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全国高等教育线性代数（ 经管类） 自学考试 历年（ 2009年07月——2013年04月）考试真题与答案全国2009年7月自考线性代数（ 经管类）试卷课程代码：04184试卷说明：在本卷中，4 ,表示矩阵A 的转置矩阵；A*表示A 的伴随矩阵; R（ A） 表示矩阵A的秩；⑷表示A 的行列式；E 表示单位矩阵一、单项选择题（ 本大题共10小题，每小题2 分，共 20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内错选、多选或未选均无分1 .设A ,A C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不感坐的是（ ）A. （ A + B ） T=AT+BT B.IABI = IAIIBICA（B+C）=BA+CA D.（AB）T=BTATa2\ a22 a23a3\ 〃3 2 〃3 32alia2\一 2旬21 2 2 ］3a22 a23一 2%2 ・ 2%33.若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（B. |A| = OC. （A2）- , = （A_ ,）D. （ 3A） -1 =3A-13 1 - 2 0 2 - 14. 若 让 「2 ' % < 3 , C= 3 - 2 '则 下 列 矩 阵 运 算 的 结 果 为 矩 阵 的A.ABCBACTBTC.CBAD.CTBTAT5.设有向量组A： a i，。

2，4，其中a 2,线性无关，则（ ）A .a \ , a 3线性无关B .a |, a2»3，线性无关C. a i， a 2, a 3, a 4线性相关D.a 2, a 3, a 4线性相关6. 若四阶方阵的秩为3 ,贝 北 ）A .A为可逆阵C.齐次方程组Ax=O只有零解B.齐次方程组A x = O有非零解D.非齐次方程组A x=8必有解7. 设A为mx〃矩阵，则〃元齐次线性方程Ax=O存在非零解的充要条件是（ ）A .A的行向量组线性相关C.A的行向量组线性无关8. 下列矩阵是正交矩阵的是（ ）B .A的列向量组线性相关D A的列向量组线性无关1 0 0A. 0 - 1 00 0 -1cos 一 sin，V.一 sin cos工2D. 01I 0 1B•忑1 1 00 1 1V 2叵2633337 339. 二次型f = 为实对称阵） 正定的充要条件是（ ）A .A可逆C.A的特征值之和大于0B.L4l>0D 4的特征值全部大于0A.k>0C.k>l人 0 01 （ ） .设矩阵4 =0 k - 2正定, 则（0 - 2 4)B.k>0D.k> 1二、填空题（ 本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分11 . 设 A= （ 1, 3, -1） , B = （ 2, 1） ,则 ATB=2 1 01 2 .若 1 3 1 =0,则％=k 2 11 213. 设 A= 2 00 10'0 ,则 A*=_____________314. 已知屋・24-8£=0,则(A+E) -=1 5. 向量组% =(1 , 1 , 0 , 2 ) , a ? = (1 , 0 1 , 0 )3 = (°， 1 ， T， 2 )的秩为1 6 . 设齐次线性方程Ax H)有 解 而 非 齐 次 线 性 方 程 且A x = b有解心则4 + 〃是方程组的解1 7 . 方 程 组 + 々 = °的基础解系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ [x2 + 必=01 8 . 向量a = (3 , 2 / 1 ) ,夕=(f - 1 , 2 , 1 )正交， 则f =以 若 矩 阵 吨 :卜 矩 阵 叱 相 似 ，则x= - - - - - - - - - - - - - -2 0 .二次型/ (』, 々/3 ) =才+ 2君 -3君 + 修 /- 3卒3对应的对称矩阵是.三、计算题( 本大题共6 小题，每小题9 分，共 54分)2 1 . 求行列式£ ＞ 二- 3006432- 205- 22的值。

2 2 .已 知A=, 8 =- 3 - 1- 2 10 - 1 11 2 01 2 0,O=； ：；， 矩 阵 X满 足 方 程4272 31 0A X + B X ^ D - C ,求 X2 3 . 设向量组为名= (2 , 0 , - 1 , 3 )a 2 = (3 , - 2 , 1 , - 1 )=(- 5 , 6 , - 5 , 9 )« 4 = (4 , - 4 , 3 , - 5 )求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组2 4 . 求4取何值吐齐次方程组(A + 4 ) * + 3X2 = 0- 4xt + 为 =0—5 ^ | + AX'2 一必=0有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解 1 - 6 - 3 -2 5. 设矩阵4 = 0 - 5 - 3 ,求矩阵A 的全部特征值和特征向量0 6 42 6. 用配方法求二次型/ （ X 1 , X 2 ， X 3 ） = X 1 2 +44+ 岩- 2』匕+ 4巧巧的标准形，并写出相应的线性变换四、证 明 题 （ 本大题共1小题，6分）2 7. 证明：若向量组…a“ 线性无关， 而夕1 = a , +a„,P2 -a{ + a2,/ J3 = a2 + a3, - - - ,Pn - an-\+ a〃 ，则向量组笈， 夕2 , …•凡线性无关的充要条件是〃为奇数。

的声★启用前编号2792009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（ 经管类） 试题答案及评分参考（ 课 程 代 码0 4184）一、 单 项 选 择 国 （ 本大题共1小・， 色小盘2分.共2 0分）1. C6 . B二戊空02. B7. B3. C8 . A4. D9. D10. C（ 本大・共1小题， 每小H 2分， 共2 0分）26- 24 0- 6,2- 63T0'0K. T-(A-3E)15.216.1 &写19.2123223"|1之计算融21.斛:（ 本大墨共6小短， 期小题9分， 共5 4分）05分|9经管类） 试题答案及评分参考笫1页 （共4页 ）0*3G + G »4- 192 0 09 7 116分.. ............................22•则由 A * f b *一D—c■ 得U 4-B )X -D -C ••…9分W ： ； ：|• 2分X0(A + B )T5分穆 X-G4 + B)T(D—G3-J]7分- h n23 . 娜： 设矩阵9分* 20一 I3一2一56一59-43-5 ,3分60〃♦ 《 一外门" + （ 7）0-3195252〃♦ (一“♦ 《 ―Z)r>一箱026分000000故向量组的帙为2屈大无关税为6处 （ 或写成5 . 。

, , 0 " , , % 必 必 速 刈 明15 BJ） ............ ……................................ 9 分全国2009年10月自学考试线性代数（ 经管类） 试题课程代码：04184说明： 在本卷中，表示矩阵A的转置矩阵，A *表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2 分，共 20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内错选、多选或未选均无分0 1 - 1 1-1 o 1 -11 . 行 列式1 - 1 0 1第二行第一列元素的代数余子式A21= ( )- 11- 10A. -2B. -1C. 1D. 22 . 设 A 为 2 阶矩阵，若 13Al= 3 ,则 |2 4 |= ( )A. 1B. 12C. 9D. 233 . 设〃阶矩阵4 、B、C 满足A8C = E, 则(7T= ( )A. ABB. BAC. A lB-D. B [A X4 . 已知2 阶矩阵A = / blc d,的行列式|A = T , 则 (A * )T = ( )A仁-baD.bd5 .向量组4 (s N 2 )的秩不为零的充分必要条件是( )A . 四, 见， …， ％ 中没有线性相关的部分组 B. % , 。

2,…,生 、. 中至少有一个非零向量C . 8 , 鬼 ， …， 氏 全是非零向量 D . % , % ， …， 氏 全是零向量6 . 设 A 为加x 〃矩阵，则〃元齐次线性方程组Ax = 0 有非零解的充分必要条件是( )A. r(A) = n B. r(A) = mC. r(A) < n D. r(A) < m7 .已知3 阶矩阵A的特征值为- 1 , 0 , 1 , 则下列矩阵中可逆的是( )A . A B . E - AC . - E - A D . 2 E - A8 . 下列矩阵中不是初等矩阵的为( )9 . 4 兀二次型/（ X ] , X 2 ， X 3 ， X 4 ） = 2 x / 2 + 2 X 1 * 4 + 2 * 2》3 + 2 * 3 * 4 的 秩 为（ ）0 0 、' 1 0 0 、A .0 1 0B .0 1 01 0 1\ /\- 1 0/‘ I 0 0 、' 1 0 o'C .0 2 0D .1 1 0. 0 0 1 ；, 1 0 1A . 1B . 2C . 3D . 4' 0 0 r1 0 . 设矩阵A = 0 1 0 , 则二次型『'Ax的规范形为（ ）J 0 o>A . B . - z j2 -Z2 -Z3二、填空题(本大题共1 0 小题，每小题2分，请在每小题的空格中填上正确答案。

