角，即θ=arg Fθ可用弧度或度表示l|F|和θ与a和b间关系： a＝|F|cosθ，b＝|F|sinθlF F的共轭：的共轭： F F* *= =a- -j jb 8-1 复 数59/6/2024第八章 相量法复数的相加和相减l用代数形式进行复数的相加和相减： 设F1=a1+jb1，F2=a2+jb2 F1 1±±F2 2=(=(a1 1+j+jb1 1)±()±(a2 2+j+jb2 2) ) =( =(a1 1±±a2 2)+j()+j(b1 1±±b2 2) )l复数相加和相减运算可按平行四边形法在复平面上用向量相加和相减求得，图8-2。

8-1 复 数69/6/2024第八章 相量法两个复数相乘l复数相乘用指数形式方便： F1 1F2 2 =| =|F1 1|e|ejθjθ1 1| |F2 2|e|ejθjθ2 2 =| =|F1 1||||F2 2|e|ej(θj(θ1 1+θ+θ2 2) )l所以： | |F1 1F2 2|=||=|F1 1||||F2 2| | arg( arg(F1 1F2 2) )＝＝arg(arg(F1 1)+arg()+arg(F2 2) )l两个复数相乘的代数形式： F1 1F2 2=(=(a1 1+j+jb1 1)()(a2 2+j+jb2 2) ) =( =(a1 1a2 2- -b1 1b2 2)+j()+j(a1 1b2 2+ +a2 2b1 1) )8-1 复 数79/6/2024第八章 相量法复数相除l复数相除：l所以：l代数形式l(a2-jb2)为F2共扼复数，F2F2*结果为实数，称有理化运算有理化运算。

8-1 复 数89/6/2024第八章 相量法复数乘、除图解表示l复数乘、除图解见图8-3a、b，复数乘、除表示模的放大或缩表示模的放大或缩小，辐角表示逆时针或顺时针小，辐角表示逆时针或顺时针旋转l复数 是模等于1，辐 角θ复数复数A=|A|ejθa乘以ejθ等于把复数A逆时针旋转角度θ，A模值不变，ejθ称旋转因旋转因子子l根据欧拉公式，可得l例：复数乘以j，等于逆时针转π/2；复数除以j，等于该复数乘以-j，顺时针旋转π/28-1 复 数99/6/2024第八章 相量法两个复数相等运算l复数运算中常有两个复数相等的运算l两个复数相等必须满足两个条件，F1=F2必须有： Re[Re[F F1 1]=Re[]=Re[F F2 2] ]，，Im[Im[F F1 1]=Im[]=Im[F F2 2] ]l 或者有： |F1|=|F2||F1|=|F2|，，arg(F1)=arg(F2)arg(F1)=arg(F2)l一个复数方程可以分解为两个实数方程8-1 复 数109/6/2024第八章 相量法例 8-1 设F1=3-j4， 求F F1 1+ +F F2 2和和F F1 1/ /F F2 2。

l解 求复数的代数和用代数形式： F2=10 =10(cos135°+jsin135°)=-7.07+j7.07 F1+F2=(3-j4)+(-7.07+j7.07)=-4.07+j3.07l指数形式：l即有： F F1 1+ +F F2 2=5.1=5.1 =-0.495+j0.071l或8-1 复 数119/6/2024第八章 相量法8-2 正弦量l电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称正弦量正弦量l正弦量数学描述，可用sine函数，也可用cose函数本书用本书用cosecose函数函数l图8-4正弦电流i，在参考方向下，数学表达式定义： i=Imcos(ωt+φi) (8-1) 3个常数Im、ω和φi称正弦量三要素正弦量三要素lIm称正弦量振幅正弦量振幅，是正弦量在整个振荡过程中达到最最大值大值，即cos(ωt+φi)=1时，有 imax=Im 也是正弦量极大值极大值lcos(ωt+φi)=-1时， 有最小值最小值( (也是极小值也是极小值) )： imin=-Imlimax-imin=2Im称正弦量峰正弦量峰－－峰值峰值。

