高中数学_第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性课件 新人教版必修1.ppt

第一章 §1.3 函数的基本性质,1.3.2 奇偶性,1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系. 3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.,,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,,,栏目索引,,,知识梳理 自主学习,知识点一 函数奇偶性的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数. 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有 .,,答案,奇偶性,f(－x)＝f(x),f(－x)＝－f(x),,答案,思考 为什么奇、偶函数的定义域一定要关于原点对称？ 答 由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则－x也必然在定义域中，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在x轴上所表示的区间关于原点对称.换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性，例如函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇偶性可言了.,知识点二 奇函数、偶函数的图象特征 (1)若一个函数是奇函数，则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之，若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. (2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.,,答案,返回,知识点三 奇偶性应用中常用结论 (1)若函数f(x)是奇函数，且0在定义域内，则必有f(0)＝0. (2)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反. (3)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)为奇函数⇔b＝0；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数⇔b＝0；常数函数f(x)＝c(c为常数)为偶函数. 思考 存在既是奇函数又是偶函数的函数吗？ 答 存在，如f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，且这样的函数有无穷多个，实际上，函数f(x)＝0，x∈D，只要定义域D关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.,题型探究 重点突破,题型一 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； 解 ∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数.,,解析答案,解 ∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0， 又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.,,解析答案,解 ∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数.,,解析答案,反思与感悟,解 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x0时，－x0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x). 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.,,判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性.,反思与感悟,,解析答案,跟踪训练1 (1)下列函数为奇函数的是( ) A.y＝|x| B.y＝3－x,C,解析 A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.,,解析答案,(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 解析 ∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx. ∴g(－x)＝a(－x) 3＋c(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数.,A,,解析答案,题型二 利用函数的奇偶性求值 例2 已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，求f(－d). 解 方法一 f(d)＝ad5＋bd3＋cd－8，① f(－d)＝a·(－d)5＋b(－d)3＋c·(－d)－8＝－ad5－bd3－cd－8，② ①＋②得f(d)＋f(－d)＝－16， ∵f(d)＝10，∴f(－d)＝－16－10＝－26. 方法二 设g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数， 由题意可得f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18. 又f(－d)＝g(－d)－8，且g(x)为奇函数， ∴g(－d)＝－g(d)，∴f(－d)＝－g(d)－8＝－18－8＝－26.,反思与感悟,反思与感悟,,解决这类由奇偶性求值问题，应先分析给定函数特点，把原函数化为一个奇函数(或偶函数)g(x)和一个常数的和，然后借助奇函数(或偶函数)的性质求出g(－d).也可以通过两式相加(或相减)达到正负抵消，从而使问题得解.,,解析答案,跟踪训练2 函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋2，且f(－3)＝1，则f(3)＝____. 解析 令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)为奇函数，从而g(3)＝－g(－3). 又因为f(x)＝g(x)＋2，f(－3)＝1， 所以g(－3)＝－1，所以g(3)＝1，所以f(3)＝g(3)＋2＝1＋2＝3.,3,,解析答案,题型三 利用奇偶性求函数解析式 例3 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式. 解 当x＜0，－x＞0， ∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1. 又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数， ∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.,反思与感悟,反思与感悟,,1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0. 2.利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式.,,解析答案,跟踪训练3 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( ) A.f(x)＝－x(x－2) B.f(x)＝x(|x|－2) C.f(x)＝|x|(x－2) D.f(x)＝|x|(|x|－2) 解析 ∵f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝x2－2x， ∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x， 则f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＝－x(－x－2). 又当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x(x－2)， 因此f(x)＝|x|(|x|－2).,D,,解析答案,例4 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)0，则x的取值范围是________. 解析 ∵f(2)＝0，f(x－1)0， ∴f(x－1)f(2)， 又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(|x－1|)f(2)， ∴|x－1|2，∴－2x－12， ∴－1x3，∴x∈(－1,3). 故填(－1,3).,,利用偶函数的性质f(x)＝f(－x)＝f(|x|)避免讨论,解题思想方法,(－1,3),反思与感悟,反思与感悟,,本题的关键是利用偶函数的性质：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，从而由f(x－1) f(2)转化得f(|x－1|)f(2)，再由f(x)在[0，＋∞)上单调递减即可脱去“f”，得到|x－1|2.其优点在于避免了讨论.,,解析答案,返回,跟踪训练4 函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)1 B.a1或a1或a－2.故选C.,C,,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.函数f(x)＝|x|＋1是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析 函数定义域为R，f(－x)＝|－x|＋1＝f(x)， 所以f(x)是偶函数，故选B.,B,,解析答案,1,2,3,4,5,2.函数f(x)＝ax2＋bx＋c是定义在实数集上的奇函数，则( ) A.a＝0，b≠0，c≠0 B.ac＝0，b≠0 C.a＝0，c＝0，b取任意实数 D.a，b，c均可取任意实数 解析 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又因函数是奇函数. 所以f(－x)＝a(－x)2＋b(－x)＋c＝－f(x)＝－ax2－bx－c，从而得ax2＋c＝0，又因为x可以取任意实数，所以a＝0，c＝0，b取任意实数，故选C.,C,1,2,3,4,5,,解析答案,3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A.y＝－x，x∈R B.y＝x2，x∈R C.y＝x3，x∈R D.y＝|x|，x∈R 解析 y＝x2，x∈R，y＝|x|，x∈R都是偶函数，选项B，D不符合题意； y＝－x，x∈R是减函数，选项A不符合题意，故选C.,C,,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x－x2，则f(－2)＝_____. 解析 因为当x0时，f(x)＝x－x2， 所以f(2)＝2－22＝－2. 又f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝2.,2,1,2,3,4,5,,解析答案,5.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，解析式为f(x)＝x2＋x，则当x0， ∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x. 又∵f(x)是定义域为R的偶函数， ∴f(x)＝f(－x)＝x2－x， ∴当x0时，f(x)＝x2－x.,x2－x,,课堂小结,1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式.,,返回,3.(1)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.,。