运算及其性质.ppt

5.2 运算及其性质 二元运算1、运算封闭性（定义5-2.1 ）： 若x，y∈A，有x * y∈A， 称*在A上是封闭的 例： A={x｜x=2n，n∈N}，问运算封闭否，，呢？解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （ｒ＋ｓ∈Ｎ）,∴运算封闭又：2，4∈A，2+4A，∴运算不封闭2，4∈A，2/4A， ∴运算不封闭结合律定义5-2.3 已知，若x，y，z∈A，有x*（y*z）=（x*y）*z，称*满足结合律 例：，若a，b∈A，有a*b=b证明：*满足结合律 证：a，b，c∈A，a*（b*c）=a*c=c( a*b）*c=b*c=c∴a*（b*c）=（a*b）*c∴ *满足结合律 ＃交换律定义5-2.2 已知，若x，y∈A，有 x*y=y*x，称*满足交换律例：设,*定义如下：a*b=a+b-ab ，问*满足交换律否？证：∵a，b∈A，a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a∴*满足交换律 ＃分配律定义5-2.4 设，若x，y，z∈A有: x*(y△z)=（x*y）△（x*z） (y△z)*x=(y*x)△(z*x) ，称运算*对于运算△可分配。

*         △         例：设A={，}，二元运算*，△定义如左表:问分配律成立否？ 分配律① 证明：x△(y*z)=(x△y)*(x△z)证：当x=：x△(y*z)= ; (x△y)*(x△z)=当x=：x△(y*z)=y*z ; (x△y)*(x△z)=y*z＃ 注: 若找不到规律, 则枚举所有情形进行验证 ②、运算*对运算△不可分配（举一个反例即可）证：∵*（△）=*=（*）△（*）=△= ＃吸收律定义5-2.5 设，若x，y∈A有:x*(x △ y)=x ， x △(x * y) =x， 分别称运算*和运算 △满足吸收律 例:N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y}, x△y=min{x，y} 试证：*和△满足吸收律证明：x，y∈N，x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x ，x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x ，∴ * 和△满足吸收律 ＃等幂律定义5-2.6 已知〈A，*〉，若x∈A，x*x=x 则称*满足等幂律。

例：已知集合s,〈（s）,∪,∩〉 A，B∈ （s）， A∪A=A, A∩A=AA∩（A ∪B）=A, A∪（A∩B）=A则∪和∩满足吸收律，等幂律幺元（单位元）和零元定义5-2.7，5-2.8设*是s上二元运算，er，eI，r，ｌ，e， s ， 有①.若xs，有el*x=x，称el为运算*的左幺元若xs，有x*er=x，称er为运算*的右幺元 ②.若xs，有l*x=l ，称l为运算*的左零元若xs，有x*r=r，称r为运算*的右零元③. 若xs，有e*x=x*e=x，则称e为运算*的幺元若xs，有*x=x*  =  ，则称为运算*的零元 幺元（单位元）和零元例：代数系统A=〈{a，b，c}， ° 〉, °用下表定义：°abc aabb babc caba则b是左幺元，无右幺元,a和 b是右零元, 无左零 元;运算°既不满足结合律，也不满足交换律幺元（单位元）和零元例:a）〈I，x〉， I为整数集则幺元为1，零元为0b）〈（S）,∪,∩〉对运算∪，是幺元， S是零元，对运算∩，S是幺元 ，是零元c）〈N，+〉有幺元0，无零元。

性质 ①、Th5-2.1: 设*是s上的二元运算，具有左幺元 el，右幺元er，则el=er=e证明： er = el* er = el ＃推论：二元运算的幺元若存在则唯一证明：反证法：设有二个幺元e，e’ ；则e=e*e’=e’ ＃幺元（单位元）和零元②、Th5-2.2: 设*是S上的二元运算，具有左零元ol ，右零元or，则ol=or=o (证明方法与定理5-2.1类似） 推论：二元运算的零元若存在则唯一 ③ Th5-2.2: 设〈A， *〉是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1如果该代数系统中存在幺元e和零元o ,则o ≠e 证明：（反证法）设o=e，那幺对于任意的x∈A，必有x=e *x=o*x=o=e于是，A中的所有元素都是相同的，这与A中元素个数大于1相矛盾 ＃逆元逆元定义定义5-2.9 设*是s上的二元运算，e是运算*的幺元。

①、若x*y=e那对于运算*，x是y的左逆元，y是x的右逆元②、若x*y=y*x=e，则称x是y的逆元，y的逆元通常记为y-1，存在逆元(或左逆无或右逆元）的元素称为可逆的（或左可逆的或右可逆的）逆元例: a)、代数系统 〈N，+〉中仅有幺元0有逆元0在〈R，×〉中，除零元0外所有元素均有逆元 b)、A=〈{a，b，c}，*〉由下表定义： b是幺元, a的右逆元为c，无左逆元，b的逆元为b ，c无右逆元，左逆元为a a b ca a a bb a b cc a c c逆元d）A={〈0，1，2，…，k-1〉，×k}模k乘法×k定义如下：x ×ky= x · y, x · y < k;(x · y)-(n · k) ，x · y≥k, n∈{0, ±1，…}则有些元素存在逆元，有些元素无逆元∴当且仅当x与k互质时，x有逆元推论：若k为素数，则A中任一非零元素都有逆元类似的可定义+k 逆元逆元的性质Th5-2.4: 对于可结合运算ο ，如果元素X有 左逆元ｌ， 右逆 元r，则l=r=x－１证：ｌ=ｌοｅ＝ｌο（xοr）=（ｌοx）οｒ＝ｅοｒ＝ｒ∴逆元存在为r。

推论：逆元若存在，则唯一证： 设r和r’是X的逆元，; 则r’ ＝r’ οｅ=r’ο(xοr)=(r’οx)οr=ｅοr ＝r从二元运算表中看运算性质1）运算﹡具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于A 2）运算﹡具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线是对称的 3）运算﹡具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上的每一个元 素与它所在的行（列）的表头元素相同 4）A关于运算﹡有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中的元素 都与该元素相同 5) A关于运算﹡有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与 运算表的行和列相一致 6）设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行，b所在列的 元素以及b所在行，a所在列的元素都是幺元。