30.三弄函数不等式e^x≥x+1.doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)三弄函数不等式ex≥x+1由不等式ex≥x+1生成高考试题的视角 函数不等式ex≥x+1简单易证,不仅具有明显的几何意义,而且蕴涵着微积分的“以直代曲”基本思想,由她已生成一类绝妙的高考试题,我们现在关心的是由她生成高考试题的可能视角.[母题结构]:(Ⅰ)求证:ex≥x+1,当且仅当x=0时,等号成立;(Ⅱ)㈠当x∈R时,若不等式:ex≥ax+1恒成立,则a=1;㈡当x≥0时,若不等式:ex≥ax+1恒成立,则a≤1.[母题解析]:(Ⅰ)令f(x)=ex-(x+1),则(x)=ex-1;①当x∈(-∞,0)时,(x)<0f(x)在(-∞,0)上单调递减;②当x∈(0,+∞)时,(x)>0f(x)在(0,+∞)上单调递增;综上,fmon(x)=f(0)=0f(x)≥0ex≥x+1,当且仅当x=0时,等号成立;不等式ex≥x+1的几何意义是函数y=ex的图像不在切线y=x+1的下方;(Ⅱ)㈠令g(x)=ex-(ax+1)(x∈R),则(x)=ex-a;①当a≤0时,(x)>0g(x)在(-∞,0)上递增g(x)0时,g(x)≥0g(x)≥g(0)当x=0时,g(x)取得最小值;由(x)=ex-a=0x=lna=0a=1;㈡令g(x)=ex-(ax+1)(x≥0),则(x)=ex-a;①当a>1时,g(x)在(0,lna)上单调递减g(x)k时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;(Ⅲ)证明:f(x)≥.[解析]:(Ⅰ)由g(x)=e2x-t(ex+1)+x(x)=2e2x-tex+1=ex(2ex+e-x-t);又由2ex+e-x≥2当t<2时,(x)>0g(x)在R上是增函数;(Ⅱ)由g(x)在闭区间[a,b]上是减函数当x∈[a,b]时,(x)≤02ex+e-x-t≤0;令h(x)=2ex+e-x,则(x)=2ex-e-xh(x)在(-∞,-ln2)上单调递减,在(-ln2,+∞)上单调递增,故只需取k=max{h(a),h(b)};(Ⅲ)由f(x)≥2t2-2(ex+x)t+e2x+x2-≥0Δ=4(ex+x)2-8(e2x+x2-)≤0(ex-x)2≥1;由ex≥x+1ex-x≥1(ex-x)2≥1f(x)≥;[点评]:指数不等式ex≥x+1不仅具有放缩功能,更重要的是把指数式ex放缩为简单的一次式x+1;因此,她在证明有关ex的不等式中,具有化繁为简的关键作用;构造以不等式ex≥x+1为基础的证明不等式试题是高考的一个命题视角. 2.二弄:不等式恒成立 子题类型Ⅱ:(2010年课标高考试题)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(Ⅰ)若a=,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.[解析]:(Ⅰ)当a=时,由f(x)=x(ex-1)-x2(x)=ex-1+xex-x=(x+1)(ex-1),由此列表如下:由表知,f(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上单调递增,在(-1,0)上单调递减;(Ⅱ)当x≥0时,f(x)≥0当x≥0时,x(ex-1-ax)≥0当x≥0时,ex-1-ax≥0ex≥ax+1;令曲线C:y=ex,直线l:y=ax+1,则直线l与曲线C恒交于点A(0,1),曲线C在点A处的切线:y=x+1a≤1a的取值范围是(-∞,1].[点评]:以指数不等式ex≥x+1为背景的不等式恒成立问题有:①当x∈R时,ex≥ax+1恒成立,则a=1;②当x∈R时,ex≥x+b恒成立,则b≤1;③当x≥0时,ex≥ax+1恒成立,则a≤1;④当x≥0时,ex≥x+b恒成立,则b≤1.构造以不等式ex≥ax+b为背景的不等式恒成立问题是高考的一个重要命题视角. 3.三弄:研究函数性质 子题类型Ⅲ:(2012年湖南高考理科试题)已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0.(Ⅰ)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;(Ⅱ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1k成立？若存在,求x0的取值范围;若不存在,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)令ax=t,则f(x)≥1et≥t+1=1a=1.a的取值集合为{1};(Ⅱ)由k==-1;令g(x)=(x)-k=aeax-,则g(x1)=-[e-a(x2-x1)-1],g(x2)=[e-a(x1-x2)-1];当x≠0时,由ex>x+1e-a(x2-x1)-1>0,e-a(x1-x2)-1>0g(x1)<0,g(x2)>0,又(x)=a2eax>0g(x)在(x1,x2)內单调递增存在唯一c∈(x1,x2),使得g(c)=0c=ln当且仅当x0∈(ln,x2)时,g(x0)>0存在x0∈(x1,x2),使(x0)>k成立,此时,x0的取值范围是(ln,x2).