错填. / 一 …a, +b, a. -h, a,1 1 . 已 知 行 列 式1111 = -4 ,则1a2 + b2 a2 -b2 a21 2 .已知矩阵 A = (1 , 2 , 7) , 3 = (2 , — 1 , 1 ) , 且f1 0 〕 r i V1 3 .设矩阵 A = 2 2 0,贝 I J = _____©3 3 ) 1 ，1 4 .已知矩阵方程X 4 = 3,其中A = (；1 5 .已知向量组% = (1 , 2 , 3 ) : a? = (2 , 2 , 2 ) ，出共 2 0 分）不填均无分h\ _b2A'B ,贝 Ij c2 = _____ .T 1,贝 | J X = _____ .U oj= （ 3 , 2 , a） ， 线性相关，则数a = ______1 6 . 设向量组＜ Z [ = (1 , 0 , 0 ) (0 , 1 , 0)J月 一 月 | = 四 - 2 ,尸2 =2，则向量组月| , 尸2的秩为‘ 1 - 11 7 .已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为0 a + \、0 01、1 ,若该方程组无解，则 。

° ,20a + ]的取值为.1 8 .已知3阶矩阵A 的特征值分别为1 , 2 , 3,则I E + A I = .1 9 .已知向量a = (3 , k , 2 )7■与夕= (1 , 1 , k ) ,正交，贝।擞％ =.2 0 .已知3元二次型,57 2，叼) = (1 - 赭 + 云+S + 3 )= 正 定 ，则数a的最大取值范围是三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共5 4分)x + 1 - 1 1 - 11 Y -1 1 -12 1 .计算行列式 的值.1 -1 X 4- 1 -11 - 1 1 X - 12 2 .设矩阵4 =( ： E为2阶单位矩阵，矩阵5 满足5A = 5 + E , 求1 8 1 .X j — X? — ( 1 ]2 3 .已知线性方程组.x2- x3= a2x3- xt =a3(1 )讨论常数为, 出， % 满足什么条件时，方程组有解.(2 )当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示) .2 4 .设向量组％ = (l , 4, l , 0 )7' , a2 = (2 , 1 , - 1 , - 3 ) ， , % = (1 ， 0 , - 3 , - 1 ) ，= (0 2 - 6 , 3 ) J求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.(1 2、 (5 0、 『2 5 .设矩阵 A = = ，存在 a [ = (1 , 2 ) 7, % =，使得 4 a[ = 5 %,(4 3J 1 2 - \ )4 a2 = - a2：存在= (3 , 1 ) ， , 62 = (0 ， 1 / ，使 得 即। =5氏上5 = - 自•试求可逆矩阵尸，使得― / 尸 =8 .2 6 .已知二次型/ (占“2 ，匕 ) =2占 欠2 + 2々与+ 2》2为 ，求一正交变换》 =「 了, 将此二次型化为标准形.四、证明题（ 本题6 分）27. 设 向 量 组 ％, % ， 。

3线性无关，且尸=& 1% +k2a 2 +* 33 ,证 明 : 若 向 用 ，则向量组户 , ％, 外 也线性无关.全国2010年4月自学考试线性代数（ 经管类）试题课程代码：04184一、单项选择题（ 本大题共2 0 小题，每小题1 分，共 2 0 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内错选、多选或未选均无分1 . 已知2 阶行列式％ "2 =加， '% =" ， 则""=（）瓦 b2 c , c2 q + J a2 + c2A.m-n B.n-mC.m+n D. - ("?+” )2 . 设 A , B , C 均为〃阶方阵，AB=BA, A C = C A ,则 ABC = ( )A.ACB B.CABC.CBA D.BCA3 . 设4为 3 阶方阵，8为 4阶方阵， 且行列式⑷= 1 , 因=- 2 , 则行列式118 ⑷之值为( )A . - 8 B . - 2A.PA B.APC. 2D. 812a l 3 '卜113a l 2 13、1 0 0 、/ 1 0 0\4 . 已知A =a2\a22a23/ 3 1。

32〃33/, B= 〃 2| 3〃 22〃 23( 313〃 32 33,, p=0 3 00 0 1\ 7, 二 3 1 00 0 1, 贝 UB= ()C.QA D.AQ5 . 已知A是一个3 X 4 矩阵，下列命题中正确的是（ ）A . 若矩阵A中所有3 阶子式都为0 , 则 秩 U ） =2B . 若 A中存在2 阶子式不为0, 则 秩 U ） =2C. 若 秩 （ 4） = 2 , 则A中所有3 阶子式都为0D. 若 秩 （ A） = 2 , 则 A中所有2 阶子式都不为06 . 下列命题中惜送的是（ ）A . 只含有一个零向量的向量组线性相关B . 由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关C. 由一个非零向量组成的向量组线性相关D. 两个成比例的向量组成的向量组线性相关7. 已 知 向 量 组 线 性 无 关 ，万线性相关，则 ( )A . % 必能由3 ，万线性表出 B .2必 能 由 £线 性 表 出C .3必 能 由 2 ，£ 线性表出 D .万 必 能 由 3线性表出8 . 设A为mX”矩阵，机#〃,则齐次线性方程组A x = O只有零解的充分必要条件是A的秩( )A . 小于机 B . 等于机C. 小于n D. 等于“9 . 设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为( )A 4 TB .A2C .A' D. A *1 0 .二次型A X l / 2 X 3 ) = X ： +君+龙；+ 2 ” 2的正惯性指数为( )A . O B . 1C. 2 D. 3二、填空题(本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分1 1 .行列式20 0 7 20 0 820 0 9 20 10的值为(1 - 13) (2 0 ) T] 2. 设矩阵.B = 厕 3 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .(2 0 1J 10 1J13 . 设 4 维向量 a = (3,- l ,0 ,2) T ,£ =(3,l ,- l ,4 ) T ,若向量， 满足 2 a + 丫 =3 8,贝 U， =.1 4 . 设4为 “阶可逆矩阵，且⑷= -L则 心1 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.n1 5 . 设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组A x= O的解，则⑷=.1 6 . 齐 次 线 性 方 程 组+ " 2 + * 3 =°的基础解系所含解向量的个数为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .[ 2芭一 出 + 3巧 = 017 . 设〃阶可逆矩阵A的一个特征值是- 3,则矩阵'必有一个特征值为( \1 - 2 - 218. 设矩阵4 = - 2x 0的特征值为4 , 1, - 2 ,贝I J数 无 二- 2 0 0V 7r 1 )〃 ,0V 219. 已知4 =4= b 0V 2是正交矩阵,则a +b =0 0 1kJ20 .二次型式 尢 ［ ,X 2,尤3） =- 4 1| 工2+公】元3+6田213的矩阵是三、计 算 题 （ 本大题共6小题，每小题9分，共5 4分）ab c21. 计算行列式正〃 一9b2C2 的值。

a + a3b + b3c + c322. 已知矩阵 8 = (2, 1, 3) , C= (1, 2, 3 ) ,求 (1) A=BTC； (2) 2223. 设向量组 ” =(2,l ,3,l ) T ,a 2 =(1,2,0』 ) \ 3 = G l ， l ， 30 ) T ,a 4 =(1,1,1』 )T ,求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量12 3( \- 1 424. 已知矩阵A =01 2, B =2 5.⑴ 求T ； （ 2）解矩阵方程4 X = 800 11 - 31JL J西 + 2X2 + 3与= 425 . 问为何值时， 线性方程组＜ 2乙= 2有 惟 一 解 ？有无穷多解？并在有解时求出2x1 + 2X2 + 3巧= 6其 解 （ 在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解） / 、2 0 026 . 设矩阵4 = 0 3 a的三个特征值分别为1, 2, 5,求正的常数的值及可逆矩阵尸 ，03/'1 0 0使 户 % 尸二0 2 00 0 5四、证 明 题 （ 本 题 6分）27 .设A , B , A + 8 均为〃阶正交矩阵，证 明 （ A + 8 ） WBL2 0 1 0年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（ 经管类）试题答案及评分参考（ 课程代码04184）一、单项选择题（ 本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）1. B2. D3 . A4 .B5 . C6 . C7 . D8 . D9. A10 . C二、填 空 题 （ 本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）「 2 2、11. - 2 12. - 2 0I6 U13. (3,5 ,- 3,8 尸15 . 017 . i319. 014 . 一 〃16 . 118 . 2‘ 0 - 2 r20 . - 2 0 31 3 0三、计 算 题 （ 本大题共6小题，每小题9 分，共 5 4 分）. . . . . . . . . . . . . . . （ 3 分）= J I I ］（ 利用范德蒙行列式）..............（ 6分）a1 b2 c2|= a t ，c (5 - a ) (e - 4 j ) (c - i ). . . . . . . . . . . . . . . （ 9 分）2（ 22 2 .解(1) / = STC u I (1,2,3)= 1426639（5分）33(2) A2=AA =(BrC)(BTC)= BT (CBT)C = 13/i（ 9分）（ 22 3 .解 由 于 侬 ， % , % % ） =11200-11-3I、-10-2312011213111000->1 ! 10 10 00 0< 1000（ 5分）00001000000000因此向量组的秩为3,% , a2, a4是一个极大线性无关组（ 答案不惟一，0, ，。

