连续系统的频域分析1ppt课件.ppt

第四章第四章 傅立叶变换和系统的频域分析傅立叶变换和系统的频域分析 电气工程师们总是习惯于通过频谱考虑信号的问电气工程师们总是习惯于通过频谱考虑信号的问题，通过频率响应考虑系统的问题我们都知道音频题，通过频率响应考虑系统的问题我们都知道音频信号中可以听到的部分大约有信号中可以听到的部分大约有20KHz20KHz的带宽，高质量的的带宽，高质量的音响需要对高达音响需要对高达20KHz20KHz的频域信号做出响应的频域信号做出响应 这基本上都是在频域中思考问题尤其在通信领这基本上都是在频域中思考问题尤其在通信领域更要从频域思考问题域更要从频域思考问题 因而，本章我们要从时域转换到频域，介绍信号因而，本章我们要从时域转换到频域，介绍信号的频域表示，系统的频率特性，以及信号通过系统后的频域表示，系统的频率特性，以及信号通过系统后的响应〔零状态〕频域表示的响应〔零状态〕频域表示激励信号激励信号信号频域表示信号频域表示系统的冲激响应系统的冲激响应响应信号响应信号(零状态）零状态）系统频域表示系统频域表示响应频域表示响应频域表示频域分析频域分析时域分析时域分析. 第二、三章分别讨论了连续时间系统和离散时第二、三章分别讨论了连续时间系统和离散时间系统的时域分析。

以冲激函数或单位序列为基本间系统的时域分析以冲激函数或单位序列为基本信号，任意信号可分解为一系列冲激函数或单位序信号，任意信号可分解为一系列冲激函数或单位序列，而系统的响应〔零状态〕是输入信号与系统冲列，而系统的响应〔零状态〕是输入信号与系统冲激响应或单位序列响应的卷积激响应或单位序列响应的卷积其中其中h(t)h(t)或或h(k)h(k)反映了系统的特性反映了系统的特性 第四、五、六章将分别讨论连续时间系统和离散第四、五、六章将分别讨论连续时间系统和离散时间系统的变换域分析时间系统的变换域分析 变换域分析的基本思想：将复杂信号分解为基本变换域分析的基本思想：将复杂信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求出系统对基本信号的响信号之和或积分的形式，再求出系统对基本信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应〔零状态响应）应，从而求出系统对给定信号的响应〔零状态响应） (虚指数函数虚指数函数) )为基本信号为基本信号 它是以正弦函数或它是以正弦函数或任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数之和虚指数函数之和。

任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数积分指数函数积分 本章着重讨论连续时间信号的傅立叶变换和连续本章着重讨论连续时间信号的傅立叶变换和连续系统的频域分析系统的频域分析 .具有一定幅度和相位，角频率为具有一定幅度和相位，角频率为 的虚指数函数的虚指数函数作用于作用于LTILTI连续系统时，所引起的响应连续系统时，所引起的响应( (零状态响应零状态响应) )是同是同频率的虚指数函数，可表示为：频率的虚指数函数，可表示为：系统的影响表现为频率响应函数系统的影响表现为频率响应函数，它是信号角，它是信号角频率频率 的函数，而与时间的函数，而与时间t t无关，用于系统分析的独立变无关，用于系统分析的独立变量为量为 ，故称之为频域分析故称之为频域分析可推出：可推出：.本章的主要内容本章的主要内容: :4.14.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数 4.24.2傅里叶级数傅里叶级数 4.34.3周期信号的频谱周期信号的频谱 4.44.4非周期信号的频谱非周期信号的频谱------傅里叶变换傅里叶变换4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 4.64.6能量谱和功率谱能量谱和功率谱4.74.7周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 4.9 4.9 取样定理〔模拟信号数字化传输的理论基础）取样定理〔模拟信号数字化传输的理论基础）4.104.10序列的傅立叶分析序列的傅立叶分析4.114.11离散傅立叶变换及其性质离散傅立叶变换及其性质连续时间信连续时间信号的频域表号的频域表示示------信号信号的分解的分解. ..§§ 4.1 4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、正交函数集一、正交函数集二、信号分解为正交函数二、信号分解为正交函数. 为各相应方向的正交单位矢量。

