2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷.docx

2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 下列说法正确的是（ ）A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.直线的方向向量有且仅有一个2. 直线x+3y+1＝0的倾斜角是（ ）A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63. 已知PA→=(2, 1, -3)，PB→=(-1, 2, 3)，PC→=(7, 6, λ)，若P，A，B，C四点共面，则λ＝（ ）A.9 B.-9 C.-3 D.34. 已知实数x，y满足x+y+2＝0，那么x2+y2的最小值为（ ）A.22 B.2 C.2 D.45. 直线3x+2y-1＝0的一个方向向量是（ ）A.(2, -3) B.(2, 3) C.(-3, 2) D.(3, 2)6. 正四面体ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（ ）A.33 B.63 C.22 D.237. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是面BCC1B1的中心，则O到平面BCD1A1的距离是（ ）A.12 B.24 C.22 D.328. 已知圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2＝1，过直线l:3x+ay-5＝0上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为15，则直线l的斜率为（ ）A.4 B.-4 C.-34 D.-43二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小给出的选项中，有多项符合题目要求全部逸对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.)9. 下列叙述正确的有（ ）A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角C.若a→⋅b→=a→⋅c→，则b→=c→D.任意两个空间向量共面10. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0, 0)，A(-8, 0)，圆C：(x+4)2+y2＝r2(r>0)上有且仅有一个点P满足|PA|＝3|PO|，则r的取值可以为（ ）A.2 B.4 C.6 D.811. 如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则（ ）A.直线FC1与底面ABCD所成的角为30∘B.平面AB1E与底面ABCD夹角的余弦值为23C.直线FC1与直线AE的距离为305D.直线FC1与平面AB1E的距离为1312. 设有一组圆∁k：(x-2k+1)2+(y-k)2＝1，下列说法正确的是（ ）A.这组圆的半径均为1B.直线2x-y+2＝0平分所有的圆∁kC.直线2x-3y+1＝0被圆∁k截得的弦长相等D.存在一个圆∁k与x轴和y轴均相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 已知l // α，直线l的一个方向向量为(a, 2, 1)，平面α的一个法向量为(1, -12, 2)，则实数a的值为________．14. 当直线l：(m+1)x+(2m+1)y-7m-4＝0(m∈R)被圆C：(x-2)2+(y-1)2＝25截得的弦最短时，实数m的值为________．15. 圆C1:x2+y2+2x-3＝0与圆C2:x2+y2-4x-8y+m＝0恰有四条公切线，则实数m的取值范围为________．16. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为AA1的中点，M在侧面AA1B1B上，若D1M⊥CP，则△BCM面积的最小值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.)17. 已知A(-3, 0)，B(3, 0)，动点M到点A的距离是它到点B的距离的3倍． （1）求点M的轨迹方程；（2）已知过点P(1, 0)的直线l截（1）中M的轨迹的弦长为27，求直线l的方程．18. 如图，圆的直径AC＝2，B为圆周上异于A，C的点，PA垂直于圆所在平面，∠PCA＝45∘． （1）求证：BC⊥PB；（2）若sin∠BPC=64，求平面BCP与平面ACP夹角的余弦值．19. 叙述并证明直线与平面垂直的判定定理．20. 小岛A处东偏南θ角方向(cosθ=210)300km的海面P处生成一个台风，台风侵袭的范围为半径60km圆形区域，并以10km/h的速度不断增大．该台风以20km/h的速度向西偏北45∘方向移动． （1）10小时后，该台风是否开始侵袭小岛？说明理由；（2）一艘渔船在生成台风8小时后到达小岛躲避台风，渔船需在小岛停留多长时间才能离开小岛？21. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=2，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，BC // AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1．O为AD的中点． （1）求证：CO⊥面PAD；（2）求直线AP与平面PCD所成角的正弦值；（3）求平面BPC与平面PCD夹角的余弦值．22. 