3 ，4; 弓,巧,弓也是极大线性无关组） ,（ 7分）+ 6.....................（ 9 分）24 .解由于卜| = 1工0 ,所以矩阵力可逆，经计算r = 00-2 1、1 -20 1因此 X = A'}B（ 4分）（ 6分）-40-91 1一3（9分）25 .解 对方程组的增广矩阵作初等行变换，有’1 2 3 [4、0 2 a;2U 2 3 ；6,220 02 3分）0 3 - a；000线性代数（ 经管类）试题答案及评分参考第2页 （ 共3页）当 蒲 3时,r（ 4 ） = rG4） = 3,有惟… 解演=2匕 = 1.........................（6 分）Xj =0当a = 3时,r（ /l） = r（ N） = 2 < 3 ,有无穷多解，全部解为T ] = （ 2,l,0）T + *（ 0,3,-2尸， * 为任意常数 .............（9 分）26.解 由 卜 |= 2（9 -〃 ”1x2x5,得a = 2. .......................（4 分）解方程蛆（E - 4 ） x = 0得基础解系耳=（0,-1,1凡 .............（5 分）解方程组（2 E _ /l） x = 0得基础解系△=（1,0,0》： .............（6 分）解方程组（5 E - d ） x = 0得基础解系亮=（0,1,17： .......................（7 分）所求的可逆矩阵P 可取为,0 1 0 、尸= （ 品 &4 ） = - 1 0 1，1 0 1\ /<1 0 0、则有 P'AP= 0 2 0 . .......................（9 分）0 0 5\四、证明题（ 本题6 分）2 7 .证 由于4 & 4 + A 均为正交矩阵，所以A1 =A~l. （A + B^ =（A + B }X. .......................（2 分）因此 « + B 尸 =Q + A F = /r + 屋 ............（4 分）= A~' + B~' .......................（6 分）线性代数（ 经管类）试题答案及评分参考第3 页 （ 共 3 页）全国2010年10月自学考试线性代数( 经管类) 试题课程代码：04184说明: 在本卷中, AT表示矩阵A 的转置矩阵, A*表示矩阵A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵JAI表示方阵A 的行列式, r(A)表示矩A 的秩.一、单项选择题( 本大题共10小题，每小题2 分， 共 20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分1 .设 A 为 3 阶矩阵,IAI=1,则l-2Ai'l=( )A.-8C.22 .设矩阵 则 AB=( )A.03 .设A 为 n 阶对称矩阵, B 为 n 阶反对称矩阵， 则下列矩阵中为反对称矩阵的是( )A.AB-BA B.AB+BAC.ABD.BAB.-2D.81 1D.-1 -14.设矩阵A 的伴随矩阵A*=(；则 A」 = ( )A.」，4「 22B.4： -31'12)1(42、c.D.——- 2、 34j213b5.下列矩阵中不尽初等矩阵的是()1 0n'0 0rA. 0 10B.0 100 0J 00,q0 0、'1 00、C.03 0D.0 10<00 13 0!>6 .设A,B均为n 阶可逆矩阵， 则必有( )A.A+B 可逆 B.AB uj■ 逆C.A-B可逆 D.AB+BA可逆7 .设向量组 a 尸( 1,2), a 2=(0,2), B =(4,2),则 ( )A . a i , a* B线性无关B . B不能由a i , a 2线性表示C . 8可 由 &1 , a 2线性表示， 但表示法不惟一D . 6可由a 1 ，a 2线性表示, 且表示法惟一8 .设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0 , 1 , 1 ,则齐次线性方程组( E - A ) x= O的基础解系所含解向量的个数为( )A .O B .1C .2 D .32 x, - x2 + x3 = 09 .设齐次线性方程组1 X |- X 2 - X3=0有非零解， 则九为( )X xI+x2+x3= 0A .- 1 B .0C .l D .21 0 .设二次型f( x) = xTAx正定， 则下列结论中正确的是( )A .对任意n维列向量X,XTAX都大于零B .f的标准形的系数都大于或等于零C . A的特征值都大于零D . A的所有子式都大于零二、填空题( 本大题共1 0小题，每小题2分，共2 0分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分行 列 式 "的 值 为 一( 1 2、1 2 .已知A = ， 则I A I中第一行第二列元素的代数余子式为_ _ _ _ _ _ _ _ _.2 31 3 .设矩阵 A=「 -3 1 P = 1口, 则 AP'M_____ .1 - 2 * 1 0 I )1 4 .设A , B都是3阶矩阵， 且I A I = 2 , B = - 2 E ,则I A」BI=.1 5 .己知向量组 a b= ( l, 2 , 3 ) , a 2 = ( 3 , - 1 , 2 ) , a 3 = ( 2 , 3 , k )线性相关， 则数 k=.1 6 .己知I Ax =b为4元线性方程组,K A ) = 3 , a a 2, a 3为 该 方 程 组 的3个 解 ， 且, 则该线性方程组的通解是1 7 .已知3 3P是3阶正交矩， 向量a = 3 , p= 0， 则内积( P a , P |3 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ .力1 2 ,1 8 .设2是矩阵A的一个特征值， 则矩阵3A必 有 一 个 特 征 值 为 .1 9.与矩阵A=［， 相 似 的 对 角 矩 阵 为 .2 0 .设矩阵A=［；］ ) ， 若二次型f= xTAx正定, 则实数k的取值范围是,三、计算题( 本大题共6小题，每小题9分，共5 4分)02 02 1.求行列式D =1 0 12 1 021的值.0 2 1 0r0—0、‘ - 1—2 0、2 2.设矩阵A =100=2—1 0, 求满足矩阵方程X A - B = 2 E的矩阵X\0b00 0 ,1< 2、1 2、2 3.若向量组a1 :1, 。

2=- 1=6=0的秩为2 ,求k的值.13' 22 3 '2 4.设矩阵人=1 - 1 0,b =、T2 b1 J⑴ 求A」 ；( 2 )求解线性方程组A x= b， 并将b用A的列向量组线性表出.2 5 .己知3阶矩阵A的特征值为- 1 , 1 , 2 ,设B = A ? + 2 A - E ,求( 1 )矩阵A的行列式及A的秩.( 2 )矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.X 1 = 2 y1 + 2 y2 + y32 6 .求二次型 f( X |, X 2 , X 3 ) = - 4 X 1 X 2 + 2 X |X 3 + 2 X ? X 3 经可逆线性变换，x2 = 2 y , - 2 y2 + y3 所得的标.x3 = 2 y 3准形.四、证明题( 本题6分)2 7 .设n阶矩阵A满足A、E ,证明A的特征值只能是± 12010年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（ 经管类）试题答案及评分参考（ 课程代码04184）一、单项选择题（ 本大题共10小题，每小题2分，共20分）二、填 空 题 （ 本大题共10小频，每小题2分，共20分）12. - 21 0-2 -2234,上为任意常数（ 答案不惟一）2 0 .%>4 ( 或(4 ,+ 8))三、计 算 题 （ 本大题共6小题，每小题9分，共54分）0 1 2 02 1 .解 D =1 00 10 2 1 01 2 01 -2 -3 =2 1 0线性代数（ 经管类）试题答案及评分参考第1页 （ 共4页）22. 解 由 X 4-8 = 2E得X4 = 5 + 2E ,，2分因为同= 1 3 0 ,所以彳可逆, 且0-101 00 00 1•4分又 S + 2E = 20-2100、025分7分23.解所以 X =(8 + 2E)/T'9分6分所 以 当 后=2时，向量组的秩为2.9分24.解（ 1）由于同=-1 .0 ,故/ （ 可逆.且1 ' =,4分（ 2）线性方程组4c = 。