为各相应方向的正交单位矢量 它们组成一个二维正交矢量集它们组成一个二维正交矢量集 矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合 信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似矢量的概念相似（（2〕〕正正交交函函数数集集 在在区区间间 上上的的n个个函函数数〔〔非非零零）） …… ,其中任意两个均满足其中任意两个均满足 为常数，则称函数集为常数，则称函数集 为区间为区间 内的正交函数集内的正交函数集1〕正交函数〕正交函数 在在 区间上定义的非零实函数区间上定义的非零实函数 和和 若满足条件若满足条件 则函数则函数 与与 为在区间为在区间 的正交函数。

的正交函数一、正交函数集一、正交函数集.（（3〕完备正交函数集〕完备正交函数集之外不存在函数之外不存在函数 如果在正交函数集如果在正交函数集 满足等式满足等式 ，则称该函数集为完备正交函数集则称该函数集为完备正交函数集 在区间在区间 内组成完备正交函数集内组成完备正交函数集这时因为：这时因为：称为三角函数集称为三角函数集在区间在区间 内组成完备正交函数集内组成完备正交函数集对于所有的对于所有的m和和n对于复函数对于复函数:若复函数集若复函数集 在区间在区间 满足满足 ，则称此复函数集为正交函数集则称此复函数集为正交函数集 复函数集复函数集 在区间在区间 内是完备的正交函数集内是完备的正交函数集 其中其中 因为：因为：.二、信号分解为正交函数二、信号分解为正交函数设有设有n个函数个函数 在区间在区间 构成构成一个正交函数空间。

将任一函数一个正交函数空间将任一函数 用这用这 个正交函数的个正交函数的线性组合来近似，可表示为：线性组合来近似，可表示为： 在在中中,为求得使均方误差最小的为求得使均方误差最小的第第 个系数个系数 ,必须使必须使由此推得由此推得: .式中：式中：这是满足最小均方误差的条件下各系数的表达式这是满足最小均方误差的条件下各系数的表达式如果分解的项数越多则误差愈小即如果分解的项数越多则误差愈小即 ，均，均方误差方误差 ，即，即 在区间在区间 内分解为无穷多项内分解为无穷多项之和§ 4.2 傅里叶傅里叶级数数 将周期信号将周期信号 在区间在区间 内展开成完内展开成完备正交信号空间中的无穷级数如果完备的正交函数集备正交信号空间中的无穷级数如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数〞或三角型傅里叶级数〞或“指数型指数型傅傅里叶级数里叶级数”，统称为傅里叶级数统称为傅里叶级数 三角函数集三角函数集指数函数集指数函数集.一、周期信号的分解一、周期信号的分解二、奇、偶函数的傅里叶系数二、奇、偶函数的傅里叶系数三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式.一、周期信号的分解一、周期信号的分解设有一个周期信号设有一个周期信号 ，它的周期是，它的周期是 ，角频率，角频率 ，它可分解为：，它可分解为：其中其中 称为傅里叶系数，称为傅里叶系数， 。

那么那么,傅里叶系数如何求得呢傅里叶系数如何求得呢?式中：式中：.由上式可见，由上式可见， 是是 的偶函数的偶函数 ，， 是是 的奇函数，的奇函数， 由于由于是同频率项是同频率项,因此可将其合并因此可将其合并.得到三角型傅里叶级数的简洁形式得到三角型傅里叶级数的简洁形式式中：式中： 则有则有 可见，可见， 是是 的偶函数，即有的偶函数，即有 而而 是是的奇函数，即有的奇函数，即有 . 一般任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直一般任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直流分量流分量 ;一次谐波或基波一次谐波或基波 ，它的角，它的角频率与原周期信号相同频率与原周期信号相同;二次谐波二次谐波 ，， 依此类推，三次，四次等谐波依此类推，三次，四次等谐波 一般而言一般而言 称为称为 次谐波次谐波 ，， 是是 次谐波的振幅，次谐波的振幅， 是其初相角。

