第二章点、线、面的投影.doc

第二章 点、直线、平面的投影导学案一切空间立体，从几何的观点出发都可看成是由点，线，面所组成本章重点研究将三维空间中的点，直线，平面及其相对位置关系在二维平面上表达出来的理论和方法通过这个学习的过程，使学生初步建立起一定的空间概念，为学习后续内容打好基础3.1投影的概念一、投影在灯光或太阳光照射物体时，在地面或墙上酒会产生与原物体相同或相似的影子，人们根据这个自然现象，总结出将空间物体表达为平面图形的方法，即投影法在投影法中：投影线——在投影法中，向物体投射的光线，称为投影线；投影面——在投影法中，出现影像的平面，称为投影面； 投影———在投影法中，所得影像的集合轮廓则称为投影或投影图二、投影法的分类投影法依投影线性质的不同而分为两类：1．中心投影法投影线由由投影中心的一点射出，通过物体与投影面相交所得的图形，称为中心投影投影线的出发点称为投影中心这种投影方法，称为中心投影法；螦得的单面投影图，称为中心投影图如图所示由于投影线互不平行，所得图形不能反映提的真实大小，因此，中心投影不能作为绘制工程图样的基本方法中心投影法平行投影法（a） 平行投影法（b）2．平行投影法如果将投影中心移至无穷远处，则投影可看成互相平行的通过物体与投影面相交，所得的图形称为平行投影；用平行投影线进行投影的方法称为平行投影法。

在平行投影法中，根据投射方向是否垂直投影面 平行投影法又可分为两种，（1）斜投影法：投影方向（投影线）倾斜于投影面，称为斜角投影法；（2）直角投影法：投影方向（投影线）垂直于投影面，称为直角投影法，简称正投影法如上图所示正投影法是工程制图中广泛应用的方法3．轴测投影轴测投影是用平行投影法在单一投影面上取得物体立体投影的一种方法用这种方法获得的轴测图直观性强，可在图形上度量物体的尺寸，虽然度量性较差，绘图也较困难，仍然是工程中一种较好的辅助手段以后将有一章专门讲解有关部门轴测图的基本知识三、正投影的基本特性 正投影特性以对直线、平面进行正投影来说明其特性，如图2—4所示1．真实性当直线或平面图形平行于投面时，投影反映线段的实长和平面图形的真实形状；2．积聚性当直线或平面图形垂直于投面时，直线段的投影积聚成一点，平面图形的投影积聚成一条线；3．类似性当直线或平面图形倾斜于投面时，直线段的投影仍然是直线段，比实长短；平面图形的投影仍然是平面图形，但不反映平面实形，而是原平面图形的类似形由以上性质可知，在采用正投影画图时，为了反映物体的真实形状和大小及作图方便，应尽量使物体上的平面或直线对投影呒处于平行或垂直的位置。

四、三个投影面的建立（三面投影体系的建立）如图所示是三个形状不同的物体，它们在同一个投影面上的投影是相同的很明显若不附加其它说明，仅凭这一个投影面上的投影，是不能表示物体的形状和大小的 一个投影不能确定物体的形状1．三个投影面的建立一般需将物体放置在如图3—2的三面投影体系中，分别向三个投影面进行投影，然后将所得到的三个投影联系起来，互相补充即可反映出物体的真实形状和大小图3—2三面投影体系2．三投影面名称正投影面——正立着的面，简称正投影面或V面，水平投影面——水平的面为水平投影面，简称水平面或H面，侧投影面——册立着的面为侧投影面，简称侧面或W面在三投影面中：OX轴——V面和H面的交线， OY轴——H面和W面的交线，OZ轴——V面和W面的交线， 坐标原点O——OX、OY、OZ三轴的交点五、三视图的形成按照正投影法绘制出物体的投影图，又称为视图为了得到能反映物体真实形状和大小的视图，将物体适当地防止在三面投影体系中，分别向V面、H面、W面进行投影美丽V 面上得到的投影称为主视图；在H面上得到的投影称为俯视图；在W面上得到的投影称为左视图。