的解为x = A''b =1 -5 -3- 1 6 410A设 4 = (% ,% ,6),贝 !I有b=-2Oy -3% +你 .9分线性代数（ 经管类）试题答案及评分参考第2页 （ 共4页）2 5 .解（1）由于彳的特征值为- 1, 1, 2 , 故| 4 | = (-l)xlx2 = -2, ...... 2 分因为|) 卜0 , 所以r(4) = 3. ……4分（ 2） B的三个特征值分别为^ = （ -1）2+2X（ -1） -1 = -2；^ = l,+ 2 x l-l = 2s4=22+2x2-1 = 7.7分所以,2 6 .解可逆线性变换为27代入二次型-20’2=&， %， 必）212-2I0、020-2-201°Jf2202-200/ （ 五, 与当） = （ 斗巧, 均）一 211012力9 分2 分4 分7分=- 1 +16y2 ? + .9分线性代数（ 经管类）试题答案及评分参考第3 页 （ 共 4 页）四、证明题（ 本题6 分）27. 证 设 为人的对应于特征值； I 的特征向量，则有&=芯.……2 分于是由d = E , 得 砧 = / 4专 = 四 ， ……4 分从而（ 1 --H = O .而百W O ,所以有1 -* = 0 ,4 = ±1. ……6 分线性代数（ 经管类）试题答案及评分参考第4 页 （ 共4 页）全国2011年1月自学考试线性代数（ 经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中， A ” 表示方阵A的逆矩阵，/ 4 ） 表示矩阵A的 秩 （ a , 表示向量a与△的内积，E表示单位矩阵，⑷表示方阵A的行列式.一、单项选择题（ 本大题共1 0 小题，每小题2 分，共 2 0 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分a\\ ai2 a\3 2an 2Q131 .设行列式a2] a22 2 33 ，则行列式21 a22 23 = （ ）031 a32 33 3 g 1 3 g 2 3 a33A.1 2B.2 4C.3 6D.4 82 .设矩阵A, B, C, X为同阶方阵，且A, 〃可逆，A X B =C ,则矩阵X= （ ）A.AlC BlC.BiAlC3 .已知T+ A -E W,则矩阵A / = ( )B.CA %"D.CB 'A 1A.A- EB.-A-ECA+E4 .设2 1 , 2 ， 3 ， 4 ， 5 是四维向量，则 （A. % , % , 如, % ，a5 一定线性无关C. a5 一定可以由由 , ， 3 ， 4 线性表示D.-A+E）B. 一定线性相关D.O 1 , 定可以由 2 ， 3 , 4 ， 5 线性表出5 .设A 是〃阶方阵，若对任意的〃维向量X均满足4 r =0 , 则 （ ）A.A=0BA=EC.r(A)=nD.0 <« 4 )<(〃)6 .设A 为九阶方阵，r （ A ） ＜n , 下列关于齐次线性方程组A r =0 的叙述正确的是（ ）A.Ax=0只有零解CAx=0的基础解系含〃 - r （ 4 ） 个解向量B A r = 0 的基础解系含“ 4 ） 个解向量D 4 x 旬 没有解7 .设小,% 是非齐次线性方程组Ax4 的两个不同的解，则 （ ）A.7+ % 是Ax=b的解C.3 〃] - 2 〃2 是Ax4 的解B.7- % 是Ax=b的解D.2 / — 3 % 是 A x H 的解3 9 08 .设4 , % ，％ 为矩阵A= 0 4 5 的三个特征值，则 4 / 2 4 3 = （ ）0 0 2A.2 0B.2 4C.2 8 D.3 09 .设尸为正交矩阵，向量名尸的内积为（ 区夕）= 2 , 则 （ P % P 夕）= （ ）A.1 B, 123C.- D.221 0 . 二次型兀¥ ] 丁2 /3 ） = 工 ：+X2 +xj +2x1x2 +2X1X3 +2 心 冗 3 的 秩 为 （ ）A.1 B.2C.3 D.4二、填 空 题 （ 本大题共1 0 小题，每小题2分，共 2 0 分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分1 一 " - 91 1 . 行列式 = 0 , 则心___________________________.2 k- l1 2 .设4 = 1 0 L k 为正整数，则屋= ____________ _______.1 1r 1 2 -1 3 .设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵，则矩阵A=________________________ .3 41 4 .设向量 a = （ 6 , - 2 , 0 , 4 ） , （ 5 = （ - 3 , 1 , 5 , 7 ） , 向量 / 满足 2 a+ y = 3 夕，则丫=- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1 5 .设A是m x n矩阵，Ax二 仇只有零解，则 r （ A ） =.1 6 .设a1 , 如 是齐次线性方程组Ax=的两个解，则 A（ 3% + 7% ）=.1 7 .实数向量空间V=｛（ 工小2 用 ）及 1 - 应+必=0 ｝ 的维数是.1 8 . 设方阵A有一个特征值为0,则二.1 9 .设向量4 二 （ - 1 , 1 , - 3 ） , % = （ 2 , - 1 , 4）正交，贝.2 0 .设/（ X ] ” 1 2 K 3 ） =X ； +4 ^2 + 2 4 + 2 % ^ 2 +2 元用是正定二次型，则 I 满足-三、计 算 题 （ 本大题共6 小题，每小题9 分，共 5 4 分）a- b- c 2a 2a21.计算行列式 2b b- a- c 2b2c 2c c- a- b-1 2 - 1 22 2 .设矩阵4 =2-125,对参数/l 讨论矩阵A 的秩.1 1 0 - 6 1-1 3 1- 1 4 ■2 3 .求解矩阵方程 2 5 1x=2 5_0 0 11 - 32 4 .求向量组:的一个极大线性无关组,并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.2x} - 3X2 + 与 + 5 工 4 = 02 5 .求齐次线性方程组- 3 可+ 冗 2 +2 打- © 4 = 0 的一个基础解系及其通解.- X i -2X2 + 3X3 +x4 =022 6 .求 矩 阵 1- 23 28 2 的特征值和特征向量.- 1 4 - 3四、证 明 题 （ 本大题共1 小题，6 分）2 7 .设向量为 , 劭 ，3・， 外线性无关，1 勺£ 上证明：% + 电 ., 二 2 ，…， 密 线性无关.1、B 2、A 3、C 4、B6、C 7、C 8、B 9、D 10、A0- 211、 -1, 3k13、31L22 J7, 15, 13)15、 n 16、017、218、019、20s -7 2 < t< V 22 2 .解:对矩阵实行初等变换，得当为=3时，A的秩为2当 》 #3时，A的秩为31 3 12 3 .解：由于 G4 - £) = 2 6 10 0 11 0 00 1 00 0 10100 - 5 3 20 2 - 1 - 11 0 0 11-5 3 2所以彳可逆，且才;2 -1 -10 0 1故原矩阵方程变为：-1 3 1T1 T-1 4--¥ = 2 6 1 2 50 0 1J [1 -3.2 4 .解：以所有向量为列向量形成4x4矩阵，然后对该矩阵施行初等行变换化为简化行阶梯形矩阵1 2 3 -1▲, . 2512A - （ Ap % 的，04；=-1 -6 1 -7・2 — 5 1 — 3线性代数（ 经管类）试题答案第2页 （ 共4页）-1 2 30 1- 540 -4 4 -80 -1 7 -510- 50. 01 3 010 0 -2 】0 0 0 0所以其一个极大线性无关组为：囚，6,为且 4 = ・ 5a1+3。

2・ 2042 5 .解：利用行初等变换将该线性方程组的系数矩阵化为行简化的阶梯形矩阵所以原方程组等价于[X2=XJ4-X4其中巧户, 为自由未知量得其一组基础解系为:原方程组的通解为:用为任意常数线 性 代 数 （ 经管类）试题答案第 3 页 （ 共 4 页）4-2-3-22 - 2-3-226. 解 ：|/ £ - 4 =-12-8一 2=-12-8-2214A + 302Z -2Z-12-2 1 -2② + ③ x (— 2) — I A — 4 — 20 0 Z-1= (A -l)(A -3)2所以）的特征值为1, 3 （ 二重）对义= 】 ，解齐次线性方程组（E -⑷X =0得5为自由未知量）产 2 = 令 马 = 1，得属于1 的全部特征向量为'-2、k 0 ,样0 为任意常数.、 【，对 2 = 3 ,解齐次线性方程组（3E -/4） X = 1.芍 = 弓 玉 .得，， 1 ，其中不为自由未知量令4 = 2 ,得4 的属于特征值3 的全部特征向量为/ - 1，/ , 0 为任意常数.四、证明题 （ 本大题共1小题，6 分）2 7 .证明：设有一组数//, 6 , … ，人使得1\ ( 囚 + 勺 ) 4- Z/z； + ••• + /* /= o即《 %+ 7 0 + …+ (6+ 0 a)+ …=0由1 。

2,…, /线性无关知4 = °，,2 = ， …，ij+h = 0 ,…，4= 0即得( =4 =・,• =1产・“ =/* = 0・故 里+ % , . ， …, 见线性无关.线性代数（ 经管类）试题答案第 4 页全国2011年10月自学考试线性代数（ 经管类） 试题课程代码：04184说明：在本卷中， 4T表示矩阵4 的转置矩阵， A*表示矩阵4 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵 川表示方阵A 的行列式，r（ A） 表示矩阵4 的秩一、单项选择题（ 本大题共10小题，每小题2 分，共 20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内错选、多选或未选均无分1.设3 阶方阵A 的行列式为2 , 则 —= （）21A.-l B.----41C .- D.14x - 2 x - 1 x — 22 .设/( x ) = 2 x — 2 2 x - i 2x —2 , 则方程/ ( 幻 = 0 的根的个数为( )3x — 2 3x — 2 3x — 5A.OC.2B.lD.33 .设A 为〃阶方阵，将A 的 第 1列与第2 列交换得到方阵8 , 若 |A |¥ 忸则 必 有 （)A.|A| = OB. |A+B|^Oc. |A|*O D. |A-B|*O4 .设4 ,8 是任意的〃阶方阵，下列命题中正确的是（）A. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2B.(A + B )(A -B ) = A2- B2C.(A - E)(A + E ) = (A + E)(A - E) D.(AB)2 = A2B2‘ath2 岫3、5 .设 4 = a2bl a2b2 a2b3， 其中。