129/6/2024第八章 相量法正弦量说明l(ωt+φi)称正弦量相位，或称相角正弦量相位，或称相角lω称角频率角频率，相位随时间变化角速度 单位rad/slω与周期T和频率f关系：ωT=2π，，ω=2πf，， f=1/T f单位1/s，称Hz(Hz(赫兹，简称赫赫兹，简称赫) )我国50Hz称工频工频l工程中以频率区分，如音频、高频、甚高频电路lφi是在t=0时刻相位，称初相位初相位( (角角) )，简称初相，简称初相： (ωt+φi)|t=0 =φi 单位用弧度或度，主值范围内取值，|φi|≤180°l初相与计时零点有关任一正弦量初相允许任意指定，但一个电路许多相关正弦量，只能相对共同计时零点确定各自相位l正弦量三要素是正弦量间进行比较和区分的依据8-2 正弦量139/6/2024第八章 相量法正弦量的波形及运算性质l正弦量随时间变化图形称正弦波正弦波l图8-5正弦电流i波形(φi＞0)横轴可用时间t，也可用ωt(rad)l正弦量乘以常数，正弦量微分、积分，同频正弦量代数和等运算，其结果仍为同频率正弦量正弦量这个性质十分重要8-2 正弦量149/6/2024第八章 相量法周期量的有效值-1l工程中将周期电流或电压在一个周期内产生平均效应换算为效应上与之相等直流量，衡量和比较周期电流或电压效应，称周期量有效值周期量有效值，用对应大写字母表示。

li有效值I定义：l表示：周期量有效值等于其瞬时值平方在一个周期内积分平均值再取平方根，又称均方根值均方根值root-mean-square(r.m.s)定义是周期量有效值普遍适用公式l电流i正弦量，推出正弦量有效值与正弦量振幅间特殊关系：l由于8-2 正弦量159/6/2024第八章 相量法周期量的有效值-2l代入得 l正弦量有效值与最大值间有 关系，但正弦量有效值与正弦量频率和初相无关l常将正弦量i改写成如下形式lI、ω、φi也可表示正弦量的三要素正弦量的三要素l工程中使用交流电气设备铭牌上标出额定电流、电压数值，交流电压表、电流表表面上标出数字都是有效值8-2 正弦量169/6/2024第八章 相量法“相位差”概念-1l电路中常用“相位差”描述两个同频正弦量相位关系l例：设两个同频正弦电流i1、电压u2为：l两个同频正弦量相位差等于相位相减两个同频正弦量相位差等于相位相减如设φ12表示电流i1与电压u2间相位差有 φ12=(ωt+φi1)-(ωt+φu2)=φi1-φu2 相位差在主值范围内取值l表明同频正弦量相位差等于初相之差同频正弦量相位差等于初相之差，与时间无关。

l电路常用““超超( (越越) )前前””和和““滞滞( (落落) )后后””说明两个同频正弦量相位比较结果φ12＞0，称i1超前超前u2；φ12＜0，称i1滞后滞后u2；φ12=0，称i1和u2同相同相；|φ12|=π/2，称i1与u2正交正交；|φ12|=π，称i1、u2反相反相8-2 正弦量179/6/2024第八章 相量法“相位差”概念-2l相位差可通过观察波形确定，图8-6l同周期内两个波形与横轴交点间的值，为两者相位差，先到达为超前波图中i1滞后u2l相位差与计时零点选取、改变无关l正弦量初相与参考方向有关，改设某一正弦量参考方向时，该正弦量初相改变π，与其他正弦量相位差相应改变π8-2 正弦量189/6/2024第八章 相量法8-3 相量法的基础l相量法是分析正弦电流电路稳定状态一种简单易行的方法l根据VCR、KCL、KVL列有储能元件方程时，得常微分方程l图8-7RLC串联，KVL方程： uR+uL+uC=uSl代入得l当uS是正弦量，电流特解是同频正弦量l线性非时变电路在正弦电源激励下，电压和电流特解是同频正弦量同频正弦量电路多个同频率激励，结论也成立。

