等比数列高考专题复习资料.doc

等比数列【知识点回顾】1. 等比数列的概念q称为等比数如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数 q(q 0)，这个数列叫做等比数列，常数列的公比.2. 通项公式与前n项和公式⑴通项公式：ann 1ag ,a1为首项，q为公比.⑵前n项和公式：①当q1 时，Snna1②当q1时，&d(1 qn)a1anq1 q1q3.等比中项如果a, G ,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：C是a与h的等差中项a , A,b成等差数列G2 a b.即：G是a与b的等差中项4.等比数列的判定方法a⑴定义法：n 1q(nN , q0是常数)an是等比数列;an⑵中项法：an12anan2( n N)且 an 0an是等比数列5.等比数列的常用性质⑴数列an是等比数列，则数列 pan、 pan ( q 0是常数)都是等比数列；公比为qk .⑵在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an,an k,an 2k,an 3k,为等比数列,⑶ an am qn m(n,m N )⑷若 m n p q(m, n, p,q N )，则 am a. ap aq ；⑸若等比数列 an的前n项和Sn，则Sk、S2k Sk、S3k S2k、S4k S3k是等比数列【方法总结】1. 求等比数列的公比、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质 •例1.已知等比数列an的前n项和Sn pn 1( p是非零常数),则数列an是()A.等差数列 B. 等比数列 C. 等差数列或等比数列 D.非等差数列［名师点拨］先由Sn求出an，再根据等差、等比数列定义作出判定 .解： Sn pn 1， an Sn Sn1 (P 1)pn1( n 2).•.当p 1,且p 0时，an是等比数列； 当p 0时，an是等差数列，选 C.2. 求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论例2.若实数数列1,a1 ,a2,a3,4是等比数列，则 a2 ［名师点拨］本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式 a； 1 4，得a2 2.2解：1, a1,a2, a3,4 是等比数列， a? 1 4，得 a? 2.又 1,a1,a2是等比数列， al 1 a2,a1 R， a2 2.考点一等比数列的通项与前 n项和题型1：已知等比数列的某些项，求某项例1.已知an为等比数列，a2 2, a6 162，则a® ［解题思路］可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质解：方法1：a2ag52q4 81a61629a〔o a〔q4a6q1628113122方法2：4 a6 162 qa2 281，4a10 a6q 162 81 13122方法3：an为等比数列22a 2 a102 a6a6 a1016213122a22题型2：已知前n项和Sn及其某项，求项数.an 48，公比q 2，则项数n例2.⑴已知Sn为等比数列 an前n项和，Sn 93，4⑵已知四个实数，前三个数成等差数列,后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为［解题思路］⑴利用等比数列的通项公式ann 1ag 及 Sn求出a1及1 q代入Sn可求项数n ；36，求这四个数⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数解：⑴由Sn 93，an 48，公比q 2，d(2n 1)a1 2n 1932n 325.⑵方法1：设这四个数分别为 a,b,c,d，则2b2c48bd；b 37c 36方法2:设前2个数分别为a,b，则第34个数分别为36b,37 a，则2b (36(36 b)2b^7 aa），解得12或16994 •81 ；方法3：设第2、个数分别为b，则第1个数为2b c，c2第1个数为 ，则b812b c2cT36b 16或c 2063'T方法4:设第2、个数分别为b,c，设第1,4个数分别为2c2方法5:设第3、个数分别为c, d ,则设第1,2个数分别为37d,36c,则2(36 c) c2 d (36(37c)d) c20 16 或 c 竺 d25 449T题型3:求等比数列前 例3.等比数列1,2,4,8,n项和中从第5项到第10项的和.