尸 0,与—0,i = l,2 ,3 ,则矩阵 A 的 秩 为 ( )、 她 a3b2 a3b3,A.O B.lC.2 D.36 .设6 阶方阵A 的秩为4 , 则A 的伴随矩阵A*的 秩 为 ()A.O B.2C.3 D.47 .设向量 =(1, -2, 3 ) 与 阳 (2, k, 6 ) 正交，则 数 * 为 ( )9 .设3 阶方阵A的特征多项式为JE —4 | = (/1 + 2 )(/1 + 3 )2 , 则国= ( )A - 1 0C.3B- 4D.1 0% + %2 + %3 = 48 .已知线性方程组〈 玉+ ax2 + x3 = 3无解，2 % + 2ax2 = 4则数4= ( )1A.——21C. 一2B.0D.11 0 .若 3 阶实对称矩阵4 =(传)是正定矩阵，则4的 3 个特征值可能为( )A - 1 8C.6B.- 6D.1 8A.T , - 2 , - 3 B.T , - 2 , 3C.- 1 , 2 , 3 D.1 , 2 , 3二、填空题(本大题共1 0 小题，每小题2 分，共 2 0 分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分3 0 41 1 .设行列式 2 2 2 , 其第3 行各元素的代数余子式之和为5 3-21 2 .设 4\~a ~aJ,Bb- b- bb1 3 .设 A 是 4 x3 矩阵且 r (A) = 2 , 3 = 02 0 ， 贝 b ( A 3 ) =0 3 ,(a a, 则 A B =71 0 3 、1 4 .向量组(1 , 2 ) , (2 , 3 ) (3 , 4) 的秩为.1 5 .设线性无关的向量组a ” a2, 如可由向量组四，生，…戊 线性表示，则 ， •与s 的关系为.%1 + AX2 + * 3 = 01 6 .设方程组＜ 2X,+X2+X3 = 0 有非零解，且数几＜ 0 , 则几=.—+ — + = 01 7 .设4元线性方程组A x = 》的三个解a” a2, a3,已知a, = ( 1,2,3,4) T,=(3 , 5 , 7 , 9 )T 5 (4 ) = 3 .则 方 程 组 的 通 解 是 .1 8 .设3 阶方阵A 的秩为2 , 且 A ? + 5 4 = 0 , 则A 的全部特征值为 11 9 .设矩阵AC - 210- 4a11 、0 有一个特征值2 = 2 , 对应的特征向量为X3 ,122， 则数a=.2 0 .设实二次型/ （ x” X 2 ， X 3 ） = x 7 x , 已知A 的特征值为- 1 , 1 , 2,则该二次型的规范形为三、计 算 题 （ 本大题共6 小题，每小题9分，共 54分）21 . 设矩阵A = （ a , 2% , 3 /0 , 5 = （ £ , %, 为） ， 其中/ A %， 为均为3 维列向量，且同 = 18 , 忸 | = 2. 求 | A_8 | .ii-A「0( \ - n22. 解矩阵方程23 . 设向量组a 产 （ 1, 1,20 ,03 ,1 , 3 ) T, «2=( -1, -3 , 5. 1) 1> « 3 = ( 3 , 2, -1, p + 2) \ « 4=02X +141 1( 2 1J（ 3 , 2, -1, p + 2）T 问0为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24. 设3 元线性方程组《2玉 + A ,X2 - x3 = 12% ) -X2+X3=24X | + 5x > — 5X j = - 1（ 1）确定当2 取何值时，方程组有惟一-解、无解、有无穷多解？（ 2）当方程组有无穷多解时; 求出该方程组的通解（ 要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.1,25. 已知2 阶方阵A 的特征值为4 = 1 及 4 =-不 方 阵 5 = 4 .（ 1）求 8的特征值;（ 2）求 5 的行列式.26. 用配方法化二次型/ （ x , , x2, x3） = x j2 - 2x1 - - 4x , x2 +1 々x ?为标准形， 并写出所作的可逆线性变换.四、证明题（ 本题6 分）27. 设A 是 3 阶反对称矩阵，证明| A| = 0 .2011年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（ 经管类）试题答案及评分参考（ 课程代码04184）--单项选择题（ 本大题共10小题, 每小题2 分，共 20分）1- B 2. B 3. C 4. C 5. B6. A 7 D 8. D 9. A 10. D二' 填空题， 本 大 共 10小题，每小题2 分，共如 分 ）13 2 14. 215. rM$ 16. -217 ； +A ； A 为任意格数 18. 0,-5,-519- 22 0 - 才+ 勾 - 2?三、计算题（ 本大理共6 小题，每小题9 分，共 54分）2 1 解 同= ® 2 %=M 一凡外, 2〃 ……4 分（= | % 外 , 2巾- 忸, 为， 2川= *，2,2,3刀 - “ 必 ， 司 ……6 分= ； 同 - 洞 =2 -9 分线性代数（ 经管类）试盘答案及评分参考第1页 （ 共 3 页）p = 2时向总组%线性相关，此时向1 组的秩为3,（ 或., 与«）为其一个极大无关组2 4 .解 （ 】 ）设方程组的系数矩阵为4 则| 旬= （ 52+4X4-1） ,所以当4 x l且义8 - J 时，IM w o ,方程组有惟一解;4_7 = - ］时，r(4 )w r(Q ,方程组科;4=1时，可/） = 式 川 = 2 < 3 ,方程组有无穷多解( 2 ) 当 4 = 1 时,线性代数（ 经管类）试题答案及评分拿考第2 页 （ 共 3 页）25 .解（D B的特征值为e =F=1, ^ = （ - l ）3= l .⑵典q26 .解 /（ 不， 毛， / ） = 片 -4 4 /- 2片+12《玉 -2片=（ 胃-4再X ? +4吊） -6§ +12弓丐- 坦=（ $ -2ij ）2-6（ ^ -2X^ + 片） + 4学,=（*1 -l x2）2 - Xj? +4^yt fxj =Xj ¥lyl+2yi令， % =-- 三' 则经可逆线性变换，々= y2+?j,%= $ 1 /= X将二次型化为标准形y； -6 * +4其四、证明题（ 本期6分）2 7证因为/< = - / ,所 以 国 = 卜41= （- 叫 叫 = -M，因 此M =o线性代数（ 经管类）试题答案及评分参考第3页 （ 共3页）全国2012年1月自学考试线性代数（ 经管类）试题课程代码：04184说明： 本卷中， k表示方阵A的逆矩阵， 儿4）表示矩阵A的秩，II a I I表示向量a的长度，£表示向量a 的转置，E 表示单位矩阵，⑷表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（ 本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分1.设行列式= 2 ,则3 ［2 3 ］ 3_〃32 _〃33a2 2 一 〃32 423 一 〃33A. -6B. -3)C.2.3D . 6设矩阵A, X 为同阶方阵，且 A 可逆，若4 （ X・E ） = E ,则矩阵X = （)A.E+A-］B. E-AC. E+AD . E-A3 .设矩阵A, 5 均为可逆方阵，则以下结论正确的是A.可逆，且其逆为A1B.B)不可逆C.可逆，且其逆为D .可逆，且其逆为A-1B 1ABB 17()AABAB4.设a i ，2，…，是〃维列向量，则a i ，2，…，线性无关的充分必要条件是)A.向量组a”2，…，人. 中任意两个向量线性无关B.存在一组不全为0的数/” 小 …，Ik，使得1 Q ]+ /2 a 2+ …+ 人芹 0C.向量组a 1，2，…，中存在一个向量不能由其余向量线性表示D.向量组a 2，…， a人中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5.已知向量 2a + 2 = ( 1,一2, -2, -11, 3 2夕=( 1, -4, -3 , 0 q则 a + £ = (A.( 0 , -2, -1, 1) TB. ( -2, 0 , -1, 1) TC.( 1, -1, -2, 0 ) TD . ( 2, -6, -5, -1) T)6 .实数向量空间VM（ x , y , z ） l 3工+ 2y + 5z =0 ｝的维数是（)A.B. 2C. 3 D. 47 . 设 a 是非齐次线性方程组A x H 的解，夕是其导出组Ax=O的解，则以下结论正确的是( )A. a + 尸是Ax=O的解 B. 0 + / 是 4%=。