平面直角坐标系xOy中，已知点P(2, 4)，圆O:x2+y2＝4与x轴的正半轴交于点Q． （1）若过点P的直线l1与圆O相切，求直线l1的方程；（2）若过点P的直线l2与圆O交于不同的两点A，B．①设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，问k1+k2是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由；②设线段AB的中点为M，点N(1, 0)，若MN=14OM，求直线AB的方程．参考答案与试题解析2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. C2. D3. B4. C5. A6. D7. B8. C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小给出的选项中，有多项符合题目要求全部逸对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. B,D10. A,D11. B,C,D12. A,D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. -114. -3415. (11, 20)16. 510四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.17. 设M(x, y)，因为A(-3, 0)，B(3, 0)，动点M到点A的距离是它到点B的距离的3倍，所以(x+3)2+y2(x-3)2+y2=3，整理得(x-6)2+y2＝27．∴ 点M的轨迹方程是(x-6)2+y2＝27．∵ 过点P(1, 0)的直线l截（1）中M的轨迹的弦长为27，∴ 圆心到直线的距离为d=27-7=25，设直线l的方程为y＝k(x-1)，即kx-y-k＝0，∴ 圆心(6, 0)到直线l的距离为|5k|k2+1=25，∴ k＝2，∴ 直线l的方程为y＝2(x-1)．18. 证明：连接AB，∵ B为圆周上异于A，C的点，PA垂直于圆所在平面，∴ BC⊥AB，BC⊥PA，∵ AB∩PA＝A，∴ BC⊥平面PAB，∵ PB⊂平面PAB，∴ BC⊥PB．∵ 圆的直径AC＝2，∠PCA＝45∘，sin∠BPC=64，BC⊥PB，∴ PA＝AC＝2，PC=22+22=22，∴ BC22=64，∴ BC=3，∴ AB=22-(3)2=1，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B(0, 0, 0)，C(3, 0, 0)，P(0, 1, 2)，A(0, 1, 0)，BC→=(3, 0, 0)，BP→=(0, 1, 2)，AC→=(3, -1, 0)，AP→=(0, 0, 2)，设平面BCP的法向量n→=(x, y, z)，则n→⋅BC→=3x=0n→⋅BP→=y+2z=0 ，取y＝2，得n→=(0, 2, -1)，设平面ACP的法向量m→=(a, b, c)，则m→⋅AC→=3a-b=0m→⋅AP→=2c=0 ，取a＝1，得m→=(1, 3, 0)，设平面BCP与平面ACP夹角为θ，则cosθ=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=235⋅4=155，∴ 平面BCP与平面ACP夹角的余弦值为155．19. 解：定理叙述：若一条直线垂直于一个平面内两条相交直线，则该直线与此平面垂直．如图，已知：直线b⊆π，c⊆π，b∩c=A，a⊥b，a⊥c，求证：a⊥平面π．证明：设p是平面π内任意一条直线，则只需证a⊥p，设直线a，b，c，p的方向向量分别是a→，b→，c→，p→，只需证a→⊥p→，∵ b∩c=A，∴ b与c不共线，直线b，c，p在同一平面π内，根据平面向量基本定理存在实数λ，μ使得p→=λb→+μc→，则a→⋅p→=λ(a→⋅b→)+μ(a→⋅c→)，∵ a⊥b，a⊥c，∴ a→⋅b→=0，a→⋅c→=0，∴ a→⋅p→=0，即a⊥p，所以直线a垂直于平面π．20. 以A为坐标原点，以正东方向为x轴，以正北方向为y轴，建立直角坐标系．则θ为第四象限角．∵ cosθ=210，∴ sinθ=-7210，∴ P的坐标为(300cosθ, 300sinθ)，即P(302, -2102)，∴ AP→=(302,-2102)，∵ 台风以20km/h的速度向西偏北45∘方向移动，∴ 台风与x轴正方向成135∘，设t小时后台风中心为Q(x, y)，∴ PQ→=(20tcos135,20tsin135)，即PQ→=(-102t,102t)，∴ AQ→=AP→+PQ→=(302-102t,-2102+102t)，∴ x=302-102ty=-2102+102t ，此时台风的半径R＝60+10t，∴ 10小时后台风中心Q(-702,-1102)，∴ AQ=(-702)2+(-1102)2=34000>25600=160=R，即AQ>R，∴ 10小时后，该台风没有侵袭小岛A．若小岛A受到台风侵袭，则QA≤R，∴ (302-102t)2+(-2102+102t)2≤60+10t，化简整理得：t2-36t-288≤0，∴ (t-12)(t-24)≤0，解得：12≤t≤24，即台风生成后12小时到24小时之间侵袭小岛A，∴ 渔船在小岛停留时间是：24-8＝16（小时）．21. 证明：在△PAD中PA＝PD，O为AD中点，∴ PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，∴ PO⊥平面ABCD，∵ CO⊂平面ABCD，∴ CO⊥PO，∵ 侧棱PA＝PD=2，PA⊥PD，∴ AD=2+2=2，∵ 底面ABCD为直角梯形，BC // AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1．O为AD的中点，∴ CO⊥AD，。