极限思想的产生和发展 极限的产生发展和应用范文.docx

极限思想的产生和发展 极限的产生发展和应用 　　微积分的建立跟极限思想的发展有着十分密切的联系自进入16世纪之后，欧洲就处于资本主义的萌芽时期，极大地发展了自身的生产力于是，在生产以及科学技术等方面均出现了许多诸如变力做功问题、最值问题、曲线的切线问题、力学中的速度问题等关于变量的问题这些问题已经不再是初等数学能够解决的，解决它们所需要的是全新的数学思想、数学方式方法等，必须要成功突破传统的常量研究范围，开发出可以用于对运用以及变化过程进行研究描述的新工具同时，这些问题的出现为发展极限思想提供了良好契机 　　一、产生极限思想　　所有科学的思想方法均是源自人们对于社会实践的体验以及总结，极限思想也不例外极限思想的产生可以追根溯源到古代，在我国，极限思想于春秋战国时期就已萌芽，然而纵观史料，极限思想被局限于哲学的领域，并没有被运用到数学当中去，于是应用极限的方法对数学问题进行研究就更是无从谈起一直到后来的公元3世纪，我国魏晋时期的著名数学家刘徽对《九章算术》进行注释，并在其中创设出了“割圆术”刘徽的极限思想是这样表述的：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失”因此，刘徽是在数学领域运用极限思想的第一人。

这种关于无限接近的思想正是后来极限概念得以建立的重要基础　　刘徽所创设的“割圆术”是对原始极限思想的一种有效运用在古希腊有着一种穷竭法，这其中也包含了极限的思想，但是希腊人对于极限是相当恐惧的，所以他们并不会明显地去求极限，而是依据归谬法这一间接的证明法完成对极限相关思想的论证直到16世纪荷兰的数学家斯泰文在对三角形的重心这一问题进行研究时对古希腊人的穷竭法做出改进，他思考问题所采用的是几何直观，并合理运用极限思想，撇开了对归谬法的运用因此，极限在斯泰文的研究之下演变成了一个实用的概念　　二、发展极限思想　　微积分的建立对极限思想的深层次发展起到了一定程度的促进作用最初，莱布尼茨、牛顿建立微积分所依据的是无穷小这一概念，但是后面遭遇了逻辑难题，因而在他们研究的晚期，他们都对极限思想有一定程度的接受牛顿研究极限概念的基础是几何直观，所以他并不能成功求得严格的关于极限的表达　　正因为在当时没有对极限进行严格的定义，一部分人才会对微积分理论产生怀疑甚至是进行攻击在这些对微积分理论进行攻击的人当中，英国大教主、哲学家贝克莱的态度最为强烈，他甚至认为推导微积分是“分明的诡辩”贝克莱对于微积分理论的攻击之所以会如此强烈，是因为两个主要的原因：第一，贝克莱是服务于宗教的；第二，微积分在当时并没有建立牢固的理论基础，即便是牛顿也不能够摆脱面对极限概念的混乱。

这一事实充分证明，理清极限的概念，构建微积分严格的理论基础，不仅仅是数学本身所必须的，而且对于极限思想的发展也具备十分重要的意义　　三、完善极限思想　　要想发展并完善极限思想，就离不开微积分理论的严格化在相当长的一段时期里，很多人都尝试着去解决微积分的理论基础这一难题，但是取得的效果并不理想这主要是因为数学的研究对象已经被扩大了，不仅包括常量，还有变量，而人们并不十分清楚变量数学所具备的特殊规律与此同时，人们还没有完全理解常量数学跟变量数学之间的异同，没有明确无限跟有限之间的对立统一关系这样一来，人们习惯使用的对常量数学进行处理的思想方法已经不能跟变量数学的新要求相适应，只采用旧的概念就无法说明“非零”跟“零”之间相互转化的辩证关系　　第一个运用极限思想对导数进行正确定义的人是捷克的著名数学家波尔查诺，他的这一思想是有着具体的价值的，然而对于极限的本质问题波尔查诺依然没有清楚的表述一直到19世纪，法国的著名数学家柯西以前人的工作经验及成果为基础，对极限的概念以及它的理论进行了较为完整的论述，即：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值。

特别地，当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”柯西将无穷小看做一个变量，且这一变量的极限值是0，这就使得关于对无穷小的“似零非零”的模糊认识进行了澄清换句话说，就是指变量在变化的过程当中是趋近于零的，但它的值是非零，只是无限地与零接近　　柯西坚持研究，致力于将存在于极限概念当中的几何直观消除，以得出明确的极限的定义然而，柯西的论述里还有诸如“要多小就多小”、“无限趋近”等描述性的字词存在，所有依然没有完全消除物理以及几何直观的痕迹，没能够成功实现彻底的严密　　为了将极限概念当中存在的直观痕迹彻底排除，维尔斯特拉斯提出了静态的关于极限的定义，为微积分理论奠定了坚实的基础所谓an=A的含义就是如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an-A| 5。