[点评]:利用指数不等式ex≥x+1可求含有ex的函数的最大或最小值,函数的取值符号,函数的单调性(导函数的取值符号)等,灵活运用指数不等式ex≥x+1是高考的一项要求,着意于指数不等式ex≥x+1的灵活运用是高考的又一命题视角. 4.子题系列:1.(2014年课标Ⅰ高考试题)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=e(x-1)+2.(Ⅰ)求a,b;(Ⅱ)证明:f(x)>1.2.(2010年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=1-e-x.(Ⅰ)证明:当x>-1时,f(x)≥;(Ⅱ)设当x≥0时,f(x)≤,求a的取值范围.3.(2013年山东高考试题)设函数f(x)=+c(e=2.71828…是自然对数的底数,c∈R). (Ⅰ)求f(x)的单调区间、最大值;(Ⅱ)讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.4.(2013年课标Ⅰ高考试题)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.5.(2013年辽宁高考理科试题)已知函数f(x)=(1+x)e-2x,g(x)=ax++1+2xcosx.当x∈[0,1]时,(Ⅰ)求证:1-x≤f(x)≤;(Ⅱ)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.6.(2012年湖南高考文科试题)已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.(Ⅰ)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;(Ⅱ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x11exlnx+>1(xlnx+)ex>x;令g(x)=xlnx+(x)=1+lnxgmin(x)=g(e-1)=;只需证ec-1≥x,即ex≥x+1.2.解:(Ⅰ)当x>-1时,由f(x)≥(x+1)(1-e-x)≥xex≥x+1;(Ⅱ)当x≥0时,f(x)=1-e-x≥0≥f(x)≥0ax+1>0a≥0;由f(x)≤(ax+1)(1-e-x)≤x(e-x-1)(ax+1)+x≥0;令g(x)=(e-x-1)(ax+1)+x,则g(0)=0,(x)=e-x(a-1-ax)+1-a;①当0≤a≤时,由ex≥x+1-x≥1-ex(x)≥e-x[a-1+a(1-ex)]+1-a=(2a-1)(e-x-1)≥0g(x)≥g(0)=0;②当a>时,由e-x≥1-x-x≤e-x-1(x)=e-x(a-1-ax)+(1-a+ax)-ax≤(e-x-1)(a-1-ax)+a(e-x-1)=(e-x-1)(2a-1-ax)当x∈(0,)时,(x)<0g(x)x+1e2x>(x+1)2x(2x-1)-e2x0g(x)在(1,+∞)上单调递增;又gmin(x)=g(1)=-e-2,故当c<-e-2时,根的个数为0;当c=-e-2时,根的个数为1;当c>-e-2时,根的个数为2.4.解:(Ⅰ)由f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)(x)=2x+a,(x)=ex(cx+c+d);由曲线y=f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2f(0)=g(0)=2,(0)=(0)=4b=d=2,a=c+d=4a=4,b=2,c=2,d=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1);①当x=-1时,f(x)≤kg(x)成立;②当x>-1时,f(x)≤kg(x)k≥;由ex≥x+1≤=1(当且仅当x=0时,取等号)k≥1;③当-2≤x<-1时,f(x)≤kg(x)k≤;令h(x)=,则(x)=->0hmin(x)=h(-2)=e2k≤e2.综上,k的取值范围是[1,e2].5.解:(Ⅰ)当x∈[0,1]时,由1-x≤f(x)1-x≤(1+x)e-2x(1+x)e-x≥(1-x)ex;令h(t)=(1-t)et,t∈[-1,1],则(t)=-tet;①当t∈[0,1]时,(t)≤0h(x)≤h(0)=1;②当t∈[-1,0]时,(t)≥0h(-x)=h(t)≥h(0)=1h(-x)≥h(x)(1+x)e-x≥(1-x)ex1-x≤f(x);又由f(x)≤(1+x)e-2x≤(1+x)2≤e2xex≥x+1成立;(Ⅱ)①当x=0时,f(x)≥g(x)恒成立;②当x∈(0,1]时,f(x)≥g(x)a≤e-2e---2cosx;由(Ⅰ)知(1+x)e-2x>1-xe-2e---2cosx>---2cosx=-3-+4sin2=-3+4(sin2-)≥-3a≤-3.6.解:(Ⅰ)注意到f(0)=1,所以,f(x)≥1f(x)≥f(0)当x=0时,f(x)取得最小值;由(x)=ex-a=0x=lna=0a=1a的取值集合为{1};(Ⅱ)由k==-a,所以,(x0)=ke-a=-a(x2-x1)e-。