山东政法学院教案模版授课时间 十一周 第 2 次课授课章节5.3 代数系统的同态与同构任课教师及职称唐新华讲师教学方法与手段板书和电子课件结合课时安排2课时使用教材和主要参考书1、教材：耿素云等，离散数学，清华大学出版社，20082.参考书左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006教学与目的要求：了解子代数和积代数的基本概念教学重点、难点:重点：子代数和积代数的基本概念和性质难点：子代数和积代数的性质教学内容:5.3 代数系统的同态与同构一、本节主要内容同态映射的定义同态映射的分类单同态、满同态、同构自同态同态映射的性质二、教学内容同态映射的定义定义 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 ∘ 和 *是二元运算. f: S1®S2, 且"x,yÎS1, f (x∘y) = f(x) *f( y), 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态. 更广泛的同态映射定义定义 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 ∘和 *是二元运算. f: S1®S2, 且"x,yÎS1 f (x ∘ y) = f(x) * f(y) , f (x ∙ y) = f(x) ◊ f(y)则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态. 设 V1=和 V2=是代数系统，其中∘ 和 * 是二元运算. ∆ 和 ∇是一元运算， f: S1®S2, 且"x,yÎS1 f (x∘y)=f(x)*f(y), f (x∙y)=f(x)◊f(y), f (∆ x)=∇f(x) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.例 V1=，V2=，Zn={0,1, … , n-1}, Å是模 n 加. 令 f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n 则 f 是V1到 V2 的同态. "x, y∈Z有 f(x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n Å (y)mod n = f(x) Å f(y)例 V1=，V2= f ： R ® R＋, f(x)=ex例题例1 V=, 判断下面的哪些函数是V 的自同态？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= -x (6) f(x)=x+1解 (2) , (5), (6) 不是自同态. (1) 是同态， f(x×y) = |x×y| = |x| ×|y| = f(x) ×f(y) (3) 是同态， f(x×y) = (x×y)2 = x2 ×y2 = f(x) ×f(y) (4) 是同态， f(x×y) = 1/(x×y) =1/x ×1/y = f(x) ×f(y) 特殊同态映射的分类f 为V1=到 V2=的同态，则1. < f (S1),*>是V1在f下的同态像，2.同态映射f如果是单射，则称为单同态；3.如果f是满射，则称为 满同态， 记作 V1~V2；4. 如果f是双射，则称为 同构，也称代数系统 V1 同构于V2，记作 V1@V2 . 5. 对于代数系统 V，它到自身的同态称为自同态. 类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构. 同态映射的实例例2 设V=，"aÎZ，令 fa：Z®Z，fa(x)=ax那么 fa是V的自同态. 因为"x,yÎZ，有 fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y) 当 a = 0 时称 f0为零同态；当a=±1时，称 fa为自同构；除此之外其他的 fa 都是单自同态. 例3 设V1=, V2= ，其中Q*= Q-{0}，令 f ：Q®Q*, f(x)=ex 那么 f 是V1到V2的同态映射，因为"x, yÎQ有 f(x+y) = ex+y = ex×ey = f(x) × f(y). 不难看出 f 是单同态. 例4 V1=，V2=，Zn={0,1, … , n-1}, Å是模 n 加. 令 f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n则 f 是V1到 V2 的满同态. "x, y∈Z有 f(x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n Å (y)mod n = f(x) Å f(y)同态映射的实例（续）例5 设 V=，可以证明恰有 n 个G 的自同态， fp：Zn→Zn, fp (x) = (px)mod n，p = 0,1, … , n-1例如 n = 6, 那么 f0为零同态,同态像是<{ 0, Å} > ； f1与 f5为同构； f2 与 f4的同态像是<{ 0, 2, 4 }, Å > ； f3 的同态像是<{ 0, 3, Å} > . 定义：设 V1=和 V2=是代数系统，其中 ∘ 和 *是二元运算. k1是S1的代数常数， k2是S2的代数常数，f: S1®S2, 如果满足（1） "x,yÎS1, f (x∘y) = f(x) *f( y), （2） f(k1)＝ k2 则称 f 为V1到 V2 的同态例 V1=，V2=，Zn={0,1, … , n-1}, Å是模 n 加. 令 f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n "x, y∈Z有 f(x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n Å (y)mod n = f(x) Å f(y) 同时，f(0)= 0同态映射保持运算的算律设V1,V2是代数系统. o,∗是V1上的二元运算，o’,∗’是V2上对应的二元运算，如果 f： V1®V2是同态，那么 (1)若o运算是可交换的（可结合、幂等的），则o’运算也是可交换的（可结合、幂等的）. (2) 若o运算对∗运算是可分配的，则o’运算对∗’运算也是可分配的；若o 和∗运算是可吸收的，则 o’和∗’运算也是可吸收的。
同态映射保持运算的特异元素(3) 若e为o 运算的幺元，则 f(e)为o’运算的幺元.(4) 若 q为o 运算的零元，则 f(q) 为o’运算的零元.(5) 设 uÎV1，若 u-1 是 u 关于o运算的逆元，则 f(u-1) 是 f(u)关于o’运算的逆元同态映射的性质例题证 假设 f 是 V2 到 V1 的同构，那么有f：V2→V1， f(1)=0. 于是有 f(-1)+f(-1) = f((-1)(-1))= f(1)=0从而 f(-1)=0，又有 f(1)=0，这与 f 的单射性矛盾. 复习思考题、作业题：设 V=，可以证明恰有 n 个G 的自同态， fp：Zn→Zn, fp (x) = (px)mod n，p = 0,1, … , n-1下次课预习要点：习题课6.1半群与群6.1.1半群独异点和群的一般概念6.1.2元素的阶6.1.3群的性质6.1.4子群实施情况及教学效果分析:院系部审核意见: 院系部负责人签字 年 月 日。
