第七章期权定价.ppt

股票价格的二叉树模型多期的二叉树模型二叉树模型中的参数n三个参数nu-股价上升幅度nd-股价下降幅度nP-股价上升概率n两个条件（在一个周期 ）n预期收益率为：n方差为：n参数的选择方法（非唯一选择）：简答的二叉树期权定价简单的二叉树期权定价（cont.）二叉树期权定价n假设n某股票现价为20，一个月后价格可能是22或18n该股票的欧式看涨期权一个月后到期，执行价为21n无风险利率为12%（连续复利）n期权到期价值：n若到期时股价为22，则看涨期权价值为1n若到期时股价为18，则看涨期权价值为0n构建组合：（组合包含a股股票和1个看涨期权的空头）n当到期时股价为22时，组合价值为22a-1n当到期时股价为18时，组合价值为18a例：二叉树期权定价（cont.）n求解：n令：22a-1=18an得：na=0.25n22a-1=18 a=4.5n期初该组合的价值应为：n20a-c=20*0.25-c=4.5*EXP(-0.01)=4.45522n得到：c=0.54478风险中性假设n可以利用股票和股票期权头寸构造一个无风险组合，该组合的期望收益率为无风险利率：nVt=a*S-c=EXP(-r(T-t))*VTn组合的到期价值表示为某种期望值的形式：VT=E(VT)=E(a*ST-cT)=aE(ST)-E(cT)n可以得到：nVt=a*S-c=EXP(-r(T-t))*[aE(ST)-E(cT)]n从上式，我们似乎可以得出这样的结论：n若股价的期望收益率为无风险利率： E(ST)=S*EXP(r(T-t)),则期权价值可由期权到期价值的期望值按无风险利率贴现得到，即：c=EXP(-r(T-t))*E(cT)风险中性假设（cont.）n现实世界n股价的期望收益率高于无风险利率n假设一个风险中性世界n所有的投资者既不是风险厌恶的，也不是风险喜好的，对它们来说，投资有风险的资产和投资无风险资产是无所谓的，它们只考虑预期收益率n在风险中性的世界中，所有资产的期望收益率与无风险资产的期望收益率，即无风险利率相同。

n在风险中性世界中对期权定价n期权价值由期权到期价值的期望值按无风险利率贴现得到n所得结果（期权价）放回现实世界仍成立风险中性世界中的二叉树模型例：二叉树期权定价（风险中性）n假设条件同上例n￿q=(e0.01-0.9)/(1.1-0.9)=0.55025n￿E(cT)=0.55025×1=0.55025n￿c=0.55025 e-0.01=0.54477多期二叉期权定价多期二叉树期权定价1多期二叉树期权定价2n方法二：利用风险中性假设n计算风险中性概率n计算达到末期每一个节点的概率n计算末期期权价值的期望值n按无风险利率折现nn期二叉树n计算n+1个节点的概率n无须倒退，直接折现例：多期二叉树期权定价n设某股票价格变化服从如下二叉树模型，每期为一个月，无风险利率为6%，求以该股票为标的，有效期2个月，执行价为20的欧式看涨期权的价格例：多期二叉树期权定价1例：多期二叉树期权定价2看跌期权定价n直接用二叉树法n利用平价关系美式期权定价n利用二叉树法逐步倒退n（在风险中性世界中）构造二叉树n逐步倒推n在每一个节点检查是否要提前执行n不付红利股票的看涨期权同欧式期权n看跌期权没有平价关系可用n直接利用二叉树法逐步倒推例：美式看跌期权n考虑一不付红利的美式看跌期权，参数如下：nS=50；K=50；r=10%; σ =40%nT=5 months=0.4167nΔt = 1 month = 0.0833n在风险中性世界中构造二叉树，参数如下：nu = 1.1224nd = 0.8909nq = 0.5076例：美式看跌期权（cont.）股票价格的行为模式股票价格的行为模式一、随机过程n1、随机过程n如果某变量的值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程(stochastic process)。

n2、分类n随机过程分为离散时间(discrete time)和连续时间(continuous time)两类n一个离散时间随机过程是指标的变量值只能在某些确定的时间点上变化的过程n一个连续时间随机过程是指标的变量值的变化可以在任何时刻发生的过程n随机过程也可分为连续变量(continuous variable)和离散变量(discrete variable)两种过程 n在连续变量过程中，标的变量在某一范围内可取任意值，n在离散变量过程中，标的变量只可能取某些离散值二、弱式效率市场假说与马尔可夫过程 n1、效率市场假说n 1965年，法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说该假说认为：n投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；n证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；n市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的n2、效率市场分类n效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式n弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。