的解C . 万-是4 x 4 的解 D. a - 4 是Ax=O的解8 . 设三阶方阵A 的特征值分别为2 」, 3 , 则A” 的特征值为( )2 4A c / 1 r. I l lA. 2,4,§ B . - - - - -C . - 」, 3 D, 2,4,32 419 . 设矩阵4= 2 ,则与矩阵A 相似的矩阵是( )-11 -1A. -1 23-2C. 111 0 .以下关于正定矩阵叙述正确的是(A . 正定矩阵的乘积一定是正定矩阵C . 正定矩阵的行列式一定大于零0 1B. 1 021D. -21)B . 正定矩阵的行列式一定小于零D . 正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题( 本大题共10小题，每空2 分，共 20分)请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分1 1 .设 det(A)=・L det (3 )= 2 ,且 A, b 为同阶方阵，则 det ( ( AB) 3 ) = .1 2 -21 2 .设 3 阶矩阵A= 4 / 3 , B 为 3 阶非零矩阵，且A B = 0,则仁.3 -1 113 . 设方阵A 满足A忆£,这里k 为正整数，则矩阵A 的逆4 工.14 . 实向量空间K〃的维数是.15 . 设 A 是加义〃矩阵，r(4)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为.16 . 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 解 的 充 分 必 要 条 件 是 .17 .设 a 是 齐 次 线 性 方 程 组 A x= 0的解，而 《是非齐次线性方程组 八斗 的解，则A(3a + 2")=.1 8 .设方阵4有一个特征值为8 , 则 d e t ( - 8 £ + A ) = .1 9 . 设 尸为〃阶正交矩阵，x 是〃维单位长的列向量，则IWxl l = .2 0 .二次型/ ( . 1 ] ,工2，* 3)= x； + 5 x； + 6 x； + 4 % 冗2- 2 玉 W - 2 工2 1 3的正惯性指数是.三、计 算 题 ( 本大题共6 小题，每小题9分，共 5 4 分)1 1 - 1 2- 1 - ] - 4 12 1 . 计算行列式 .2 4-611 2 4 222 2 . 设 矩 阵 4 = 3 ,且矩阵B满足4 5 4 - 1 = 4 4 / + 氏年1求矩阵反52 3 . 设 向量组q = ( 3 , 1 , 2 , 0 ) , % = ( 0 , 7 , 1 , 3 ) , % = ( T 2 0 , 1 ) , 4 = ( 6 , 9 , 4 , 3 ) , 求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来.-14 32 4 .设三阶矩阵A = - 2 5 3 ,求矩阵A的特征值和特征向量.2-4-22 5 .求下列齐次线性方程组的通解.百 十 / - 5X4 = 0< 2xt +x2 - 3X4 = 0X j + x2 - x3 + 2X4 = 02-24-2032 6 .求矩阵A =0036 - 10 0的秩.1 - 1 2 1 0四、证明题( 本大题共1 小题，6 分)Q" 。

12 % 32 7 .设三阶矩阵A = 的 a2 2%3的行列式不等于° ，证明:31 a3 2 332012年1月高等教育门学考•试全国统一命题考试线性代数（经管类） 试题答案及评分参考（ 课 程 代 用 04184）一、 第项选择f l ! （ 本大戢共1小JS,每小想2分， 共2 0分）1. D 2. A 3. D6. B 1. B 0. A4. D9. B5. A10. C二J *空 题 （ 本大B!共1小题. 绛小IS 2分， 共2 0分J11- -« 12.-3 13. A* '14. n15. n • rIS. r(A .fr)-r 17. 2b1&019.120.3三、 计JJBI （ 本大眼共6小题， 招小四9分， 扶5 4分］11- 1211- 120 0 - 5 30 1 5 021. t h 探行列式一="0 2 -4 -30 2 4 30 1 5 00 0 - 5 3-5 722. 前： 由条件 I B A L秘1.4 1从 rtj(A 40“ 4Eil故" = 4 (A -E )-'= 4 24故 q , 叫 是 极 大 级 性 无 关 组 ， 且。

＜= 5 + 2% —3•2 4. 解； 矩阵A 的特征多项式为：N 十1 -4 -3IAE-A | = 2 A-5 -3 =A(A-1),-2 4 A + 2故 A 的特征位为冏=0 ,4==阳 = I •对于4 = 0 , 求解齐次线性方粒细（ 吩A ） x=O碑一个塞理圈系为⑼= 1 . 故属于九= 0的全部特征向最为,.-1.” r品叫= M 1 （ w # o >对特征值入= A = i,考虑齐次感性方程缎心A〃 =o求篇得. 其一个毛础琳系为;故 属 于 特 征 值 1 = % = 1 的仝部特征向最为， 其 中 4 晶 不 全 为 025. 解: 对该齐次统性方程组的系数矩咫实行初等行交换得原方程组等於于' q = y ,十 出工 ”工 ，为自由未知量一[Xi~2xi-Tx-t令故原方程组的通解为:e g 为任意畲败.26. 解 ： 对 A 能行初等行变换将共化成阶梯形I t l卜〃的I I6数为3 .故A的收为3.. . . . . . （ 9分）四、 江 期 效I本大毁共】 小曲， 5分I2 7. 在则： 设4 f -f R数 扁， * ： ♦* , ♦便4。

； + 分*+ *»* = . . . . . （ 2 分）注宜， ； . 心 0只力* 嫡， 用力人的H等十3 -未如n的个数.t t M W 0 .从而如， 备・如 穗愎无关. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（ 5分）全国2012年10月自考线性代数（ 经管类）试题课程代码：04184请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上说明：在本卷中，AT表示矩阵A 的转置矩阵，A'表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，IAI表示方阵A 的行列式，r（ A） 表示矩阵A 的秩选择题部分注意事项：1 . 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上2 . 每小题选出答案后，用 2 B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号• 不能答在试题卷上一、单项选择题（ 本大题共1 0 小题，每小题2 分，共 20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“ 答题纸”的相应代码涂黑错涂、多涂或未涂均无分。

仇仇12Q1 . 设行列式aq -C ]a2 -c2=1,= -1 ,则行列式A.-l B.0C.l D.22. 设A 是 ”阶矩阵，是 ”阶零矩阵，且屋-E=则必有A.i4 =E B.A=-EC.A=A' D.L4I=1, 0 a 0、3 4 = 1 0 1为反对称矩阵，则必有、b c 0 ,A.a=b=— l , c= 0C .a=c=0,b=—— 1B . t z = c = -l , f e = 0D . Z ? = c = -1, ^ = 04. 设向量组a产( 2 , 0, 0) Ta2= ( 0, 0, — 1) T,则下列向量中可以由a ，% 线性表示的是A . ( ― 1, — 1, — 1) TC . ( — 1, — 1, 0) r5. 已知4 X 3矩阵A的列向量组线性无关,A . 1B . ( 0, — 1, 11) 1D . ( — 1, 0, -1) T则 r ( AT) =B . 2D . 46. 设 % ，％ 是非齐次线性方程组4B的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是A . ax - a2B . % + %1C . — + a2D . - a 4— a、2 ' 2 ■7. 齐次线性方程组J " 4 = °的基础解系所含解向量的个数为x2 - x3 + 2X4 = 0A . l B . 2C . 3 D . 4r -1 、8 . 若矩阵A与对角矩阵。

= -1 相似，则A ? ：A.E B .AC .- E D.2E9 . 设3阶矩阵A的一个特征值为- 3 ,则才 必有一个特征值为A . -9 B . -3C . 3 D . 910. 二次型於1/2内) =X ； +x； + x ； + 2X,X2 +2%工3 + 2 * 2 /的规范形为A . z ； -z ；c . Z ；B . Z ； + Z ；D . 2 ； + Z 2 + Z 3非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上二、填空题( 本大题共10小题，每小题2分，共 2 0分)1 2 311 . 行列式1 1 1 的值为3 2 1< 4 3 、 < 012 . 设矩阵4= ，尸 = ,则 以 P2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _[2 1J 11 0j -13 . 设向量a = ( 1, 2 , 1) T ，J3= ( -1, -2 , -3 ) T,则 3a-2,.14 . 若A为 3 阶矩阵，且⑷=4 ，则I ( 3 A ) -'I.9( E 0 \15 . 设8是 3 阶矩阵，。

是 3 阶零矩阵， r ( B ) = l , 则分块矩阵 的秩为.16 响 量 组 % = ( « 2 , 2 )1' , 2 = ( 4, 8 , -8 y 线性相关，则数％=.X1+2X2+3X3=117 . 若线性方程组1-2X2+X3= - 2无解，则数4 =.( 九 + 1) X 3 义18 . 已知A为 3阶矩阵，为齐次线性方程组A x = 的基础解系，则⑷二.19 . 设A为 3阶实对称矩阵，% = ( 0 , 1, 1 ) \ a2= ( 1, 2 , x ) T 分别为A的对应于不同特征值的特征向量，则数x=.’ 0 0 1 、2 0 . 己知矩阵4= 0 1 - 1 , 则对应的二次型式勺/2 /3 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ .J -1 2 ,三、计算题( 本大题共6小题，每小题9 分，共 54分)a + b a b2 1 . 计算行列式 a + b h 的值.a b a + b’ 的矩阵X .， 求该向量组的秩和一个极大线性无关组.X 1 +x2 - x3-x4=12 4. 求解非齐次线性方程组彳2 菁 + 々 + 》 3 + 匕 = 4 .（ 要求用它的一个特解和导出组的基础解4xt +3X2 -X3-X4 = 6系表示）<0 1 0、2 5. 求矩阵人= 0 01 的全部特征值和特征向量.( 0 0 0J2 6 . 确定。

