二面角求法专题.docx

二面角求法专题一、知识准备1 .二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 .2 .二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角3 .二面角的大小范围：[0 ° , 180° ]4 .三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直5 .二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：(1)定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2条射线，这2条所夹的角；(2)垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这 2条交线所成的角；(3)三垂线法：过一个半平面内一点(记为A做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足(记为B)再做棱的垂线，记垂足为 C,连接AC,则/ ACB即为该二面角的平面角例2如图1,设正方 体ABCD-ABCD中，E为CC中点，求截面 AiBD和EBD所成二面角的度数2、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例3平面ABCD 平面ABEF , ABCD是正方形，ABEF是矩形且AF=1AD=a , G是 EF的中点，2(1)求证：平面AGC 平面BGC ;(2)求G*平面AGCf成角的正弦值;(3)求二面角B- AC - G的大小例4点P在平面ABCM, ABC是等腰直角三角形, 是正三角形，PA BC1)求证：平面PAB平面ABC；ABC 90 , PAB(2)求二面角P- AC- B的大小3、垂向法：由一面角的平囿角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直， 的交线所成的角，就是二面角的平面角例如：过二面角内一点 A作AB± a于B,作ACX旷 则/ BOC就是二面角的平面角例 5 SA 平面 ABC, AB BC, SA AB(1)求证：SB BC；(2)求二面角 C- SA-(3)求异面直线SC与AB所成角的余弦值因此公垂面与两个面于C,面ABC交棱a于点O,(Xi 闩 /BC如图，已知PA与正方形 ABCD所在平面垂直，且 AB= PA,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小4.无棱二面角的处理方法(1)补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例7 如图所示，四棱锥 P-ABCD勺底面ABC虚边长为1的菱形，/ BCD= 60E是CD的中点，PA，底面 ABCD PA= 2.(I )证明：平面PBEL平面 PAB(n)求平面 PAD^平面PB即成二面角(锐角)的大小例8如图，设正三棱柱 ABC A1B1C1各棱长均为a,D为CCi中点,求平面A1BD与平面ABC所成二面角的度数2)射影面积法(s射影凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cosS射 ，—)求出二面角的大小例9 正方体 ABCD-ABCD中，E为棱 AA的中点，求平面 EBC和平面ABC所成的二面角90°, AP BP AB, PC例10如图，在三^麴i P ABC中，AC BC 2, ACB(i)求证：PC AB; (n)求二面角 B AP C的大小;例11如图3-5,在等腰直角三角形 ABO^, /A= 90° , BC= 6, D, E分别是AC AB上的点，CD= BE= 5O为BC的中点.将A AD曰gDE折起，得到如图（2）所示的四棱锥 A -BCDE其中（1）证明：A 0,平面BCDE（2）求二面角A -CDB的平面角的余弦值.A O '3.例12如图,四面体 ABCD^, 0是BD的中点，△ ABD^△ BCD匀为等边三角形，AB - 2,白匚二 代，（1）求二面角A — BC- D的余弦值；（2）点0到平面ABC勺距离.。