天津科技大学李伟版高等数学习题解答（线、面积分）.doc

习题10—1（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）对弧长的曲线积分是一个和式的极限，该和式的每一项都是定义在曲线弧上的函数值与小弧段长的乘积；（2）计算对弧长的曲线积分时，要通过“三代替”将它转化为定积分：曲线积分用定积分代替，积分中的变量用曲线方程代替，弧长元素用弧微分代替．计算的关键是选好“参数”，写好曲线方程．在化为定积分时将起点对应的参数作积分下限，终点对应的参数作为积分上限；（3）用对弧长的曲线积分可以解决曲线弧长，曲线型构件的质量、质心、转动惯量、引力等几何量与物理量的计算．答：（1）正确，这是对弧长曲线积分的定义（其中是小弧段上任一点）决定的． （2）前两者正确，这就是对弧长的曲线积分的计算公式；后者不正确，在化为定积分时永远是下限小、上限大，而不是起点对应的参数作积分下限，终点对应的参数作为积分上限． （3）正确，曲线弧长；其余物理量的计算公式类似于重积分相应量的计算公式，如，，等．2．计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中是折线上对应的一段；（2），抛物线上从到的一段；（3），其中是位于第一象限的圆；（4），其中椭圆的一周；（5），其中圆周，直线及轴围成的第一象限内扇形的整个边界；（6），其中是从点到点的直线段；（7），其中为位于第一卦限平面的边界；（8），其中是圆上对应于从 到的一段弧．解：（1）设，其中（），；（），，所以． （2）()，，所以． （3）（方法1）利用直角坐标方程计算，（），，则 ． （方法2）利用参数方程计算， （），，则 ． （方法3）利用极坐标方程计算（参见习题10-1（B）2），（），，则． （4）（），，． （5）设，其中（），； （），； （），．所以 ． 在上也可以如下计算：．（6）（），，则． （7）设，其中（），；（），；（），，则 ． 在（及）上可如下计算． （8）（），，则．习题10—1（B）1．用对弧长的曲线积分计算摆线，（）的第一拱的弧长．解：，（），，则．2．如果平面曲线的方程是（），其中有连续的导数，证明： ．证明：将曲线方程改写为参数方程，则 ，所以．3．计算曲线积分，其中是圆（）的一周．解：（方法1）利用直角坐标方程，（），则， ． （方法2）利用参数方程计算，（），则， ． （方法3）利用极坐标方程，（），则， ．4．计算曲线积分，其中是椭圆的一周，周长为．解：由于椭圆关于轴对称，是关于变量的奇函数，则，于是．5．计算曲线积分，其中为正方形的一周．解：设（），则．由于正方形既关于轴对称也关于轴对称，而既是变量也是变量的偶函数，所以．6．求线密度为的均匀细圆环对于轴的转动惯量．解：．7．若在曲线上函数，证明．证明：将曲线任意分成小段（即代表第小段也表示第小段的弧长），在上任取一点，记，则．习题10—2（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）在对坐标的曲线积分的定义中，表示轴上的小线段的长；（2）对坐标的曲线积分的计算类似于对弧长的曲线积分的计算，也是通过“三代替”化为定积分：曲线积分用定积分代替，积分中的变量用曲线方程代替，不同的是（或）要用其微分代替．同样，计算的关键是选好“参数”，写好曲线方程．在化为定积分时也一定是下限小、上限大；（3）对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分是意义完全不同的两个概念，对相同的函数和相同的曲线，与是不能相等的．答：（1）不正确，是当前分点与前一分点横坐标的增量（或向量在轴上的投影），它可正可负．（2）前两者正确，这就是对坐标曲线积分计算的方法，如：若（起点对应参数，终点对应参数），则 ；后者不正确．在化为定积分时起点对应的参数为下限，终点对应的参数为上限．（3）正确，除碰巧相等外，一般是不会相等的，如：（起点，终点），，则，而．2．计算对坐标的曲线积分：（1），其中是直线上从点到点的一段；（2），其中是抛物线上从点到点的一段；（3），其中是由，及轴围成区域的逆时针边界；（4），其中是圆周（）按逆时针方向绕行一周；（5），其中是从点到点的有向直线段；（6），其中是椭圆沿增加方向的一周．解：（1）以作参数，（起点，终点），则 ． （2）以作参数，（起点，终点），则． （3）如图，设，其中 （起点，终点）； （起点，终点）；（起点，终点），则． （4）利用参数方程，，（起点，终点），则． （5）将直线写为参数方程，（起点，终点），则． （6）（起点，终点），则．3．沿曲线从点到点计算对坐标的曲线积分，其中为： （1）直线； （2）正弦曲线； （3）抛物线．解：（1）（起点，终点），则． （2）（起点，终点），则． （3）（起点，终点），则．4．沿曲线从点到点计算对坐标的曲线积分，其中为：（1）直线； （2）圆； （3）折线（是原点）．解：（1）（起点，终点），则． （2）利用参数方程，（起点，终点），则． （3），其中（起点，终点）； （起点，终点），则．习题10—2（B）1．质量为的某质点受到一个指向原点、大小为的弹性力的作用，现将质点从点沿螺旋线（）盘旋一周，求克服弹性力与重力所做的功．