n半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券 n强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息(包括“内幕信息”)对挑选证券都没有用处n效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此进行了实证分析结果发现，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说 n3、马尔可夫过程n弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程(Markov Stochastic Process)来表述n马尔科夫过程(Markov process)是一种特殊类型的随机过程n这个过程说明只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关 n股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)相一致：n一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录n如果弱型市场有效性正确的话，技术分析师可通过分析股价的过去历史数据图表获得高于平均收益率的收益是不可能的。

n是市场竞争保证了弱型市场有效性成立 三、维纳过程n布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述，以发现这种现象的英国植物学家Robert Brown命名n描述布朗运动的随机过程的定义是维纳(wiener)给出的，因此布朗运动又称维纳过程n股价行为模型通常用布朗运动来描述n布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式 （一）普通布朗运动 n变量z是一个随机变量，设一个小的时间间隔长度为Δt，定义Δz为在Δt时间内z的变化要使z遵循维纳过程，Δz必须满足两个基本性质：n性质1：Δz与Δt的关系满足方程式nΔz=ε n其中ε为服从标准正态分布(即均值为0、标准差为1.0的正态分布)中抽的一个随机值n性质2：对于任何两个不同时间间隔Δt，Δz的值相互独立 n从性质1，我们得到Δz本身具有正态分布，n Δz的均值=0n Δz的标准差=n Δz的方差=Δtn性质2则隐含z遵循马尔科夫过程 在一段相对长的时间T中z值的增加表示为z(T)-z(0)这可被看作是在N个长度为Δt的小时间间隔中z的变化的总量，这里n其中εi（i=1，2，……，N）是从标准正态分布的随机抽样值。

n从性质2中可知,εi是相互独立的，从上式可得z(T)—z(0)是正态分布的，其中n [z(T)—z(0)]的均值=0n [z(T)—z(0)]的方差=NΔt=Tn [z(T)—z(0)]的标准差=n例：n假设一个遵循维纳过程的变量z的最初值为25，以年为单位计时在第一年末，变量值服从均值为25；标准差为1.0的正态分布；第二年末，服从均值为25、标准差为√2或1.414的正态分布 维纳过程n 维纳过程n有时也称为布朗运动n最简单的随机过程n 定义：n若随机变量z满足以下性质，则称其服从维纳过程：n性质一：nΔz=ε(Δt)1/2 ε~N(0,1)n其中，Δz是z在一个小的时间间隔Δt内的变化n性质二：n对任何两个不同的时间间隔Δt，Δz的值相互独立n当Δt →0时，表示为：n dz= ε(dt)1/2一般化维纳过程n定义：n若一个随机变量x可表示为：ndx=adt+bdzn则称其服从一般化维纳过程：n其中，a, b为常数，dz服从上面我们定义的标准维纳过程nadt表示变量x的期望值随时间线性变化，a称为漂移率n其中第一项adt为确定项，adt项说明了x变量单位时间的漂移率期望值为a。

如果缺省bdz项，方程变为:ndx=adt→dx/dt=a→ x=x0+atn其中x0为x在零时刻的值经过长度为T的时间段后，x增加的值为aTn第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音或波动率这些噪声或波动率的值为维纳过程的b倍 类似的，可得任意时间T后x值的变化具有正态分布，且：n方程：dx=adt+bdzn给出了普通布朗运动，其漂移率(即单位时间平均漂移)的期望值为a，方差率(即单位时间的方差)的期望值为b2如图：伊藤过程 (ITO Process)n定义：n若一个随机变量x可表示为：ndx=a(x,t)dt+b(x,t)dzn则称其服从ITO过程：nITO过程也是一个一般化维纳过程，但是其中的参数a和b是随机变量本身x和时间t的函数，而不再是常数n变量x的漂移率为a，方差率为bn即Ito过程的期望漂移率和方差率都随时间变化而变化股票价格过程n考虑不付红利股票的价格遵循的随机过程n维纳过程n dS=dz= ε(dt)1/2n一般化维纳过程?ndS=adt+bdzn伊藤过程?ndS=μSdt+σSdzn上式是描述股票价格行为的最广泛使用的一种模型n形式简单，比较容易处理，对实际情况的合理近似nσ称为股票价格波动率nμ称为预期收益率n这种假定表明股票价格运动具有不变的期望漂移率和方差率。

