多元函数的全微分.ppt

二、可微的条件二、可微的条件一、全微分的概念一、全微分的概念 多元函数的全微分第三节第三节 第八章第八章 函数的微分函数的微分一元函数一元函数 y = f (x)的增量：的增量：（（当一元函数当一元函数 y = f (x)可导时）可导时）二元函数二元函数 z = f (x,y)：：（（当二元函数当二元函数 z = f (x, y) 对对x的偏导数存在时）的偏导数存在时）对对x的偏增量的偏增量对对x的偏微分的偏微分一、全微分的概念一、全微分的概念1. 问题的提出问题的提出对对y的偏增量的偏增量对对y的偏微分的偏微分（（当二元函数当二元函数 z = f (x, y) 对对y的偏导数存在时）的偏导数存在时）在在点点(x,y)的全增量的全增量问题问题的线性函数来的线性函数来近似代替函数的全增量？近似代替函数的全增量？可否用自变量的增量可否用自变量的增量如果函数如果函数 z = f ( x, y )在点在点( x , y )处处的的可表示成可表示成其中其中 A , B 不依赖于不依赖于  x ,   y , 仅与仅与 x , y 有关，有关，称为函数称为函数在点在点 (x, y) 的的全微分全微分, 记作记作则称函数则称函数 f ( x, y ) 在点在点( x, y) 可微可微，，全增量全增量2. 全微分的定义全微分的定义 定义定义8.71° 若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微, 则称此函数则称此函数2° 由定义可知由定义可知, f ( x, y ) 在点在点( x0, y0) 可微可微的的 充要条件充要条件是是:在在D 内可微内可微.注注定理定理8.2 (多元函数可微的多元函数可微的必要条件必要条件)若函数若函数 z = f (x, y) 在点在点(x, y) 可可微微 ,则则(2) 函数函数z = f (x, y) 在点在点(x, y) 的两个偏导数的两个偏导数存在存在, ,且有且有(1) 函数函数 z = f (x, y) 在点在点(x, y) 连续连续;从而从而二、可微的条件二、可微的条件若若z = f (x, y) 在点在点(x, y) 可微可微 , 则则证证1. 可微与连续、可偏导的关系可微与连续、可偏导的关系 得到对得到对 x 的偏增量的偏增量(2) 由可微定义，有由可微定义，有从而从而(1)1° 习惯上把自变量的增量用自变量的微分表示习惯上把自变量的增量用自变量的微分表示, 同样可证同样可证因此有因此有 注注 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理．叠加原理．叠加原理．全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数叠加原理也适用于二元以上函数的情况．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．2°可微与连续、可偏导的关系可微与连续、可偏导的关系 对于对于多元多元函数，函数，可微可微连续连续可偏导可偏导3°如何判断多元函数的可微性如何判断多元函数的可微性①①若不连续，若不连续， 则则不可微；不可微；②②若偏导数不存在，若偏导数不存在， 则则不可微；不可微；③③连续且偏导数存在时连续且偏导数存在时,用可微的充要条件判断用可微的充要条件判断:？？用此式用此式判断判断函数在一点函数在一点是否可微是否可微例例1讨论讨论(1) 连续；连续；(2) 偏导数存在偏导数存在；；(3) 可微可微.解解 (1)= 0 = f (0,0)(2)(3)？？则则2. 可微与偏导数连续的关系可微与偏导数连续的关系 定理定理8.3 (多元函数可微的多元函数可微的充分条件充分条件)若函数若函数的偏导数的偏导数则函数则函数 f (x, y) 在该点在该点可微可微.证证由由有限增有限增量公式量公式依偏导数的连续性依偏导数的连续性及函数及函数极限与无穷小的关系：极限与无穷小的关系：只须证这一部分是只须证这一部分是比比ρ高阶的无穷小高阶的无穷小即函数即函数在点在点可微可微. .注意到注意到 故有故有偏导数连续偏导数连续可微可微例例2 证证令令则则同理同理故函数在点故函数在点 (0, 0) 处连续处连续 ; 不存在不存在.下面证明：下面证明：可微可微 .令令则则注注 此题表明此题表明, 偏导数连续只偏导数连续只是是可微的可微的充分条件充分条件.而而非非必要条件必要条件.多元函数连续、偏导数、可微的关系多元函数连续、偏导数、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在例例3-1解解例例4 计算函计算函数数在点在点 (2,1) 处的全微分处的全微分. 解解求求函数函数时的全时的全增量和全微分增量和全微分. .解解例例5 从而从而当当 x = 2 , y =1 , △△x = 0.01 , △△y = -0.03 时时内容小结内容小结1. 微分定义微分定义:2. 重要关系重要关系:偏导数存在偏导数存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续3.3.讨论函数在讨论函数在（（0，，0））点是否可微的步骤点是否可微的步骤(1)(1)讨论函数在讨论函数在(0,0)点是否连续点是否连续, ,若若不连续不连续, ,则不可微则不可微; ;(2)(2)讨论函数在讨论函数在(0,0)点的偏导数是否存在点的偏导数是否存在, ,若若不存在不存在, ,则不可微则不可微; ;(3)(3)当函数在当函数在(0,0)点点连续连续, , 且偏导数存在时且偏导数存在时, , 用下式用下式讨论函数在讨论函数在(0,0)点是否可微点是否可微备用题备用题解解例例1-1例例1-2解解。