为了符合生产要求需要把三视图画在一个平面内，即把三个投影面展开展开方法：V面不动，H面绕OX轴旋转900，W面绕OZ轴旋转900，使H、W面与V面形成同一平面在旋转工程中，需将OY轴一分为二，随H面的称为OYH，随W面的OYW值得注意的是：在生产中不需要画出投影轴和表示投影面的边框，视图按上述位置布置时，不需注出视图名称六、三视图的投影关系从三视图的形成工程和投影面展开的方法中，可明确以下关系：1．位置关系俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边；2．方位关系任何物体都有前后、上下、左右六个方位而每个视图只能表示其四个方位，如图3-3所示在三视图中，主、左视图表示物体的上、下；主、俯视图表示物体的左、右；俯左视图表示物体的前后靠近主视图的一面是物体的后面，远离主视图的一面是物体的前面三视图的形成图3-3 三视图与物体的方位关系3．三等关系任何物体都有长、宽、高三个尺度，若将物体左右方向（X方向）的尺度称为长，上下方向（Z方向）尺度称为高，前后方向（Y方向）尺度称为宽，则在三视图上（如图3—4所示）主、俯视图反映了物体的长度，主、左视图反映了物体的高度，俯、左视图反映了物体的宽度归纳上述三视图的三等关系是：主、俯上对正，主、左高平齐，俯、左宽相等。

简称为三视图的关系是上对正，高平齐，宽相等关系同时对应到坐标上应有以下关系：1．长对正——X坐标相等2．宽相等——Y坐标相等3．高平齐——Z坐标相等如此可以把这种空间形象的方位关系转化为“数学上的关系”，为以后的利用数学方法分析题目打下基础注意：不仅物体整体的三视图符合三等关系，物体上的没一部分都应符合三等关系图3-4 三视图的三等关系2.2 点的投影学习目标：掌握点的三面投影规律以及彼此的位置关系和作图方法教学重难点： 点的三面投影规律以及彼此的位置关系和作图方法课时：4个课时空间物体都是由面围成的，而呒可视为线的轨迹，线则是点的轨迹，所以点是最基本的集合元素学习和掌握集合元素的投影规律和特性，才能透彻理解工程图样所表示物体的具体结构形状一、点的投影和三面投影规律点的投影仍然是点，如图所示，设：空间有一点A，自A分别向三个投影面作垂线（即投影线），得三个垂足、、分别表示A点在H面、V面、W面的投影通常规定空间点用大写字母如：A、B、C……等表示，其投影用响应的小写字母，如、、……等表示）见下图这样，A点到W 面的距离为A点的X坐标，A点到V 面的距离为A点的Y坐标，A点到H 面的距离为A点的Z坐标。

若用坐标值确定点的空间位置时，可用下列规定书写形式：A=（XA，YA，ZA）， B=（XB，YB，ZB）……… 点的三面投影由作图可知，⊥H面，⊥V面，⊥W面则通过所作的平面P必然同时垂直于H面和V面，当然，也垂直于H面与V 面的交线OX轴，它与OX轴的交点用表示，显然Ax是一矩形，同理Ay和Az也是矩形这三个矩形平面都与响应的投影轴相交，且是正交，并与三个投影面的响应矩形围成一长方体因为长方体中相互平行棱线长度相等，故可得点与三个投影面的关系为：1．=y=z=x（均为坐标XA）2. =x=z=y（均为坐标YA）3．=x =y=z（均为坐标ZA）可见，空间点在某一投影面上的投影，都是由该点的两个坐标值决定的点由ox和oy，即A点的XA，YA两坐标决定；点由ox和oz，即A点的XA，ZA两坐标决定；点由oy和oz，即A点的YA，ZA两坐标决定如图2—10（a）所示，将三投影面展开，使其与V面成同一平面为便于进行投影分析，用细实线将点的两面投影连接起来得到和（称为投影连线），分别与X、Z轴相交于x和z点由于Y轴展开后分为Yh和Yw，在作图时，一种方法是采用以O点为圆心画弧yH和yw，如图2—10（b），另一种方法是自O点作450斜线，再从yH引Y轴的垂线与450斜线得交点，再从此点引Yw的垂线与由引出的Z轴的垂线交点，即为点。

