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高中数学1-4-1、2全称量词与存在量词课件新人教a版选修.ppt

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  • 卖家[上传人]:tian****1990
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    • 第一章 常用逻辑用语,1.4 全称量词与存在量词,1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词,1.理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念. 2.能准确地使用全称量词和存在量词符号(即∀,∃)来表述相关的数学内容. 3.掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法.,新 知 视 界 1.全称量词和全称命题 (1)全称量词: 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.,(2)全称命题: ①定义:含有全称量词的命题,叫做全称命题. ②一般形式:全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.,2.存在量词和特称命题 (1)存在量词: 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并且符号“∃”表示.,(2)特称命题: ①定义:含有存在量词的命题,叫做特称命题. ②一般形式:特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,p(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.,尝 试 应 用 1.“a∥α,则a平行于α内任一条直线”是( ) A.真命题 B.全称命题 C.特称命题 D.不含量词的命题 解析:命题中含有“任一”全称量词,故为全称命题. 答案:B,解析:如x=0时,x2=0,满足x2≤0. 答案:B,解析:当x=0时,0∈N,但01.故“∀x∈N,x≥1”是假命题. 答案:B,4.下列命题: ①偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;③正四棱锥的侧棱长相等;④有的实数是无限不循环小数;⑤有的菱形是正方形;⑥存在三角形其内角和大于180°. 既是全称命题又是真命题的是________,既是特称命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号).,解析:①是全称命题,是真命题; ②是全称命题,是真命题;③是全称命题,即:任意正四棱锥的侧棱长相等,是真命题;④含存在量词“有的”,是特称命题,是真命题;⑤是特称命题,是真命题;⑥是特称命题,是假命题,因为任意三角形内角和为180°. 答案:①②③ ④⑤,5.用符号“∀”或“∃”表示下面的命题,并判断真假: (1)实数的平方大于或等于0; (2)存在一对实数(x,y),使2x-y+10成立; (3)勾股定理.,解:(1)是全称命题,隐藏了全称量词“所有的”.∀x∈R,x2≥0.是真命题. (2)∃x∈R,y∈R,2x-y+10,是真命题. 如x=0,y=2时:2x-y+1=0-2+1=-10成立.,(3)这是全称命题,所有直角三角形都满足勾股定理. 即∀Rt△ABC,a,b为直角边长,c为斜边长,a2+b2=c2.是真命题.,[分析] 首先判断命题中含有哪种量词,进而确定是哪种命题,然后正面推理证明或举反例说明命题的真假.,[点评] 1.要判定命题是全称命题还是特称命题,主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词,要注意的是有些全称命题的叙述中并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断.,2.要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,却只要能举出集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). 3.要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0使p(x0)成立即可;否则,这个特称命题就是假命题.,迁移体验1 指出下列命题是全称命题,还是特称命题,并判断它们的真假. (1)对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立. (2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除. (3)对数函数都是单调函数. (4)∀x∈R,x2-3x+2=0.,解:(1)全称命题,因为x=0时,x2+x+1=1≠0,故是假命题. (2)特称命题,是真命题,比如10既能被2整除,又能被5整除. (3)全称命题,是真命题. (4)全称命题,是假命题,因为只有x=2或x=1时满足.,类型二 全称命题与特称命题的表述 [例2] (1)设集合S={四边形},p(x):内角和为360°.试用不同的表述写出全称命题“∀x∈S,p(x)”. (2)设q(x):x2=x,试用不同的表达方法写出特称命题“∃x∈R,q(x)”.,[分析] 由题目可获取以下主要信息: ①第(1)小题是全称命题,第(2)小题是特称命题; ②要求分别用不同的方式表示各自的命题. 解答本题应先分清是全称命题还是特称命题,再选取合适的量词用不同的方式来表述.,[解] (1)依题意可得以下几种不同的表述: 对所有的四边形x,x的内角和为360°; 对一切四边形x,x的内角和为360°; 每一个四边形x的内角和为360°; 任一个四边形x的内角和为360°; 凡是四边形x,它的内角和为360°.,迁移体验2 用全称量词或存在量词表示下列语句. (1)n边形的内角和等于(n-2)×180°; (2)两个有理数之间,都有一个有理数; (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0.,解:(1)一切n边形的内角和都等于(n-2)×180°; (2)任意两个有理数之间,都有一个有理数; (3)存在一个实数x,它乘以任意一个实数都等于0.,[分析] 由题目可获取以下主要信息: ①四个命题中有两个全称命题,两个特称命题; ②要求判断命题的真假.解答本题首先正确理解命题的含义,再采用举反例等方法给予判断.,[解析] ①由于∀x∈R,都有x2≥0, 因而有x2+2≥20,即x2+20. 所以命题“∀x∈R,x2+20”是真命题. ②由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立. 所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.,[答案] ①③,[点评] 1.全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,却只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).,2.特称命题的真假判断 要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.,类型四 全称命题与特称命题的应用 [例4] 函数f(x)对一切实数x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0. (1)求f(0)的值; (2)在(0,4)上存在实数x0,使得f(x0)+6=ax0成立,求实数a的取值范围.,[解] (1)由已知等式f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x,令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=2,又因为f(1)=0,所以f(0)=-2. (2)令y=0,则f(x+y)-f(y)=f(x)-f(0)=f(x)+2=(x+2×0+1)x=x2+x,∴f(x)+6=x2+x+4.,[点评] 全称命题真,意味着对限定集合中的每一个元素都能具有某性质,使所给语句真.因此,当给出限定集合中的任一个特殊的元素时,自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想).而特称命题为真,则只需在给定的集合中,找到一个元素具有某性质,使该语句为真即可.,解决有关存在性命题的参数取值范围问题,应尽量分离参数,若得到g(a)=f(x)成立,则只需求f(x)的值域B,进而确定使g(a)∈B的a的值即可.若g(x)f(x),则只需确定g(a)f(x)的最小值即可.类似地,对于全称命题(特别是恒成立)的问题,也应尽量用分离参数法来求解.,迁移体验4 已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)0对于任意x∈R恒成立,并说明理由. (2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)0成立,求实数m的取值范围.,解:(1)不等式m+f(x)0可化为m-f(x), 即m-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m-4即可. 故存在实数m,使不等式m+f(x)0对于任意x∈R恒成立,此时,只需m-4.,(2)不等式m-f(x0)0可化为mf(x0),若存在一个实数x0,使不等式mf(x0)成立,只需mf(x)min. 又f(x)=(x-1)2+4,∴f(x)min=4,∴m4. 所以,所求实数m的取值范围是(4,+∞).,思 悟 升 华 1.一般地,设p(x)是某集合M的所有元素都具有或都不具有的性质,那么全称命题就是形如“对M中的所有x有p(x)成立”的命题,用符号简记为∀x∈M,p(x).,2.一般地,设q(x)是某集合M的有些元素x具有或不具有的某种性质,那么特称命题就是形如“存在集合M中的元素x,使q(x)成立”的命题,用符号简记为∃x∈M,q(x). 3.应当指出,同一个全称命题、特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法.现列表总结于下,在实际应用中可以灵活地选择:,常见的全称量词有:“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. 常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.,。

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