福建师范大学21春《近世代数》在线作业三满分答案32.docx
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福建师范大学21春《近世代数》作业三满分答案1. 函数y=Ax2+B在区间(-∞，0)内单调增加，则A，B应满足( )． A．A＞0，B任意 B．A＜0，B≠0 C．A＜0，B任意 D．A＜0，B=0函数y=Ax2+B在区间(-∞，0)内单调增加，则A，B应满足( )． A．A＞0，B任意 B．A＜0，B≠0 C．A＜0，B任意 D．A＜0，B=0C2. 试证明： 设{fk(x)}是E上非负可积函数列，且fk(x)在E上几乎处处收敛于f(x)≡0．若有 (k=1,2,…), 则．试证明： 设{fk(x)}是E上非负可积函数列，且fk(x)在E上几乎处处收敛于f(x)≡0．若有 (k=1,2,…), 则．[证明] 令Fk(x)=max{f1(x)，f2(x)，…，fk(x)}，我们有0≤F(x)≤Fk+1(x)(k∈N)．若记Fk(x)→F(x)(k→∞)，则 ，F∈L(E). 从而得 . 3. 试证明： 设fn(x)是[0，1]上的递增函数(n=1，2，…)，且fn(x)在[0，1]上依测度收敛于f(x)，则在f(x)的连续点x=x0上试证明： 设fn(x)是[0，1]上的递增函数(n=1，2，…)，且fn(x)在[0，1]上依测度收敛于f(x)，则在f(x)的连续点x=x0上，必有 fn(x0)→f(x0)(n→∞)．[证明] 反证法，假定fn(x0)当n→∞时不收敛于f(x0)，则存在ε0＞0，以及{fnk(x0)}，使得 fnk(x0)≥f(x0)+ε0 或 fnk(x0)≤f(x0)-ε0. 若前一情形成立，则由x0是f的连续点可知，存在δ＞0，使得 f(x)＜f(x0)+ε0/2 (x0≤x＜x0+δ)． 由于fnk(x)≥fnk(x0)≥f(x0)+ε0＞f(x)，故得 m({x∈[0,1]:fnk(x)＞f(x)})≥δ (k∈N). 但这与fn(x)在[0，1]上依测度收敛于f(x)矛盾． 4. 一个面包店有6种不同类型的糕点，这些糕点以每打12个为单位向外出售。
假如你有很多钱，你能买多少打(装配成的)一个面包店有6种不同类型的糕点，这些糕点以每打12个为单位向外出售假如你有很多钱，你能买多少打(装配成的)不同的糕点?如果在每打中每种糕点至少1个，你又能买到多少打不同的糕点?假设面包店每种糕点都有很多(每种至少12个)由于每打中的糕点顺序与购买者无关，故为组合问题，则能买到不同糕点打数即为6种类型的多重集(无穷重数)的12-组合数，其值为 如果每打中每种类型糕点至少出现一次，则12-组合数是力程 x1+x2+…+x6=12 xi≥1 i=1，2，…，6 的整数解个数作变量代换 yi=xi-1 i=1，2，…，6 则方程变为 y1+y2+…+y6=6 yi≥0 i=1，2，…，6 这个方程的非负整数解个数为 5. 若一元函数φ(x)在[a，b]上连续，令 f(x，y)=φ(x)，(x，y)∈D=[a，b]×(-∞，+∞)． 试讨论f在D上是否连续?是否一致连若一元函数φ(x)在[a，b]上连续，令 f(x，y)=φ(x)，(x，y)∈D=[a，b]×(-∞，+∞)． 试讨论f在D上是否连续?是否一致连续?f(x，y)在D上连续且一致连续． 因为φ(x)在闭区间[a，b]上连续，所以φ(x)在[a，b]上一致连续．因而对，当x1，x2∈[a，b]，|x1-x2|＜δ时，有 |φ(x1)-φ(x2)|＜ε． 由于f(x，y)=φ(x)与y无关，所以对，当|x1-x2|＜δ，|y1-y2|＜δ(或ρ(P1，P2)＜)时，就有 |f(x1，y1)-f(x2，y2)|=|φ(x1)-φ(x2)|＜ε． 故f(x，y)在D上一致连续． 6. 设随机变量X的分布函数为，求常数A，以及满足条件P{X＜c}=2P{X＞c}的常数c．设随机变量X的分布函数为，求常数A，以及满足条件P{X＜c}=2P{X＞c}的常数c．A=2/π，．7. 已知f(x+y，x-y)=xy+y2，则f(x，y)=________．已知f(x+y，x-y)=xy+y2，则f(x，y)=________．正确答案：(1/2)(x2-xy)．(1/2)(x2-xy)．8. 从形式上看，矩阵和行列式都是矩形数表，试问二者有什么区别和联系?从形式上看，矩阵和行列式都是矩形数表，试问二者有什么区别和联系?正确答案：×矩阵和行列式是两个完全不同的概念。
矩阵是由m×n个元素排成的一张表,它的行数和列数不一定相等；而行列式是一个特定的算式,其结果为一个数,它的行数和列数必须相等对于方阵,相应的有与之对应的行列式方阵行列式的引入,在矩阵与行列式之间建立起了一定的联系,从而可以利用行列式来研究矩阵,如利用|A|≠0可以判断方阵A的可逆等9. 求微分方程x"+kx=0的通解．求微分方程x"+kx=0的通解．特征方程为λ3+k=0． 当k=0时，有通解为：x=C1+C2t+C3t2， 当k≠0时，特征根分别为通解为 10. 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d． [提示：应用综合除法． ]设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d． [提示：应用综合除法． ]由 可知，以x-2除f(x)得余数d；再以x-2除商q1(x)得余数c；再以x-2除第二次商q2(x)得余数b，易知a=2，也是第三次除法所得之商． 