高中数学_第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及集合运算的综合应用课件 新人教版必修1.ppt

第一章 1.1.3 集合的基本运算,第2课时 补集及集合运算的综合应用,1.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集. 2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题.,,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,,,栏目索引,,,知识梳理 自主学习,知识点一 全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集. (2)记法：全集通常记作 . 思考 全集一定是实数集R吗？ 答 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.,,答案,U,所有元素,知识点二 补集,,答案,{x|x∈U，且x∉A},不属于集合A,∁UA,思考 设集合A＝{1,2}，那么相对于集合M＝{0,1,2,3}和N＝{1,2,3}，∁MA和∁NA相等吗？由此说说你对全集与补集的认识. 答 ∁MA＝{0,3}，∁NA＝{3}，∁MA≠∁NA. 由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同.,,答案,知识点三 补集的性质 ①A∪(∁UA)＝U； ②A∩(∁UA)＝∅； ③∁UU＝ ，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝ ； ④(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)； ⑤(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B).,,A,∅,答案,返回,题型探究 重点突破,题型一 简单的补集运算 例1 (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A等于( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5} D.∅ (2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________. 解析 (1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}， ∴∁UA＝{3,4,5}. (2)由补集的定义，结合数轴可得∁U A＝{x|x＜1}.,,解析答案,B,{x|x＜1},反思与感悟,,1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解. 2.解题时要注意使用补集的几个性质：∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U.,反思与感悟,,解析答案,跟踪训练1 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁U A＝__________________. 解析 借助数轴得∁U A＝{x|x＝－3，或x＞4}.,{x|x＝－3，或x＞4},,解析答案,题型二 补集的应用 例2 设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁UA＝{5}，求实数a的值. 解 ∵∁UA＝{5}，∴5∈U，且5∉A. ∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4. 当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意. 当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⊈U，故a＝－4舍去. 综上知a＝2.,反思与感悟,反思与感悟,,1.由∁UA＝{5}可知5∈U且5∉A，A⊆U. 2.由∁UA＝{5}求得a后需验证是否符合隐含条件A⊆U，否则会把a＝－4误认为是本题的答案. 3.解决此类问题的关键在于合理运用补集的性质，必要时对参数进行分类讨论，同时应注意检验.,,解析答案,跟踪训练2 若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁UA＝{7}，则实数a＝_____. 解析 因为∁UA＝{7}，所以7∈U且7∉A，所以a2－a＋1＝7，解得a＝－2或a＝3. 当a＝3时，A＝{4,7}与7∉A矛盾，a＝－2满足题意，所以a＝－2.,－2,,解析答案,反思与感悟,题型三 并集、交集、补集的综合运算 例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x－1}，B＝{x|－1≤x1}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∩(∁UB). 解 将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示， 则∁UA＝{x|－1≤x≤3}； ∁UB＝{x|－5≤x－1，或1≤x≤3}； 方法一 (∁UA)∩(∁UB)＝{x|1≤x≤3}. 方法二 ∵A∪B＝{x|－5≤x1}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}.,反思与感悟,,求解不等式表示的数集间的运算时，一般要借助于数轴求解，此方法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否.,,解析答案,跟踪训练3 设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B. 解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下： 由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}， ∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}. ∵∁RA＝{x|x＜3，或x≥7}， ∴(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}.,,解析答案,反思与感悟,题型四 利用Venn图解题 例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁UB＝{3,5}，(∁UA)∩B＝{7,11}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B. 解 U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}， A∩(∁UB)＝{3,5}，∴3∈A,5∈A，且3∉B,5∉B， 又(∁UA)∩B＝{7,11}， ∴7∈B,11∈B且7∉A,11∉A. ∵(∁UA)∩(∁UB)＝{2,17}， ∴∁U(A∪B)＝{2,17}. ∴A＝{3,5,13,19}，B＝{7,11,13,19}.,反思与感悟,,解决此类问题的关键是利用Venn图确定哪些元素在A中，哪些元素在B中，哪些元素在A∩B中，哪些元素既不在A中也不在B中.,,解析答案,跟踪训练4 全集U＝{x|x10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，求集合A，B. 解 方法一 根据题意作出Venn图如图所示. 由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}. 方法二 ∵(∁UB)∩A＝{1,9}， (∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}， ∴∁UB＝{1,4,6,7,9}. 又∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}. ∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1,3,9}.,,补集思想的应用,解题思想方法,,解析答案,例5 已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}，B＝{x|x2＋2x－a＝0}，C＝{x|x2＋2ax＋2＝0}.若三个集合至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围. 解 假设三个方程均无实根，则有,反思与感悟,反思与感悟,,对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.,,解析答案,返回,跟踪训练5 已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围.,,解 因为A∩B≠∅，所以A≠∅， 即方程x2－4ax＋2a＋6＝0有实数根， 所以Δ＝(－4a)2－4(2a＋6)≥0， 即(a＋1)(2a－3)≥0，,解析答案,又B＝{x|x0}， 所以方程x2－4ax＋2a＋6＝0至少有一个负根.,,返回,由①②取公共部分得a≤－1. 即当A∩B≠∅时，a的取值范围为{a|a≤－1}.,若方程x2－4ax＋2a＋6＝0有根，但没有负根，,,当堂检测,1,2,3,4,5,1.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2,4}，则集合∁UM等于( ) A.{1,2,4} B.{3,4,5} C.{2,5} D.{3,5},D,答案,1,2,3,4,5,,解析答案,2.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋14} B.{x|x≤0或x4} C.{x|x≤0或x≥4} D.{x|x0或x≥4} 解析 因为U＝R，A＝{x|0≤x4}， 所以∁UA＝{x|x0或x≥4}.,D,1,2,3,4,5,,3.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)等于( ) A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8} 解析 由题意知，∁UB＝{2,5,8}， 则A∩(∁UB)＝{2,5}，选A.,解析答案,A,,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( ) A.{－1,2} B.{－1,0} C.{0,1} D.{1,2} 解析 图中阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁UA)∩B＝{－1,2}.,A,1,2,3,4,5,,解析答案,经检验，a＝2符合题意，故实数a的值为2.,5.已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且∁UP＝{－1}，求实数a的值. 解 ∵∁UP＝{－1}，∴－1∈U，且－1∉P,0∈P.,,课堂小结,1.补集定义的理解 (1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集. (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想. (3)从符号角度来看，若x∈U，AU，则x∈A和x∈∁UA二者必居其一. 求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.,,返回,2.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形. 3.不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.,。