解：根据题目已知，质点所受弹性力可设为（其中），由，得，于是质点所受弹性力与重力之和为，所以 ．2．计算对坐标的曲线积分，其中是从原点起沿摆线， 的第一拱到的一段有向弧．解：，（起点，终点），则 ．3．计算对坐标的曲线积分，其中是圆逆时针方向一周．解：利用直角坐标方程，以为参数，，其中（起点，终点）； （起点，终点），则．4．计算对坐标的曲线积分，其中是曲线（）的一周，从轴正向看去取逆时针方向．解：利用参数方程，（起点，终点），．（其中）．5．将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中是：（1）从点到点的一段有向直线；（2）沿上半圆周从点到点的一段有向弧．解：（1），则，所以 ． （2），在点的切向量为，对应于从点到点的一段有向弧，切向量与轴夹角的余弦，而这段曲线上，所以有向曲线的切向量为，于是，，所以 ．6．将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中是：（1）曲线，从到的一段有向弧；（2）椭圆的一周，从轴正向看去取逆时针方向．解：（1），，在任一点处的切向量， 由有向曲线的正向为增加方向，于是有向曲线的切向量，则，，，所以． （2）椭圆在任一点处的切向量，对于椭圆的逆时针方向，切向量与轴夹角的余弦与变量的符号相反，于是有向曲线的切向量，则，，，所以．习题10—3（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）格林公式所要求的条件主要有两条：区域是有界闭区域（可以是单连通的，也可以是多连通的），函数有一阶连续偏导数；（2）曲线积分与积分路径无关等价于沿闭曲线积分为零．在格林公式的条件中再附加条件就是曲线积分与积分路径无关的条件，或说沿闭曲线积分为零的条件；（3）当区域与函数都满足了曲线积分与积分路径无关的条件时， 就一定是某个二元函数的全微分．若要求出，可以选择特殊的路径，比如说平行于坐标轴的路径作为积分路径来计算相应的曲线积分；（4）若是某个二元函数的全微分，那么计算曲线积分就可以转化为求的原函数的增量，即．答：（1）不正确，必须是由分段光滑曲线围成的有界闭区域（否则曲线积分可能不存在），并且要取正向． （2）前者正确，这就是：若是单连通区域，则在内积分与路径无关的充分必要条件是，其中是内任意分段光滑闭曲线；后者不正确，格林公式中允许是多连通区域，而积分与路径无关的条件中要求是单连通区域，例如对于区域，其边界曲线，其中（逆时针方向），（顺时针方向），则积分满足格林公式条件，并且也满足，但是该积分在区域内积分与路径有关（从到沿上半圆计算其值为，沿下半圆计算其值为）． （3）正确，这就是，既然该积分与路径无关，当然一般取最简单的路径（平行于坐标轴的折线）计算，但是要注意：积分路径的终点为动点，并且路径不能超出区域． （4）正确，事实上：由，得 ．2．利用格林公式计算下列曲线积分：（1），其中是由折线与围成三角形区域的正向边界曲线；（2），其中是圆逆时针一周；（3），其中由抛物线上从点到点的一段有向弧；（4），其中是余弦曲线上从点到点的一段有向弧．解：（1）题目满足格林公式的所有条件，，，直接应用格林公式，得． （2）题目满足格林公式的所有条件，，，直接应用格林公式，得． （3）曲线不封闭，为用格林公式，补有向直线，，，，． （4）曲线不封闭，为用格林公式，补有向直线，及，，，， ，则 ． 3．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： （1）椭圆； （2）星形线（）．解：（1）． （2）将星形线改写为参数方程，（起点，终点）则 ．4．证明下列各曲线积分在整个坐标平面内与路径无关，并计算积分值： （1），其中的起、终点分别为； （2），其中的起、终点分别为．解：（1），，，在整个坐标平面内且连续，所以在整个坐标平面内积分与路径无关，沿折线计算，则． （2），，，在整个坐标平面内且连续，所以在整个坐标平面内积分与路径无关，沿折线计算，则．5．计算曲线积分，其中是椭圆 上从到的一段有向弧．解：，，，在整个坐标平面内且连续，所以在整个坐标平面内积分与路径无关，沿折线计算，则 ．6．若是任意不过原点，且不包围原点的简单分段光滑闭曲线，证明．证明：，，，除原点外且连续，所以对任意不过原点，且不包围原点的简单分段光滑闭曲线，都有． 7．若函数有连续导数，且，求使曲线积分在 面内与路径无关．并求曲线积分．解：，，，要使曲线积分在面内与路径无关，必须在面内恒有，得，则，由，得，所以所求函数为． ．8．验证下列各表达式在面内是某个二元函数的全微分，并求一个这样的函数： （1）； （2）．解：（1），，，在整个坐标平面内且连续，所以表达式在面内是某个二元函数的全微分．下面用三种方法求： （方法1）用曲线积分求， ， 更一般可取为（其中为任意常数）． （方法2）用不定积分求， 由，有，于是，而由题目知，于是，得，所以（其中为任意常数）． （方法3）用“凑微分”方法求， 由 ，所以 （其中为任意常数）． （2），，，在整个坐标平面内且连续，所以表达式在面内是某个二元函数的全微分．（求仍有三种方法，此处只用曲线积分求）． ，一般取为（其中为任意常数）．习题10—3（B）1．设一变力，它在轴上的投影分别为 ，其中有一。