［解题思路］可以先求出編，再求出S4，利用S10S4求解；也可以先求出a5及 a10，由a5 , a6, a7 , , a10成等比数列求解•解：由a11, a? 2，得 q 2，S10101(1 2 )1 241(1 2 )1023，S41 215，S10 S4 1008.例4.已知Sn为等比数列an前n项和，an 13 3233n 1 —3 ，求 Sn［解题思路］可以先求出an，再根据an的形式特点求解.解：an 1 332c3 ^n 13 31(113n)33n212，Sn1 2-(3 3333 ) —n丄3(13n)1 n222132即Snn .3 13n44例5.已知Sn为等比数列an前n项和，an(2n1)3n，求 Sn［解题思路］分析数列通项形式特点，结合等比数列前 n项和公式的推导，采用错位相减法求和解：an(2n 1)3'1Sn1 33 32533(2n1)3n①， -3Sn1 323 33534(2n3)3n (2n 1)3n1②①一②,得2Sn 32(3233 343n) (2n1) 3n13 2 Y (2n 1)3n1 (2 2"3n1 6n 1Sn (n 1) 3 3.变式1：已知an为等比数列,a〔 a?a33, a6 a7 a8求 a〔1 a〔2印3的值.解：设等比数列 an的公比为a1 a? a3 3, a6 a7a8 6，a4 a5 a6a 1 a 2ai1 ai2a3ai3 ；考点二证明数列是等比数列例6.已知数列an和bn满足：ai21 an3bn1)n(an3n 21)，其中 为实数，n N .⑴对任意实数 ，证明数列 an不是等比数列；⑵ 试判断数列 bn是否为等比数列，并证明你的结论bn是等比数列,［解题思路］⑴证明数列an不是等比数列，只需举一个反例；⑵证明数列2，使an是等比数列，则有a2 a1 a3，常用：①定义法；②中项法⑴定义法:an 1anq( n N , q 0是常数)an是等比数列;⑵中项法:(n)且 an 0an是等比数列.变式1 :已知数列｛ an｝的首项a1c 丄 1 ^(- 1)，又 a1an 12 a.2323an 12an an 1 1 1 1-1 了a11n 1,2,3,….证明：数列｛ 1｝是等比数列;an2 即(=-3)2(44)42 49 - 2 49 0,矛盾3999所以an不是:等比数列.⑵解:因为bn ( 1)n(an3n21)(1)n 1 an 1 3(n1) 21解：⑴ 证明：假设存在一个实数(n 11) an1 3n18n 1 / 2(1) (- an2n14) t(1)n1(an 3n 21) |bn1(18),所以18,bn0(nN ),此时bn不是:等比数列；18,b1(8)时,由上可知bnbn 10, 口|(nN )，此时bn是等比数列【名师点拨】等比数列的判定bn3又D当当方法:111数列｛— 1｝是以丄为首项，丄为公比的等比数列an 2 2考点三等比数列的性质例7.已知Sn为等比数列 an前n项和，Sn 54 , S2n 60 ,则S3n . ［解题思路］结合题意考虑利用等比数列前 n项和的性质求解.解： an是等比数列， Sn,S2n S.^n S?n为等比数列，182• •• 54(S3n 60) 36 S3n3【名师点拨】 给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法变式1:已知等比数列 an中，an 0,(2a4 a2 a6)a4 36，则a3 a5 .解： an是等比数列，an 02(2a4 a2 a6)a4 36 (a3 a5) 36 a3 a5 6.考点四等比数列与其它知识的综合 例8.设Sn为数列an⑴证明：当b 2时，的前n项和,an n 2n已知ban 2n b1是等比数列；1 Sn⑵求an的通项公式。

［解题思路］由递推公式Sn , an , n0求数列的通项公式anf （n），主要利用:anS(n 1)Sn Sn 1( n 2)同时注意分类讨论思想解:由题意知a1 2，且ban2nb 1 Sn, ban 12* 1b 1 Sn 1两式相减，得b an 1 an2n1 an 1，即 an 1ban2n⑴当b曰疋an2时，由①知n又a1 112n2an1 2 2an 2n n2n1 2 2 ann 2n1 0，所以ann 2n⑵当b2时,由（I）知ann 2n 1是首项为1 ,«n 1 J ?即an公比为q1 2n2的等比数列12时,由①得 a2* 1ban2n因此an 1—2n1ban-2n b1得an-2n 2 2b 2 bbn【名师点拨】退一相减是解决含有Sn的递推公式的重要手段,推公式求通项公式时，重视首项是否可以吸收是易错点,【基础巩固】1.设an是公比为正数的等比数列，若。