n以S代表股票价格, Δt时间段股价的变化为ΔS，那么在Δt时间段，ΔS的均值为aΔt,方差为b2Δt此时aΔt/S代表股票的期望收益率n这表明承担相同风险的情况下，股价高的获得的收益率低，股价低的获得的收益率高n这与投资者要求来自股票的期望收益率与股票价格无关的现实不一致 1、假定股票价格遵循普通布朗运动的不合理性n2、假定股票价格变化率遵循普通布朗运动的合理性n假设股价变化比率遵循布朗运动设S遵循期望漂移率为μS（μ为常数）的布朗运动因此，在短时间间隔Δt后，S的增长期望值为μSΔt,参数μ是股票的期望收益率，以小数的形式表示n即，假定ΔS/S的变化遵循普通布朗运动，其期望漂移率μ为一恒定参数在短时间间隔Δt后，ΔS/S的期望值（股票的期望收益率）为μ （1）若股票价格的方差率恒为0，这个模型即为： n其中So是零时刻的股票价格以上方程说明了当方差率为0时，股票价格以单位时间为μ的连续复利方式增长（2）股票价格的方差率不为0 n当然，实际上股票价格确实存在着波动率n一个合理假设是：无论股票价格如何，短时间Δt后的百分比收益率的方差保持不变n即，不管股票价格为$50还是$10，投资者认为他或她的收益率的不确定性是相同的。

n定义σ2为股票价格比例变化的方差率，n即σ2Δt是Δt时间后股票价格比例变化(proportional change)的方差，nσ2S2Δt是经过Δt后股票价格的实际变化(actual change)的方差n因此，S的瞬态方差率(instantaneous variance rate)为σ2S23、股票价格行为的几何布朗运动 n（1）从以上阐述可以得出结论：S可以用瞬态期望漂移率(instantaneous expected drift rate)为μS和瞬态方差率为σ2S2的Ito过程（几何布朗运动）来表达，表示为： n几何布朗运动是描述股票价格行为最广泛使用的一种模型n变量σ通常被称为股票价格波动率(stock price volatility)即是股票收益率单位时间的标准差σ2表示股票收益率单位时间的方差n变量μ为股票在单位时间内以连续复利表示的股票价格的预期收益率(expected rate of return)n这两个参数假设为常数ndz表示标准布朗运动n（2）从几何布朗运动可知，在短时间Δt后，证券价格比率的变化值ΔS/S为：n ΔS/S=μΔt+σε n方程的左边是短时间Δt后股票的收益率。

nμΔt项是这一收益率的期望值，nσε 项是收益率的随机部分随机部分的方差(也是整个收益的方差)为σ2Δt 可见，ΔS/S也具有正态分布特征，其均值为μΔt，标准差为σ ，方差为σ2Δt n其中φ(m，s)表示均值为m，标准差为s的正态分布 n短时间Δt后股票价格比例变化的标准差为σ n作一粗略的近似，在相对长一段时间T后股票价格比例变化的标准差为σ n这就是说，作为近似，波动率可被解释为一年内股票价格变化的标准差n注意：在一段较长时间T后的股票价格比例变化的标准差并不精确地为σ 这是因为比例变化不具有可加性 4、参数的讨论 n（1）参数时间：n在几何布朗运动中，我们涉及两个符号：μ和σ，其大小取决于时间计量单位n若无特别申明，通常以年为时间的计量单位 n（2）μn根据资本资产定价原理，μ值取决于：n该证券的系统性风险，n无风险利率水平(利率水平越高，投资者要求任一种股票的预期收益率就越高)，n市场的风险收益偏好(多数投资者认为，如果承担更大的风险，将要求获得更高的预期收益率所以μ值应当取决于股票收益的风险)n由于后者涉及主观因素，因此μ的决定本身就较复杂。