力的值， 使二次型/ （ 和々, 》 3 ） = ax； + 2 x ； — 2 x ； + 2 如 £的矩阵A的特征值之和为1 , 特征值之积为一 12 .四、证明题（ 本题6分）2 7 . 设4, 8均为“阶（ " 2 2 ） 可逆矩阵, 证明（ 4 8 ） * = 8 * 4* .2012年1 0月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（ 经管类）试题答案及评分参考（ 课程代码04184）一、单项选择题（ 本大题共10小题, 每小题2 分，共 20分）1. B 2. C 3. B 4. D6. D 7. B 8. A 9. A5. C10. C二、填空题《 本大题共10小题. 每小题2 分，共 20分）11. 012.13. (5,10,9)T14.15. 416.17. -118.19. -220.04+ 2^ + 24弓_ 2 ^2 14 323-I三、计真题（ 本大题共6 小题，每小题9 分，共 54分）2( + b) a b2 1 .解2(a + b) a^b b2( + 6) b a + fc3 分1= 如 + ）16 分1 a b= 2(a + b) 0bo0 b -a a= 2ab(a + b)9 分线性代数《 经管类》试题答案及评分参考第1页 （ 共 3 页）'1 0 0 '2 2 .解 因|4 = 2 = 0 ,故4 可逆，A-'= -2 1 0、3 -I 1/214-1 2 1、1 4 -20 6 - 1T 3 1,“2 1 ,0 3 0 y0 0 - 5 - 3、0 0 0 0 ,向盘组的秩为3%,%， . 为一个极大线性无关组（ 答案不惟一）’1 1 -1 T | l )A = 2 I 1 1 4、4 3 -1 -1 16)'1 1 -1 -111')T 0 - 1 3 3 2.0 0 0 0 |oj得到K 4 = KN） = 2 < 4 ,故方程组有无穷多解通解为* = 片。

与为任意常数♦4分•6分•9分“2 分•5分“7 分“9 分“2 分“5 分“7 分..•9 分线性代数（ 经管类）试题答案及评分参考第2 页 （ 共 3 页）25 .解 由|2 E -d = 0 2 - 1 =A* =00 0 A得4的3个特征值为4 = 4 = 4 = o当2 = 0时，由（ 0E — / ） x = 0得基础解系/ > = （ l,0,0） T则A的属于特征值4 = 0的全部特征向量为kp. % 是不为零的任意常政“O b '26. 解二次型的矩阵4 = 0 2 0、b 0 -2,设z的特征值为4 ，小4,由已知条件4 + 4 + & = a + 2 + （ — 2） = 1•4分•6分…“ -9分・ ・ ・ ・ ・ ・ 24，a 0 bA A A = 0 2 0 =--汨=-12占0 -2解得 =1,5 = ±2四 . 证 明 题 （ 本题6分）2 7 .证 由于4 ，3均为〃阶可逆矩阵，则 为 〃 阶 可 逆 矩 阵且/％了,前’ （加 = 曲 ®所 以 =|回 尸 =网 .国 方14T= （| 同声明］, ）=8/……7分……9分…一3分……6分线性代数（ 经管类）试原答案及评分参考第3页 （ 共3页）全国2013年1月自学考试线性代数（ 经管类）试题课程代码：04184请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：本卷中， 4 , 表示矩阵4 的转置，表示向量a 的转置，E 表示单位矩阵，⑷表示方阵A 的行列式，表示方阵A 的逆矩阵，R（ A） 表示矩阵A 的秩.选择题部分注意事项：1 . 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上2 . 每小题选出答案后，用 2 B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号不能答在试题卷上一、单项选择题（ 本大题共10小题，每小题2 分，共 20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“ 答题纸”的相应代码涂黑错涂、多涂或未涂均无分2 . 设 ”阶方阵A、B、C 满足4 5 C = E ,则必有1 . 设 A、B 为同阶方阵，则必有A. L4+BI=L4I+IBIC. (AB)T=ATBTB. AB=BAD. \AB\=\BA\5. 设 9 = (1,0,0)、% =(2,0,0)、a, =(1,1,0), 则A. ACB=EC. BCA=E3 . 设 A 为三阶方阵，且⑷= 2 ,则l-2AI=A. -16C. 44 . 若同阶方阵A 与 3 等价，则必有A. IAI=IBIB. CBA=ED. BAC=EB. -4D. 16B. A 与 5 相似C. R(A)=R(B)D./= 1 i=lA . 四、4、火线性无关B. a3可由风、％ 线性表示C. / 可 由 a2 、线性表示D . /、% 、的秩等于36 . 设必、％ 是非齐次方程组A x H 的解, P 是对应齐次方程组的解，则A x2 一定有一个解是A. a] + a2B. , 一 %C . 6 + 四+ %1 2D・-« | + - a2 ~ P7.若 3 阶方阵A 与对角阵/=200000003相似，则下列说法错误的是A.L4l=0B. L4+EI=0C.A有三个线性无关特征向量D. R(A)=28.齐次方程XI+X2-X3=0的基础解系所含向量个数是A.0B. 1C. 2D. 39.若 a = （ 』 , / ） 与夕= （ 1,1,1） 正 交 , 则仁A.-2B. -1C. 0D. 110.对称矩阵4 =一 2 r1 2_是A.负定矩阵B . 正定矩阵C.半正定矩阵D . 不定矩阵非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填 空 题 （ 本大题共10小题，每小题2 分，共 20分）11 . 设A、8 均为三阶可逆方阵，且⑷= 2 ,则1-25"4为1=.12 . 四阶行列式中项4 032al3a3 的符号为.13 . 设1 - I ,则4 的伴随阵4*=______ .-1 2114. 设 A= 012 12 3 ,且 K(A)=2,则仁0 t15. 设三阶方阵4=[0],% 31， 期 以为A的列向量， 且⑷=3,若 5 = 3 ,Q[ +%,% + a2 + a3] ,则 151=.1 6 .三元方程组\X' 小 毛二° 的通解是________[ X j - x2 = 02 1■. 设A= T 4 '则4的特征值是-1 8 .若三阶矩阵4的特征值分别为1 , 2, 3,则A + 2E I= .~2 0 0--2 0 0-1 9 .若 4 = 0 0 1与5 = 0 1 0相似，则_0 1 X_0 0 - 11 - 120 .实对称矩阵A= 的正交相似标准形矩阵是_________- 1 1三、计 算 题 （ 本大题共6小题，每小题9分，共5 4分）1 2 3 4-12 3 421 .计算四阶行列式 .-1-2 3 4- 1 - 2 - 3 4一2 1 5 -22 . 设4 = 0 4 - 2 , B是三阶方阵，且满足求A_4 - 3 123 .设a =（ 1 , 1 , 2, 3 ） ,%=。

， 一1 ， 1 ， 1 ） ， %= ，3 , 3 , 5 ） ,%=（ 4, — 2, 5 , 6 ） ,%=（ - 3 , - 1 ,一5 , — 7 ） ,试求向量组 里 , % ， %，的秩和〜个极大无关组.x1- x2+ 3X3 + 2X4 = 324 .设四元方程组2七 - 超 +2七 - ％ =2 ,问t取何值时该方程组有解？并在有解时求其通国-2X2 + lx3 + 7X4 = t解 .-_1 _4] 「 -i o ]2 5 .设矩阵P = , D= ,矩阵A由矩阵方程P " A P = Z ）确定，试求屋.1 1 J | _° 2.26 .求正交变换X = P Y ,化二次型/（ x i死用） = 以\XT+2X 1 %3+ 2¥2%3为标准形.四、证 明 题 （ 本大题共1小题，6分）27 . 证 明 任 意4个3维向量组线性相关.2013年1月高等教育自学考试全国统一命题考试线 性 代 数 （ 经 管 类 ） 试题答案（ 课程代码 04184）二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共10小 题 ， 每 小 题2分 ， 共2 0分 ）一 、 单项选择题（ 本 大 题 共i o小 即 ， 每 小 题2分 ， 共2 0分 ）1. D2. C3. A4. C6. D7. B8. C9. A「2 1111. -3 2 12. + 13.Li 1J一 116. *=先一 1 k为任意常数 1 7 .九= % = 31「2 ro 0]20. 或Lo 0J Lo 2j三 、 计 算 题 （ 本 大 题 共6小 题 ， 每 小 题9分 供5 4分 ）14. —218. 605. C10. B15. 319. 0121.解 ： 原 式 = 2X3X4- 1- 1—1- 1111—11111万 + n 24n + nn +「1= 19210121220222000022.解 ：A A B -B = A2- E(A -E )B = A2—E： .B = ( A - E ) -,(A2—E)= (A -E )7 (A -E )(A + E)23. 解： 令A =[ * , 吗 ， 吗,a：,吗]1 1 1 41-13-22 1 3 5, 3 1 5 61 1 1 40-11-30 0 0 00 0 0 0- 3- 1- 5- 7- 3100工向量组的秩= 2且 火, 。