199/6/2024第八章 相量法相量法的基础l工程上将电路的特解状态称正弦电路的稳定状态，简称正弦稳态l电路处于正弦稳态时，同频正弦量仅在有效值、初相有差异和联系l例：l如电源已知为l电流特解设为l式8-3变为8-3 相量法的基础209/6/2024第八章 相量法正弦函数用复指数表示l根据欧拉公式：l表明正弦量可分解为一对共轭复指数函数l整理后l得l可将复数定义为相量8-3 相量法的基础219/6/2024第八章 相量法正弦量对应相量l前述正弦量uS、iS对应相量： 为有效值相量l正弦量的相量可以直接写出l在复平面上图形称相量图，图8-8l也可以用振幅相量（不常用）：8-3 相量法的基础229/6/2024第八章 相量法例 8-2l写出正弦电流对应相量解 用cosine函数，i2改为： 按定义写：l相量与正弦量不相等，下述写法错误：l由相量反写正弦量必须知道ω才行，本例 无意义8-3 相量法的基础239/6/2024第八章 相量法例 8-3l求例8-2中i1、i2的微分及其相量 l解l有效值相量l正弦量微分对应相量等于原相量乘以jω。

8-3 相量法的基础249/6/2024第八章 相量法8-4 电路定律的相量形式l线性非时变正弦稳态电路，全部电流和电压都是同频正弦量，可用相量法将VCR、KCL和KVL转换为电路定律相量形式电路定律相量形式lKCL相量形式相量形式： 电路任一结点有 i1+i2+…+ik+…=0 ∑i=0 相量形式lKVLKVL相量形式：相量形式： 电路任一回路有 u1+u2+…+uk+…=0 ∑u=0 相量形式259/6/2024第八章 相量法电阻VCR相量形式l图8-9a电阻R，正弦电流 通过，电压uR为luR和iR为同频正弦量，令电压相量l相量形式相量形式 UR=RIR (或IR=GUR) φu=φiluR和iR相位差为零，即同相同相图8-9b电阻相量模型；图8-9c电流和电压相量图8-4 电路定律的相量形式269/6/2024第八章 相量法电感VCR相量形式l图8-10a电感L正弦电流 通过，有l相量形式 UL=ωLIL φu=φi+900l电流、电压类似欧姆定律，ωL与电阻相同量纲[Ω]，称感抗感抗。

1/ωL称感纳感纳电压超前电流电压超前电流90900 0lω=0时，ωL=0，uL=0，电感相当于短路lω=∞时，ωL→∞，i=0，电感相当于开路l图8-10b电感相量模型，图c相量图8-4 电路定律的相量形式279/6/2024第八章 相量法电容VCR相量形式l图8-11a电容C，正弦电流通过， 有 相量形式 电流、电压类似欧姆定律，-1/ωC与电阻同量纲[Ω]，称容抗容抗ωC称容纳容纳电流超前电压电流超前电压90900 0lω=0时，1/ωC→∞，iC=0，电容相当于开路lω=∞时，1/ωC→0，uC=0，电容相当于短路l图8-11b电容相量模型，图c相量图8-4 电路定律的相量形式289/6/2024第八章 相量法(线性)受控源相量形式l如控制电压或电流是正弦量，则受控源电压或电流是同频正弦量图8-12aVCCS为例，有 ij=guk 相量形式相量形式l图8-12b相量形式(其他形式受控源类似）lVCRVCR相量形式十分重要，用到电阻、感抗、容抗，相量形式十分重要，用到电阻、感抗、容抗，或电导、感纳、容纳，特别注意相位差。

或电导、感纳、容纳，特别注意相位差8-4 电路定律的相量形式299/6/2024第八章 相量法例 8-4l图8-13a， ，R=30Ω，L=0.12H，C=12.5μF求uad和ubdl解 相量电路图8-13b l由元件VCR得lKVL：l所以：8-4 电路定律的相量形式309/6/2024第八章 相量法例 8-5l图8-14仪表为交流电流表，读数为电流有效值，A1为5A，A2为20A，A3为25A求电流表A和A4读数l解 各表读数是所在支路电流相量模(有效值)，初相未知l令 根据元件VCR能方便确定并联支路电流初相分别为：l根据KCL，有：l所求电流表的读数为： 表A：7.07A；表A4：5A8-4 电路定律的相量形式319/6/2024第八章 相量法习 题lP217 题 8-1 8-2 lP218 8-15。