n然而幸运的是衍生证券的定价与标的资产的预期收益率(μ)是无关的n因为依附于某种股票的衍生证券的价值一般是独立于μ的n（3）σn证券价格的波动率σ对于衍生证券的定价则是相当重要的n证券价格的波动率可理解为证券价格的“脾气”，我们可以通过历史数据来观察各种证券“脾气”的大小，然后通过几何布朗运动来确定其未来价格的概率分布n注意，几何布朗运动把σ当作常数，实际上，证券价格的脾气是会变的σ会随时间变化而变化 5、例n设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18％，预期收益率以连续复利计为每年20％，其目前的市价为100元，求一周后该股票价格变化值的概率分布解：μ=0.20,σ=0.18，其股价过程为：dS/S＝0.20dt十0.18dz在随后短时间间隔后的股价变化为:ΔS/S=0.20Δt+0.18ε由于1 周等于0.0192年，因此ΔS=100(0.00384+00249ε) =0.384+2.49ε上式表示一周后股价的增加值是均值为0.384元，标准差为2.49元的正态分布的随机抽样值ITO定理n定理：n 设变量x遵循ITO过程ndx=a(x,t)dt+b(x,t)dzn 则x和t的函数G(x,t)遵循如下过程：n其中，dz是与上述过程中同样的维纳过程。

n G实际上也遵循一个ITO过程ITO定理应用于股票价格ITO定理应用于股票价格(cont.)Black-Scholes定价公式n考虑一个基于不付红利股票的欧式看涨期权，n在到期日期权价值为max(ST-K,0)n其期望值为 E[max(ST-K,0)]n则该期权的价值，也就是其现值应为nc=exp[-r0(T-t)]*E[max(ST-K,0)]n其中，r0为一贴现率，待定Black-Scholes定价公式(cont.)n 按照风险中性假设，当我们希望以无风险利率r来贴现期权的价值时，即r0=r，股票的期望收益率也应该为无风险利率，即μ=r，于是我们得到n我们有了lnST的概率分布，就可以得到ST的概率分布，即其密度函数，有了ST的密度函数，E[max(ST-K,0)]就是一个积分过程，通过积分我们就可以得到结果，即著名的Ｂ-Ｓ公式Black-Scholes定价公式(cont.)Black-Scholes定价公式(cont.)n利用欧式看涨－看跌期权的平价关系，我们可以得到看跌期权的定价公式n注：Black-Scholes期权定价公式的基本形式适用于不付红利股票的欧式期权例:B-S公式B-S公式中参数的确定n影响股票期权价格的６个因素：n￿股价Ｓ：股票市场上直接可以观测到n￿执行价K：期权合约规定n￿到期期限T-t：期权合约规定n￿波动率σ：需估计n￿无风险利率r：根据相应期限的国债价格计算可得到n￿红利Ｄ：此处不考虑红利 ，B-S公式中未出现波动率的估计n一种方法是利用股价的历史数据进行估计，估计公式为：n其中，ui=ln(Si/Si-1)，n+1为对股价的观测次数，Si是第i个时间间隔末的股票价格，τ是时间间隔的长度，ui实际上是用连续复利表示的股价收益率。

n问题：用多长的时间的历史数据 ？隐含波动率n￿估计波动率的另一种方法n￿所谓的隐含波动率的方法n￿不需要利用历史数据n￿隐含波动率(implied volatility) n￿市场中观测到的期权价格中隐含的股价波动率n￿利用B-S公式倒推而得，一般是数值解n￿试错搜索过程，可以获得n一般不能直接通过B-S模型解出计算隐含波动率n第一步：收集S、r、T、K以及看涨期权价格，设定所需的精度n第二步：选择σ初始值n第三步：根据B-S模型计算看涨期权价格n第四步：在确定的精度下，期权的市场价格是否等于模型价格n第五步：n如果是，隐含波动率即为当前的σ值n如果否，需要根据模型价格与市场价格关系调整σ值，然后重复执行第三-五步，直到满足第四步要求隐含波动率的作用？n与隐含波动率低的期权相比，隐含波动率高的期权价格高n通过观察隐含波动率，投资者很快发现哪个期权最贵，哪个期权最便宜因此期权市场通常用隐含波动率报出期权价格如6月125期权根据隐含波动率报价0.83，而6月120期权报价0.79，后者比前者便宜n隐含波动率是对股票未来波动率的良好预测n但是由于股票波动率没有明确的衡量标准，所以当隐含波动率的时候，投资不能期望找到成功交易的简单方法。

例:隐含波动率n隐含波动率根据执行价格调整的模式称为波动率微笑和波动率偏斜n这说明B-S模型并不完美。