线性代数考精彩试题型及范围.docx

线性代数考试题型及范围：一、填空1、 已知矩阵A或B,求A与B之间的运算，如AB, A逆B逆，kA2、 已知方阵A, 求A的行列式，A的伴随矩阵，A的伴随矩阵的行列式3、 求向量组的秩4、 求矩阵 A 的相似矩阵 B 的行列式5、 其次线性方程组有非零解的充要条件二、选择1、 同阶方阵 A、 B 的运算性质2、 两个相似矩阵 A B 的性质3、 关于向量线性相关性的选择题4、 非齐次方程组的特解与其齐次方程组的基础解系之间的关系5、 二次型正定性的判定三、 计算题1 、行列式的计算2、求 A 的逆矩阵四、 解答题1、 求向量组的极大线性无关组2、 用基础解析求方程组的通解五、 给定实对称矩阵A, 求可逆阵P, 使P-1AP为对角阵六、 证明题：（关于矩阵，具体内容未知）记住这些话：第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开 定理以及 AA*=A*A=|A|E 第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析第三句话：若题设n阶方阵A满足f（A）=0,要证aA+bE 可逆,则先分解出因子aA+bE再说第四句话：若要证明一组向量al, a 2,…，as线性无关，先考虑用定义再说。

第五句话：若已知AB=O,则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说第七句话：若已知A的特征向量p,则先用定义Ap=2p处理一下再说第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算；N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n"2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶I a | = a行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n〉=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开 降阶特殊情况（1） 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2） 行列式值为 0 的几种情况：I 行列式某行（列）元素全为0;II 行列式某行（列）的对应元素相同；III 行列式某行（列）的元素对应成比例；IV 奇数阶的反对称行列式二．矩阵1.矩阵的基本概念（表示符号、-些特殊矩阵--如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1） 加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2） 关于乘法的几个结论：① 矩阵乘法一般不满足交换律（若AB = BA，称A、B是可交换矩阵）；② 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③ 若A、B为同阶方阵，则I AB| = |A|*|B| ；④ |kA|=k"n|A|3．矩阵的秩(1) 定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；(2) 秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元 所在列，从此元开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵)。

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩4．逆矩阵(1) 定义：A、B为n阶方阵，若AB = BA= I, 称A可逆，B是A的逆矩阵(满足半边也成立)；(2) 性质：(AB)'T=(B'-1)*(A'-1), (A')'T=(A'-1)' ; (A B 的逆矩阵，你懂的)(注 意顺序)(3) 可逆的条件：① |A|#0; ②r(A)=n;③A-〉I;(4) 逆的求解伴随矩阵法 A"-1=(1/|A|)A*; (A* A的伴随矩阵~)②初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:A'T)5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则 X= (A'-l) B;XB=A，则 X=B(A"-1);AXB=C，则 X=(A"-1)C(B"-1)三、线性方程组1．线性方程组解的判定定理：(1) r(A,b)#r(A)无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3) r(A,b)=r(A)

2)解的结构：X=c1 a l+c2 a 2+・・・+Cn-r a n-r 3)求解的方法和步骤：①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；② 写出对应同解方程组；③ 移项，利用自由未知数表示所有未知数；④ 表示出基础解系；⑤ 写出通解3．非齐次线性方程组( 1 )解的情况：利用判定定理2）解的结构：X二u+cl a l+c2 a 2+・・・+Cn—r a n—r3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）四、向量组l ． N 维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）2．向量的运算：（l ）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积 a ' 0 二a1b1+a2b2+・・・+anbn;（ 3）向量长度| a | =^a ' a =丿（al 2+a2 2+・・・+an 2）（“ 根号）（ 4）向量单位化 （l/| a |） a;（ 5）向量组的正交化（施密特方法）设a 1,a 2,…，an线性无关，则0 l=a l ，0 2=a 2—（a 2'0 l/0 l'0） *0 l,03=a3— （a3'01/01'01） *01— （a3'02/02'02） *02, 3．线性组合(1) 定义 若0二kl a l+k2 a 2+・・・+kn a n，则称0是向量组a 1,a 2,…，an的一个线 性组合，或称0可以用向量组a 1,a 2,…,an的一个线性表示。

2) 判别方法 将向量组合成矩阵，记A=(a1,a 2, …，an), B=( a 1,a 2, …，a n, 0)若 r (A)=r (B),则0可以用向量组a 1,a 2,…，an的一个线性表示；若 r (A)#r (B),则0不可以用向量组a 1,a 2,…，an的一个线性表示3) 求线性表示表达式的方法：将矩阵 B 施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数4．向量组的线性相关性(1) 线性相关与线性无关的定义设 kl a 1+k2 a 2+・・・+kn a n=0,若 k1,k2, …, kn 不全为 0,称线性相关；若 kl,k2, …, kn 全为 0,称线性无关2) 判别方法：① r(a1,a 2,…，an)〈n，线性相关；r( a 1,a 2,…，an)二n，线性无关② 若有 n 个 n 维向量,可用行列式判别：n阶行列式aij = 0, 线性相关(#0无关)(行列式太不好打了)5．极大无关组与向量组的秩(1) 定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩(2) 求法 设A= ( a 1,a 2,…,an)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩， 而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。

五、矩阵的特征值和特征向量1. 定义 对方阵A,若存在非零向量X和数久使AX=AX，则称久是矩阵A的特征值，向量 X称为矩阵A的对应于特征值久的特征向量2. 特征值和特征向量的求解：求出特征方程|久I-A|=O的根即为特征值，将特征值久代入对应齐次线性方程组（久I-A）X =0中求出方程组的所有非零解即为特征向量3. 重要结论：（1） A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；（2） A与A的转置矩阵A'有相同的特征值；（3） 不同特征值对应的特征向量线性无关六、 矩阵的相似1. 定义 对同阶方阵A、B, 若存在可逆矩阵P, 使P'TAP=B，则称A与B相似2. 求A与对角矩阵八相似的方法与步骤（求P和A）：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n 个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成对角阵即为 A3. 求通过正交变换 Q 与实对称矩阵 A 相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化七、 二次型n1.定义 n元二次多项式f（x1,x2,…，xn）二工aijxixj称为二次型，若aij=O（i#j）,则称 为二交型的标准型。

i,j=12．二次型标准化：配方法和正交变换法正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q,Q"-1=Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换3．二次型或对称矩阵的正定性：（1 ）定义（略）；（2）正定的充要条件：① A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0;② A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0 ；《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n"2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶I a | = a行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n〉=3）行列式的。