高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教a版必修.ppt

2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义,学习目标： 1、能运用数量积表示两个向量的夹 角 ，计算向量的长度； 2、会用数量积判断两个平面向量的垂 直关系我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,力F所做的功W可用下式计算 W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念平面向量的数量积：,已知非零向量 与 ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定,其中θ是 与 的夹角， 叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量 的数量积为零，即 投影的概念:,投影也是一个数量，不是向量.,,,O,B,A,,,,B1,投影的概念:,,,,,A,B,O,B1,当为锐角时 投影为正值;,,投影的概念:,,,,,A,B,O,B1,,,,,A,B,O,B1,当为锐角时 投影为正值;,当为钝角时 投影为负值;,,,投影的概念:,,,,,A,B,O,B1,当为直角时 投影为0;,,,,,A,B,O,B1,,,A,B,O,(B1),,,当为锐角时 投影为正值;,当为钝角时 投影为负值;,,,,数量积的几何意义：,数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的 投影 的乘积。

思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正， 什么时候为负呢？,注意：,,,,由向量数量积的定义，试完成下面问题：,注：常记 为 0,≤,证明向量 垂直的依据,,,（4）平面向量数量积的几何意义：数量 积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b| cos的乘积5）向量数量积的性质①e·a=a·e=|a| cosθ.,②a⊥b a·b=0.,③当a与b同向时, a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|. 特别地， a·a=|a|2或|a|= ⑤|a·b|≤|a||b|,④,,,,,典型例题分析,进行向量数量积 计算时,既要考 虑向量的模,又 要根据两个向量 方向确定其夹角四.课堂练习,判断下列各题是否正确,(1)若a=0,则对任意向量b,有a·b=0 (2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a·b≠0 (3)若a≠0,且a·b=0,则b=0 (4)若a·b=0,则a=0或b=0 (5)对任意向量a有a2=│a│2 (6)若a≠0且a·b=a·c,则b=c (7)a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.,(√ ),(×),(×),(×),(√ ),(×),(√ ),数量积的运算规律：,思考：等式 是否成立？,数量积的运算规律：,不成立,例 2：求证：,（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；,（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.,证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b),＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b,＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b,＝a2＋2a·b＋b2.,证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－b·b ＝a2－b2.,例3.已知 ， 的夹角60º， 求 。

例4.已知 ，且 与 不共线，k为何值时， 向量 与 互相垂直72，,,小结,向量数量积计算时, 一要算准向量的模, 二要找准两个向量的夹角1、两向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号确定；,2、两个向量的数量积称为内积，写成a·b;与代数中的数a·b不同，书写时要严格区分；,3、在实数中，若a≠0，且a·b=0,则b=0；但在数量积中，若a≠0，且a·b=0,不能推出b=0因为其中cosθ有可能为0,4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc得a=c.但是有a·b=b·c不能得a=c,5、a⊥b a·b=0.,6、当a与b同向时, a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|. 特别地， a·a=|a|2或|a|= .,8、,7、 |a·b|≤|a||b|, |a·b|=|a||b||cosθ|,作业： P 108 3、7,。