水力学中常用的基本计算方法.docx

水 力学 中 常 用 的 基本 计 算 方 法水力学 中经 常会 遇到 一些 高次 方程，微分 方程 的求 解问 题多年 来，求 解复 杂高 次方 程的 基本 方法 便是 试算 法，或 查图表 法，对于 简单 的微 分方程 尚可 以用 积分 求解 ，而 边界 条件较 为复 杂的 微分 方程 的求 解就 存在 着较 大的 困难，但随 着计算 数学 的发 展及 计算 机的 广泛 使用，一门 新的 水力 学分 支《计 算水 力学 》应 运而 生， 但用 计算 机解 决水 力学问 题， 还需要 了解 一些 一般 的计 算方 法在 水力 学课 程中 常用 的有 以下几 种， 现分 述于 后一、 高次 方程 式的 求解 方法 ：（一）二分法1、二分法的基本内容：在区间 [X ，X ]上有一单调连续函 12数F =0，则可绘出F ~乂关系曲线如果在两端点处（ x） （ x）函数值异号即F ・F V0,（见图（一）），则方程F（x 1 ） （ x2 ）=0 ，在区间 [X ， X ]之间有实根存在，其根的范围大致（ x） 1 2如下：取x + xX 二 2321 若 F ・ F 〉0,( x 2 ) ( x3 )则解g e [X , X ]132。

若 F ・ F V 0,( x 2 ) ( x3 )则 解 g e [X ， X ]323 若 F ・ F =0 ,( x 2 ) ( x3 )则 解 g =X对情况 1°，可以令 x =x ，重复计算 23对情况 2°，可以令 x =x ，重复计算当规定误差£之后，只要|x -x | W £，则x (或x )就是1 2 1 2 方程 F(x)=0 的根显然，二分法的理论依据就是高等数学中的连续函数介值定理它的优点是思路清晰，计算简单，其收敛速度与公比为1的2 等比级数相同；它的 局限性在于只 能求实根，而 不能求重 根2、二分法的程序框图(以求解明渠均匀流正常水深为例)最后必须说明，二分法要求x值必须足够大，要保证F・F2 1 2V 0，否则计算得不到正确结果为了避免x值不够大，产生计2算错误，在程序中加入了判别条件 F・F〉0也可以给定x及1 2 J 步长△ X，让计算机选择x (x =x + △ x)221(二) 牛顿法，1、牛顿法的基本内容：设有连续函数 F(x)=0 ，则可以绘出F(x) ~x关系曲线，选取初值x，过点(x・F(x ))作一切线， o o o其斜率为辅F'( x )，切线与x轴的交点是x， o1则有：F (x )x = x 0-1 o F '( x ) o再过 (x ， F(x) 作切线，如此类推得到牛顿法的一个迭代序列： 11x =x -F(x )/F 7 (x )，令x =x +1，重复计算，直至满足给定的 n+l n n n n n精度要求，即|x -x | W,从而得到方程F(x)=0的根。

n+1 n牛顿法具有平方收敛速度，比较快，但计算工作量大，每 次运算除计算函数值外，还要计算微商值对于牛顿法来讲，只要F(x)在零点附近存在连续的二阶微商，§是F(x)的一重零 点，且初值x充分接近于§，那么牛顿迭代就一定收敛o2、牛顿迭代法的程序图框可以参看临界水深计算程序 三) 迭代法1、迭代法的基本内容：设有一方程 F ( x)=0，可以写成等价形式x= 9 (x)，再做迭代式x = 9 (x ),只要给定初始值x，用x = 9 (x )n+ 1 n o J n+1 n式子 J X二Xn n +1进行反复运算，就可以得到了个序列 ｛x ｝n如果序列｛x ｝收敛，并假设§ = lim x +1= lim 9 ( x)=n n nn n9 (§ ) 也就是说 § 是方程 F(x)=0 的根一般可以根据问题的 性质人为地规定精度£，认为当|x -x | W £时，x +1或x就n+1 n n n是方程的根从上面可以看出，迭代法的实质就是把方 程F(x)=0的根问题转化为求迭代序列｛x ｝的极限问题，迭代过程的几何意义就 y=x 是求 y_9 (x)两曲线的交点问题，交点处的横坐标正好就是方程的解。