注：在投影面上通常住画出投影轴，不画投影面的边界，如图2—10（c）所示按照点与三投影面关系，由立体展开成平面，可得出点的三面投影规律：1．点的正投影和水平投影的连线垂直于X轴，即⊥OX两投影都反映横坐标，表示空间点到侧投影面的距离即：⊥OX，z=yH=XA2．点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z轴，这两个投影都反映空间点的Z坐标，即便表示点到水平面的距离⊥Z轴，x=yw=ZA3．点的水平投影到X轴的距离等于其侧面投影到Z轴的距离，这两个投影都反映空间的Y坐标，表示空间点到正投影面的距离：x=z=YA显然，点的投影规律和前面所讲的三视图的画图规则“长对正、高平齐、宽相等”是一致的应用：（1）根据点的投影规律，可由点的三个坐标值X、Y、Z画出其三面投影图 （2）也可根据点的两面投影图作出第三投影图例3-1 已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其侧面投影a″ （题目）（求解）分析：利用长对正，宽相等，高平齐的方位相等关系，也就是XYZ三坐标相等，可以做出如上图中YH和YW中间的斜45°辅助线，然后过a′和a分别作出∥于相应投影轴的线最终做出一个以三投影为顶点的方形，且方形的第四个顶点就在45°辅助线上。

例题1：已知：A（20，10，35）求作：A点的第三面投影例题2：已知：点的两面投影 求作：点的第三面投影例题3：已知A、B两点的两面的投影 求作：第三面投影并确定其相对位置解：∵XB＞XA，∴B点在左，A点在右∵ZA＞ZB， ∴A点在上，B点在下∵YA＞YB， ∴B点在后，A点在前总的结论：A点在B点的右前上方，B点在A点的左后下方其它的例题自学二、两点的相对位置和重影点1．两点的相对位置根据相对于投影面的距离确定如图2—11所示1）距离W面远者在左，近者在右（根据V、H的投影分析）；（2）距离V面远者在前，近者在后（根据H、W面的投影分析）；（3）距离H面远者在上，近者在下（根据V、W面的投影分析）图2—11两点的相对位置2．重影点当两点的某个坐标相同时，该两点将处于同一投影线上，因而对某一投影面具有重合的投影，则这两个点的坐标称为对该投影面的重影点在投影图上，如果两个点的投影重合，则对重合投影所在的投影面的距离（即对该投影面的坐标值）较大的那个点是可见的，而另一个点是不可见的，应将不可见的点用括弧括起来如图所示分别列出H面、V面、W面的上面的重影点： H面上的重影点A和B V面上的重影点C和D W面上的重影点E和F3．3直线的投影学习目标：掌握各种位置直线的投影特性和作图方法教学重点：直角三角形法求一般位置直线与投影面的倾角以及线段的实长的方法；用定比方法确定直线上点的投影；以及两直线位置关系的判断课时：8个课时空间两点确定一条空间直线段，空间直线段的投影一般仍为直线，如图3—1所示将直线AB向H面投影，因为线段上的任意两点可以确定线段在空间的位置，所以直线段上两端点A、B的同面投影a、b的连线就是线段在该面上的投影。

直线与投影面之间的夹角称为倾角，本学科规定直线与H、V、W之间的倾角分别用希腊字母α β γ来表示如图3—1所示图3—1空间线段的投影一、直线段对于一个投影面的投影空间直线段对于一个投影面的位置有倾斜、平行、垂直三。