是其初相角 **结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和例例4.2-1 将下图中的方波信号展开为傅里叶级数将下图中的方波信号展开为傅里叶级数解：解： ...它仅含有一、三、五、七它仅含有一、三、五、七.... 等奇次谐波分量等奇次谐波分量如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：.TT/ 20t(a)基基波波0T/ 2Tt(b)基波基波+三次谐波三次谐波0T/ 2Tt(c)基波基波+三次谐波三次谐波+五次谐波五次谐波0T/ 2Tt(c)基波基波+三次谐波三次谐波+五次谐波五次谐波+七次谐波七次谐波图图 4.2-3 方波的组成方波的组成.（（1〕〕级级数数所所取取项项数数愈愈多多，，合合成成波波形形〔〔除除间间断断点点外外〕〕愈愈接近于原方波信号接近于原方波信号,其均方误差越小其均方误差越小2〕〕级级数数所所取取项项数数愈愈多多，，在在间间断断点点附附近近，，尖尖峰峰愈愈靠靠近近间间断点3〕即便〕即便 ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有有 的偏差。

但在均方的意义上合成波形同原方波的的偏差但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别真值之间没有区别 (吉布斯现象）吉布斯现象）低频成分低频成分---合成波形的主体轮廓合成波形的主体轮廓高频成分高频成分---合成波形的细节部分合成波形的细节部分若若给给定定的的 有有某某些些特特点点，，那那么么，，有有些些傅傅里里叶叶系系数数将将等于零从而式计算较为简便等于零从而式计算较为简便1）） 为偶函数为偶函数则有则有 ，波形对称于纵坐标波形对称于纵坐标 二、奇偶函数的傅里叶系数二、奇偶函数的傅里叶系数.因而因而 .（（2）） 为奇函数为奇函数则有则有 ，波形对称于原点波形对称于原点 因而因而.实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分其中其中奇函数部分奇函数部分偶函数部分偶函数部分.**一一个个函函数数是是奇奇函函数数还还是是偶偶函函数数不不仅仅与与其其波波形形有有关关，，而且与坐标原点的选择有关。

而且与坐标原点的选择有关信信号号横横坐坐标标上上下下移移动动会会影影响信号的响信号的 分量大小分量大小直流直流信信号号纵纵坐坐标标左左右右移移动动会会影影响响信信号号的的各各次次谐谐波波分分量量 的大小初相位初相位.假如假如 的前半周期波形移动的前半周期波形移动 后，与后半周期波形后，与后半周期波形对称于横轴即：对称于横轴即： ，称为奇谐函数称为奇谐函数 此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不含有偶次谐波分量即含有偶次谐波分量即 0t-TT-T/ 2f (t)T/ 21-1图 4.2-6 奇谐函数（（3）） 为奇谐函数为奇谐函数如例题中的方波信号就是奇谐函数如例题中的方波信号就是奇谐函数例例4.2-2 正正弦弦交交流流信信号号 经经全全波波或或半半波波整整流流后后的的波形分别如下图所示求它们的傅里叶级数展开式波形分别如下图所示求它们的傅里叶级数展开式a〕全波整流信号〕全波整流信号 （（b〕半波整流信号〕半波整流信号解解 （（1〕全波整流信号〕全波整流信号图〔图〔a〕的全波整流信号可写成〔其周期〕的全波整流信号可写成〔其周期 ，， 为原正弦信号角频率为原正弦信号角频率 ）） .由于它是由于它是t的偶函数，故的偶函数，故 ，， 令令 ，对上式进行变量替换得，对上式进行变量替换得:..可见，它除直流外，仅含有可见，它除直流外，仅含有 的偶次谐波。