算式如下： 结果有 f(x)=2x3-x2-3x-5 =2(x-2)3+11(x-2)2+23(x-2)+13． 11. 若f(x，y)的偏导数存在，则f&39;x(x0，y0)=0，f&39;y(x0，y0)=0是f(x，y)在(x0，y0)取得极值的( )． A．充分条件若f(x，y)的偏导数存在，则f'x(x0，y0)=0，f'y(x0，y0)=0是f(x，y)在(x0，y0)取得极值的( )． A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．无关条件B12. 设某公司所属的两个分店的月营业额分别服从N(ui，σ2)，i=1，2．先从第一分店抽取了容量为40的样本，求得平均月营设某公司所属的两个分店的月营业额分别服从N(ui，σ2)，i=1，2．先从第一分店抽取了容量为40的样本，求得平均月营业额为样本标准差为s1*=64.8万元；第二分店抽取了容量为30的样本，求得平均月营业额为，样本标准差为s2*=62.2万元．试求u1-u2的双侧0.95置信估计答案：由给出的数据得：13. 在Re(p)在Re(p)A、0.0B、1.0C、2.0D、3.0正确答案： A14. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有三阶导数，且满足条件：证明利用泰勒公式证设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有三阶导数，且满足条件：证明利用泰勒公式证利用泰勒公式可得知 从而有 (*)由于，可知 由(*)可得 令j=1，即 相仿可得 ………… 不妨记为待定数值，可得含有(n-1)个未知量，(n-1)个方程构成的方程组 系数行列式D为 可知上述齐次线性方程组仅有零解，即 15. 设函数f(x)在[-2，2]上可导，且f(-2)=0，f(0)=2，f(2)=0．试证曲线弧C：y=f(x)(-2≤x≤2)上至少有一点处的切线平行设函数f(x)在[-2，2]上可导，且f(-2)=0，f(0)=2，f(2)=0．试证曲线弧C：y=f(x)(-2≤x≤2)上至少有一点处的切线平行于直线x-2y+1=0．[证] 直线x-2y+1=0的斜率为，要证至少存在一点ξ∈(-2,2)，使. 设 ，φ(x)在[0，2]上连续，φ(0)=2，φ(2)=-1，由介值定理知至少存在一点η∈(0，2)使φ(η)=1，又φ(-2)=1，φ(x)在[-2，η]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点，使φ'(ξ)=0，即． 16. 求微分方程xy&39;-y=x3+3x2-2x的通解．求微分方程xy'-y=x3+3x2-2x的通解．17. 求与直线x＋9y－1=0垂直的曲线y=x3－3x2＋5的切线方程．求与直线x+9y-1=0垂直的曲线y=x3-3x2+5的切线方程．因为曲线y=x3-3x2+5上任一点处切线的斜率为 y'=3x2-6x 而直线x+9y-1=0的斜率为-1/9依题意有 3x2-6x=9 解之得x1=-1，x2=3．故可求得切点 对应于该两切点的切线斜率为 k1=y'|x=-1=9及k2=y'|x=3=9故两切线方程为 y-1=9(x+1) 及y-5=9(x-3) y-9x-1=0及y-9x+22=0 18. 证明空间P1(5，3，-2)，P2(4，1，-1)与P3(2，-3，1)三点共线．证明空间P1(5，3，-2)，P2(4，1，-1)与P3(2，-3，1)三点共线．由于向量因此向量平行，即P3位于过P1，P2的直线上，也就是P1，P2，P3三点共线．19. 如果一个代数系统(A，*)，含有单位元素，那么什么条件下可以保证一个元素的左逆元素必定等于右逆元素，且一个元如果一个代数系统(A，*)，含有单位元素，那么什么条件下可以保证一个元素的左逆元素必定等于右逆元素，且一个元素的逆元素是唯一的，并给予证明．“*”运算要是可结合的．设a∈A，有左逆元a-1和右逆元a-1，则 al-1=al-1*e=al-1*(a*(ar-1)=(al-1*a)*ar-1=e*ar-1=ar-1 即有左、右逆元相等：al-1=ar-1． 假设a有两个逆元al-1，ar-1，则： a1-1=a1-1*e=a1-1*(a*a2-1)=(a1-1*a)*2-1=e*a2-1=a2-1， 即a的逆元唯一． 20. 已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1-x2，且，则φ(x)=______．已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1-x2，且，则φ(x)=______．arcsin(1-x2)()21. 设f(n)(x0)存在，且f(x0)=f&39;(x0)=…=f(n)(x0)=0，证明 f(x)=o[(x-x0)n](x→x0).设f(n)(x0)存在，且f(x0)=f'(x0)=…=f(n)(x0)=0，证明 f(x)=o[(x-x0)n](x→x0).[证] 根据题设，依次应用柯西中值定理n-1次，得 ， 其中ξ1，…，ξn-1均介于x，。