但是，用计算机进行迭代计算，最关键的问题就是要构造出正确的迭代计算公式；如果构造的迭代计算公式不适当，或者初值给的不合适，则都可能导致计算不收敛或者发生计算错误例如，泄水建筑物下游收缩水深的计算，其基本数学公式是：若进行迭代计算选用如下公式：hc2q申霍 2 g（E 一 h ）o clh 为初值）c1则只要初值h e [0 , E ]，则计算结果均收敛于正确解如若c 1 o选用迭代公式，hc2只要初值o 2 g 申 2 h 2cl收敛，但收敛于下游一个较大的淹没水深，h〉0，则计算均c1并非正确解，发生计算错误在非棱柱体明渠水面线计算中，同样存在这一问题可见迭代公式选择的重要性迭代公式的收敛性可以用下述定理描述：把 方程 F（x）=0 改写成x=申（x），如果申（x）满足lipschitz条件：即对任意的 x和x，都有|申（x ）-申（x ） | W L|x-x|，其中L为一与x1 2 1 2 1 2 1和x均无关的正常数（简称李氏常数）；若L V 1，则迭代收敛，2收敛的准确解为§，其收敛速度为：|x-g | W4x 一x |n 1 - L 1 o高次方程的解往往不是一个，因此构造出迭 代公式，并 判定其收敛之后，尚要根据问题的背景及实 际情况对收敛解 进行分析讨论，确认为是真解方可，否则， 尚需修改初值或 重新构造迭代公式。

2、迭代法的程序框图可以参看水跃水力计算程序 本程序集中迭代法应用较多，主要原因是迭 代法思路简 单明了，收敛较快，程序也短二、插值法和数据拟合法 插值法和数据拟合法都是根据给定的数据表 （如水位流量资 料），设法寻找一个解析形式的函数 9 （x），来近似地代替这 些数据间的函数关系 f（x） 但插值法和数据拟合法之间又有 不同之处 插值法要求求得的 插值函数 y= 9 （x） 在插值结点阵 字库x上都满足y二申(X )，即要求插值函数曲线通过所有的1 i i插值结点 (x ， y )，但一般的实验数据中总是有观测误差存在， ii因此曲线y= 9 (x)通过所有的实验点会使曲线保留全部的观 测误差的影响，这是我们所不希塑的数据 拟合法则克服了 这点不足，它不要求曲线 9 (x) 通过所有的点 (x ， y )，仅要 ii 求曲线和数据之间存在着较高的相关系数即可关于插值法和数据拟合法的具体内容可参看有关方面的 书籍本程序集中，插值法及数据拟合法均有应用，例如，实例 二中，上游水位与过水断面面积之间的关系就是应用分段线性 插值得到它的分段函数表达式的；再如，较多的查图或者查表 计算问题，我们都是应用数据拟合法求出它的函数式， 应用的 程序是熊运章教授的EDPS程序，分析得出的拟合曲线其相关系 数均在 0.99 以上。

三、数值积分法1、数值积分法的基本内容：在区间 ［a、b］上定义的黎曼 可积函数 f(x) ，由于 f(x) 可能以表格形式给出，也可能 f(x) 的原函数无法用初等函数描述，因此直接积分存在着困难，但 我们可以通过插值先构造一个多项式 P(x) 去逼近被积函数 f(x)，并以P(x)在区间［a、b］上积分去代替f(x)在区间［a、b］ 上的积分，即Pf (x)• dx Jp(x)• dx，其中P(x)是比较容易积分的代数多项 aa式最常用的 P(x) 函数有如下两种形式：(1)P(x) 为一条过两端点的直线，其函数形式是：P (x )=f (b)+ — f (a)，从右图可以看出，这实质上是用b 一 a a 一 b直角梯形面积去代替边梯形的面积，故称为梯形求积公式(2)P(x) 为一条过两端点及其中点的抛物线，它的函数形式是：2aP (x )= / 、(b 一 a)2 丄从右图可以看出，这实质上是以抛物线围成的曲边梯形面(x - b )• f (a )- 2 (x - a )・(x - b )• f(b )积代替原 f(x) 所围成的曲边梯形面积，故称之为抛物线求积公 式，也称辛浦生公式。

为了提高精度，常将区间［a, b］分为足够多的N等分，然后求各个小部分的和2、数积积分的程序框图可以看棱柱体明渠水面线计算程 序四、直接差分法直接差分法是以偏差商代替偏导数，把基本的微分方程化 为差分方程，在自变量域s〜t平面上建立差分网格，根据问题的初始条件及边界条件，求得各网格结点上的近似解直接差分法的差分网格形式有好几种，不尽相同，各种形 式所要求的步长也不一样，再者，差分方程还存在着相客性， 收敛性， 稳定性问题，比较复杂，读者可参考有关方面的专著直接差分法的程序例子可以看清华大学《水力学》下册五、有限单元法 有限单元法的基本思想是将微分方程的定解问题 (包括边 值和初值问题 )通过变分途径化为求泛函数的极值问题；然后 将求解区域分割为许多小单元，通过区域剖分和分片插值，把 求泛函数极值的问题又转化为代数方程组的求解问题，解此代 数方程组就 可以得到问题的解答关于代数方程组的解法，对于线性代数方程 组常见的有 高斯消去法， LU 分解法，迭代法等，对于非线性方程组常见 的有牛顿迭代法等多有现成程序可供利用 有限单元法的程序例子可以参看清华《水力 学》下册。