中考数学黄金资源网 黄金声【考点知晓】考查内容：代数与图形综合问题重点考查运用函数知识、方程的知识及几何知识.解决综合题的能力，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式，同时还要注意自变量的取值范围，它要求考生具有较强的分析问题的能力，会解答代数与几何的综合问题，具有拉大考生分数差距的作用.考点评说：考查方式多为最后的压轴题，其难度较大，运算量较大，复习时要注意此类题型的训练.【考题漫步】例1（06，长春）P为正比例函数y=x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y），（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标，（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交，相离时x的取值范围.思路分析：先求出⊙O的圆心P到直线x=2的距离，再根据直线和圆的位置关系中的圆心到直线的距离与半径的数量关系进行求解.解：（1）过P作直线x=2的垂线，垂足为A，当点P在直线x=2右侧时，AP=x-2=3，得x=5，∴P（5，）当点P在直线x=2左侧时，PA=2-x=3，得x=-1，∴P（-1，-） ∴当⊙P与直线 =2相切时，点P的坐标为（5，）或（-1，-）（2）当-15时, ⊙P与直线x=2相离重要提醒:此题是一个动点问题,将一次函数与直线和圆的位置关系结合考查,学生容易忽略的是考虑点P在直线x=2的左右两边的两种情况触类旁通: (2005年·甘肃省)反比例函数y=-与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点，（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积.解： （1）解方程组得， ∴A、B两点的坐标分别为（-2，4）（4，-2）（2）∵直线y=-x+2与y轴交点D的坐标是（0，2）.∴S△AOD=×2×2=2，S△BOD=×2×4=4， ∴S△AOB=2+4=6例2（05南京）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元，设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽是x米.（1）求y与x之间的关系式；（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽.思路分析：仔细阅读题目，了解总费用包括镜面玻璃的价格，边框的价格以及加工费，然后用代数式准确表达出来，解：（1）y与x之间的关系式是：y=120×2x×x+30×2（2x+x）+45，即y=240x2+180x+45（2）当y=195时，195=240x2+180x+45 解这个方程得：x1=，x2=-，x2=-不合题意，舍去，当x=时，2x=1.答：这面镜子的长为1m，宽为m重要提醒：这道题难度不大，关键是同学们要明白长方形的面积公式，周长公式，熟练地运用代数式表达数量关系.触类旁通（05黄冈）张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分则刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现已知购买了这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少钱？解：设这种运输箱底部宽为x米，则长为（x+2）米，依题意得： x（x+2）×1=15 ， 化简得：x2+2x-15=0∴x1=-5（舍去）x2=3∴这种运输箱底部长为5米，宽为3米，由长方体展开图知：要购买矩形铁皮面积为（5+2）×（3+2）=35（m2）∴做一个这样的水箱要花35×20=700元钱.例3（06安徽）汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 AC 时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角 F 到楼梯的竖直距离 FG为 1 . 75m ．他量得客厅高 AB = 2 . 8m，楼梯洞口宽AF=2m., 阁楼阳台宽 EF = 3m ．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m,楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20cm，每个台阶宽要大于20cm, 问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？思路分析：本题为综合性实际应用题，此类题目要认真分析所给条件，发现△ABC∽△GFA从而求出CD的值.第（2）问可由题意列不等式解决问题.解： （1）根据题意得：AF∥BC∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90°∴△ABC∽△GFA∴=是 ∴BC=3.2(m),CD=(2+3)-3.2=1.8(m)(2)设楼梯应建n个台阶,则解得:14