2是一个极大无关组( 回答 a, ,a3；a, ,a4 ；a, ,a5 也可)1 - 1 324. 解： N = 2 -12, 1 - 2 72 3- 1 27 t1 - 13231 0 - 1- 3- 1—►01 —4- 5- 4—►0 1 —4- 5- 4Q- 145t—3, 0 000t-7当， =7时 ， 方程组有解4 = 4： .A = PD Pl.♦.A'PD5 P7= P而P ' =( - 1 )50， 1T■J02s4313P-03 2313332 6. 解： 二次型矩阵■ o -1 rA = -1 0 11 1 0 .-A -1令 |A -A E |= -1 -A1 1得 Ai = - 2 ,A2 =A, = 111= -(A + 2 )(A-l)2 = 0当 A, = - 2 时, A + 2 E=当 Aj —A3 = 1 时,- f00 .in ri ii -* o o-1J [o 0- 1 - 1A +E = -1 -11 17 617 62-7 61-V2O1一行—行化二次型为 f = -2y\ +yl+yl为任意四个三维向量向贵组A ： % ,a:,a3,a,线性相关QR(A )V 4而 R(A) = R [4 ,见， 4 ,a4] < 3 < 4»,.®i »«2 »a3 线性相关r t i a, ,Ot， a3,a,假设的任意性， 即命题成立绝 密 ★ 考试结束前全国2 0 1 3 年 4月高等教育自学考试线性代数（ 经管类） 试题课程代码： 04184请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、 写在答题纸上。

说明：在本卷中，表示矩阵4的转置矩阵，4♦表示矩阵”的伴随矩阵，E是单位矩阵，|4|表示方阵4的行列式，r（ 4）表示矩阵”的秩.选择题部分注意事项：1 .答题前. 考生务必将自己的考试课程名称、 姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2 .每小题选出答案后. 用2B铅第把答题纸上对应题目的答案标号涂黑如需改动. 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号不能答在试题卷上一、单项选择题（ 本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出井将“ 答题纸”的相应代码涂黑错涂、多涂或未涂均无分.% 0131 .行 列 式 即外 %中% 的代数余子式为03\ % %2 .设a 5均为〃阶矩阵，（ / +5X 4-5） = 42-5?的充分必要条件是A. A = E B. B = O C. A = B D. AB = BA3 .设向量组4 ,a?,%线性无关，则下列向量组中线性无关的是A. 4 ,% ,% +a） B. a ,- .' a ?C. a, ,a2,2a, - 3a2 D. a2,2a,, 2a2 + a,浙04184二级性代数（ 经管类） 试 题 第 】 页（ 共4页）2xj - x, - x4 = 04 . 4元齐次线性方程组x ,+三 + % = 0的基础解系所含解向量的个数为玉 +3x, -x4 =0A. 1 B. 2 C. 3 D. 45 .设-2是3阶矩阵4的一个特征值，则4必有一个特征值为A. -8 B. T C. 4 D. 8非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上•不能答在试题卷上。

二、填空题( 本大题共10小题，每小题2分，共20分)4瓦c ,已 知 行 列 式 . 与q% A q6.■纹 +q J= 3 ,则 O j 2bt +c2 c2% 24+q q7 . 4是3阶矩阵，若| / | = 4 ,且 同＜ 0 ,则卜| = .f\ 1 r8 .设矩阵4= 0 2 2,则Z [ =、0 0 3,9 .设. = (1 ,-2 ,5), % = ( 4 ,7 ,- 2 ) ,贝ij-2al+3%=.10 . 3元齐次线性方程组［ 玉+29 = ，的一个基础解系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .I 毛= °11 .设4为3阶矩阵，r(4) = 2 ,若存在可逆矩阵P ,使PT/1P = 5 ,贝h(B)=12 .已知向量组.= (1 ,2 ,-1 ,1 ), .= ( 2 ,0 ,r ,0 ) , .= ( - 1 ,2,-4 ,1 )的秩为 2,则数， =.13 .设4为3阶矩阵，2是4的一个2重特征值，- 1为它的另一个特征值，则同 = - - - - - - - - - - -14 .设向量％ = (1,2,- 1 ) ,. = ( 3 ,2 ,1 ),则内积( 外, 。

2)=.' 1 0 0、15 .设矩阵4= 0 2- 2,则二次型必心=.& -2 0,浙04184二线性代数( 经管类) 试题第2页( 共4页)三、计算题（ 本大题共7小题，每小题9分，共63分）16 .计算行列式O =1-10001-10,其中a ,b ,c , d为常数.17. 己知X 0<012-1- r20,00b2 14 0,求矩阵X18.设4为3阶矩阵，将4的第1列与第2列互换得到矩阵5,再将8的第2列加到第3列得到矩阵C,求满足关系式4 Q = C的矩阵Q .20.21.19.，判定巴 是否可以由％,已知4元线性方程组（1）确定 的值，使方程组有解;=a- 2a（2）在有解时，求出其通解（ 要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.求正交变换x =与 ，将二次型/ & , Z ） = 3年-2 %X - 3 4化为标准形，并指出了是否为正定二次型.2 2 .求矩阵彳1 00 1、0 20、0的特征值，并判定4能否与对角矩阵相似. （ 需说明理由）1,浙04184二线性代数（ 经管类） 试 题 第3页（ 共4页）四、证明题（ 本题7 分）2 3 .设4 为〃阶矩阵，上为正整数，且4 * = O ,证明4 的特征值均为0.浙04184二线性代数（ 经管类） 试 题 第4页（ 共4页）2 0 1 3年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（ 经管类）试题答案及评分参考（ 课程代码04184）一、单项选择题（ 本大题共5 小题，每小题2 分，共 10分）1. C 2. D 3. A 4. B5. C二、填空题( 本大屈共10小题，每小题2 分，共 20分)6. 6 7. -2f\ I 1、8. 1 5 5 9. (10,25,-16)J 5 14,10. (-2 J ,0 )T 11. 212. 313. 一414. 61 5 .% ； +2百一4匕 小三、计 算 睡 （ 本大题共7 小题，每小80 9 分，共 63分）01 6 .解一0 00a100a0a + b010a + b1c001a + b + c­Id00-1d1 0 00 1 0a + b—=a+A+c+rf.0 0 Ia + b+c0 0 0 a+ b + c+ d0 b解二 D = (-l)l*, l- -1 10 - -1 1-1 1 0c +(-1产。

0 -1 1d 0 0 - 1= a + 6 +c + d .17.解由于002 2-I 0= 2 * 0 ,故 0(°2-I2可逆,0」10、 °2-1-1Y'20,002022由原式得到x =Co北12-1-1Y'20,2从而 X =422322718.解由条件可知对4进行了两次初等列变换,先将4化为5 ,再将8化为C,对应的两个初等矩阵分别为( 0 1 0141 0 0 , /»W 0 I,f\ 00 1、0 00、1 J并且有（ 工耳） 与 = 8A = c ,又（/ 4）A = /f（4 6）,( 0 1 oY l0o) ( Q1 10 00 1从 而Q = ptp21 0 0011IO 0 I AO19.解1 J I0令即x,a, + 玉3=04,-2X| + x2 + 3x, = 0X j -3X2 =-l2*2 + 2x)= 43x1 + 4xj - x, =9由03-324302-10、-149,00、 °000000'2、I10 >得到 % = 2 , x2 = 1 , x3 = 1 .所以a , 可 以 由 4,%线性表出，且表示式为= 2 % +a2+a3.2 0 . 解1 - 1 0 0 a- 0 1 - 1 0 2 a0 0 1 - 1 3 a「 100 1 100、 00I000 - 10 - 11 - 10 06 a、5a3a6a + 1 ,( 1 ) 当a =— 2时,6（ 2 ）通解为方程组有解.（ 左为任意常数）.2 1 . 解 二次型的矩阵N =2 — 3 1由 - + = ( 2 - 4 X A - 2 ) = 0 ,1 4一 3得Z的特征值为4 = 4 , 4 = 2 . .对于4 =4,由4 E - 4 = C ； 卜（ ； 0得特征向量q = （ 7 , 1 尸,对于4=2,由2 E - 4 =C ； 0 ）得特征向量。

2 = （ 1 ， 1 ） 丁 ，将6 ， %单位化，得用+专闱以=（ 专 修 ）-令尸= （ 4， 乩） ，则尸为正交矩阵，从而经正交变换工= 分，将二次型化为标准形f = 4 y： + 2月由于Z的特征值都大于零，故/ 正定.A -l 0 022 . 解 4 的特征方程|4 E -H = 0 A -l 0 =(2-1)，=0,0- 2 A -l故 x 的特征值为4 = 4 = 4 = 1.因为(£ - 4 ) 的秩为1 , 所以(E -4 )x = 0只有两个线性无关的解向址,从而3 阶矩阵4 只有两个线性无关的特征向量.因此，4 不能与对角矩阵相似.四、证 明 题 ( 本 题 7 分)23 . 证 设义是矩阵/ 的特征值，且存在向址a * 0 使得Aa = Xa.由此可得d a = #cr.又 因 / = O ,故T