初等函数及数列极限的概念.ppt

高等院校非数学类本科数学课程—— 一元微积分学 大 学 数 学（（一一））第二讲第二讲第二讲第二讲 初等函数及数列极限的概念初等函数及数列极限的概念初等函数及数列极限的概念初等函数及数列极限的概念一、基本初等函数大家在中学就已熟悉它们了！以下六种简单函数称为基本初等函数1. 常值函数 y = C ( C 为常数 )2. 幂函数 y = x  (   R 为常数 )3. 指数函数 y = a x ( a > 0, a  1 ) 4. 对数函数 y = loga x ( a > 0, a  1 ) 5. 三角函数 y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x 6. 反三角函数 y = arcsin x y = arccos x y = arctan x y = arccot x y = arcsec x y = arccsc x详详 情情 见见 书书 二、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的函数, 称为初等函数。

例如 都是初等函数.  一般说来, 分段函数不是初等函数. 但有个别分段函数例外，例如因为它可以改写为初等函数的形式.幂指函数是否为初等函数？它是由与构成的复合函数,故该幂指函数是一个初等函数.例例解解六、双曲函数反双曲函数 学习双曲函数时,注意与中学学习过的三角函数进行比较,找出它们之间有关定义及计算公式的相同处和不同处1. 双曲函数的定义及性质 双曲正弦双曲余弦双曲正切双曲余切双曲正割双曲余割双曲正弦、双曲余弦的图形悬链线双曲正弦函数的定义域为(, )双曲正弦函数在其定义域内是单调增加的 双曲正弦函数是奇函数双曲余弦函数的定义域为(, )双曲余弦函数在(, 0)内单调减少在[0, )内单调增加双曲余弦函数是偶函数双曲正切、双曲余切的图形y = cth xy = th x双曲正切函数定义域为(, )双曲正切函数是单调增加的且有界| th x |  1双曲正切函数是奇函数 2. 部分公式 与三角函数的公式进行比较(1) 反双曲正弦函数习惯上写成x  (, )双曲正弦函数 y = sh x 是 (, ) 到(, ) 的一一对应, 故它的反函数存在,通过初等的代数运算可得3. 反双曲函数 (2) 反双曲余弦函数 y  [1, )。

双曲余弦函数是到上的映射, 但不是一一对应由解得双曲余弦的反函数这里有两支, 单独来看, 这两支分别都可作为y[1, ) 通常取y[1, )习惯上记为x[1, )并称该支反函数为反双曲余弦的主支通常所说的反双曲余弦函数即指此主支的反函数, 记为类似于上面的作法, 可以得到arth x , arcth x , arsech x , arcsch x 的表达式.第二章 极限本章学习要求：第一节 数列的极限一、数列二、数列极限的定义三、数列极限的性质四、数列的收敛准则称为一个数列, 记为{ xn }.1. 定义 数列中的每一个数称为数列的一项数列中的每一个数称为数列的一项 x xn n = = f f ( (n n) ) 称为数列的通项或一般项称为数列的通项或一般项一、数列 数列也称为序列介绍几个数列xn0242nx1x2…… x•••••••••••••••… … 例1…xnx2x1x0x3…••••••••••01–1x所有的奇数项所有的奇数项所有的偶数项所有的偶数项x1M3x1xx4x2••••••••••0所有奇数项所有奇数项1xnx3x2x1x0………••••••••••…3. 3. 数列的性质数列的性质单调性有界性(1)(1) 数列的单调性数列的单调性单调增加单调增加不减少的不减少的数列单调减少的情形怎么定义？ 单调减少单调减少不增加的不增加的严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列(2) 数列的有界性回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗 ？数列的有界性的定义如何定义数列无界？ 有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？想想：| xn | < M*, n  N  xn  U( 0, M* ), n  N从数轴上看, 有界数数列 { xn } 的全部点都落在某区间 (－M*, M* ) 中.( )x0M*－M*••••••••••例2观察例1 中的几个数列：…xnx2x1x0x3…••••••••••01–1xx1M3x1xx4x2••••••••••01xnx3x2x1x0………••••••••••…xn0242nx1x2…… x•••••••••••••••… … 有些数列虽然无界, 但它或者是下方有 界的, 或者是上方有界的. 若 xn  M , MR , 则称 { xn} 有上界.若 xn  m , mR， 则称 { xn} 有下界.{ xn}: 有界  既有上界 又有下界. 一个数列有界(有上界, 有下界), 则必有 无穷多个界(上界, 下界). 现在来讨论如何定义数列的无界性：现在来讨论如何定义数列的无界性： 首先看有界性定义的关键所在对所有的例3证证分析二、数列的极限001 极限描述的是变量的变化趋势极限描述的是变量的变化趋势. .讨论数列当无限增大时的变化趋势.容易看出: 当无限增大时,x1x3x2n-1x2nx4x2x0( ( ( )))*•••••••••••••••••••••••• ••“ n 无限增大”” 记为 n  . 此时称数列当 n   时以零为极限, 记为：这就是该数列的变化趋势的图上看, 从数列x1x3x2n-1x2nx4x2x0( ( ( )))*•••••••••••••••••••••••• •• 一般化表示：n n    时时, , x xn n  a .a .预先任意给定一个正数  > 0, 不论它的值多么小,当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始, 以后的所有项都落在 U(0,  ) 中.（在 U(0,  ) 外面只有有限项）由 N 存在与否判断数列的极限是否存在. n > N 描述 n  .通过目标不等式来寻找 N > 0 ,N = N().不等式称为目标不等式.一般地, 如果数列{xn} 当 n   时, 列{xn} 当 n   时以 a 为极限, 记为xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数此时, 也称数列是收敛的.例4001若{ xn }当 n   时没有极限, 则称{ xn }发散.若时,使当 记为或此时, 也称数列{ xn } 是收敛的. 极限描述的是变量的变化趋势极限描述的是变量的变化趋势 数列的项不一定取到数列的项不一定取到它的极限值它的极限值. .数列极限的定义：例5证证故取则 n > N 时,由极限的定义, 得例6证证成立. 由极限的定义可知: 放放大大不不等等式式法法例7证证 通常说成：常数的极限等于其自身.例8证证由绝对值不等式, 得注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, {(1)n}.例9证证逆命题成立吗？例10证证作业•看懂所有书上未讲的例题。

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