的偶次谐波 .想一想：本题中若把想一想：本题中若把 f1(t)看成以看成以T/2为周期，那么为周期，那么.由于它仍是的偶函数，故由于它仍是的偶函数，故 ，，.令令 ，那么，那么 对上式进行变量替换对上式进行变量替换: ..（（2〕半波整流信号〕半波整流信号图〔图〔b〕的半波整流信号可写为〔其周期〕的半波整流信号可写为〔其周期 ））.它的傅里叶系数可直接由下式求出它的傅里叶系数可直接由下式求出....本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分：本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分： .全波整流全波整流半波整流半波整流.三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式将上式第三项中的将上式第三项中的 用用 代换，并考虑到代换，并考虑到 是是 的偶的偶函数，即函数，即 ；； 是是 的奇函数的奇函数, 即即 ，则，则上式可写为上式可写为 :.如将上式中的如将上式中的 写成写成 （其中（其中 ），），则上式可以写成则上式可以写成:.令复数量令复数量 ，称其为复傅里叶，称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。

其模为系数，简称傅里叶系数其模为 ，相角为，相角为 ，，则得傅里叶级数的指数形式为则得傅里叶级数的指数形式为 .复傅里叶系数复傅里叶系数 .这就是求指数形式傅里叶级数的复系数这就是求指数形式傅里叶级数的复系数 的公式 任意周期信号任意周期信号 可分解为许多不同频率的虚指数信号可分解为许多不同频率的虚指数信号 之和，其各分量的复数幅度〔或相量〕为之和，其各分量的复数幅度〔或相量〕为  与与 互为共轭互为共轭 与与 的关系三角型傅里叶级数：三角型傅里叶级数：物理含义：任意周期信号可以分解为许多不同频率物理含义：任意周期信号可以分解为许多不同频率的正弦函数之和的正弦函数之和指数型傅里叶级数：指数型傅里叶级数：物理含义：任意周期信号可以分解为许多不同频率的物理含义：任意周期信号可以分解为许多不同频率的虚指数函数之和虚指数函数之和考虑考虑:负频率的含义负频率的含义?.例例4.2-3 4.2-3 周期锯齿波信号如图所示，求该信号的指数型傅周期锯齿波信号如图所示，求该信号的指数型傅里叶级数。

里叶级数解：解：..复傅里叶系数复傅里叶系数 与与 ，， ，， 的关系〔书上的关系〔书上128页）页）.§§ 4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱一、一、 周期信号的频谱周期信号的频谱 如果将如果将 的关系绘成下面的线的关系绘成下面的线图，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及图，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱〔单边）各分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱〔单边）单边谱：单边谱：.（（a)单边幅度谱单边幅度谱* *每条竖线代每条竖线代表该频率分量表该频率分量的幅度，称为的幅度，称为谱线 *连接各谱线连接各谱线顶点的曲线称顶点的曲线称为包络线为包络线 (b) 单边相位谱单边相位谱包络线包络线谱线谱线.如果将如果将 的关系绘成下面的线图，的关系绘成下面的线图，同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱〔双边）。

分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱〔双边）双边谱：双边谱：.（（c〕双边幅度谱〕双边幅度谱(d) 双边相位谱双边相位谱*信号分解为信号分解为各虚指数函各虚指数函数，图中的数，图中的每一条谱线每一条谱线表示各分量表示各分量的幅度的幅度 （称为双边（称为双边幅度谱）幅度谱） 其中其中 周期信号频谱的共同特点周期信号频谱的共同特点 : :下面我们来看一下周期矩形脉冲信号的频谱下面我们来看一下周期矩形脉冲信号的频谱第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱谱或离散谱第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有波频率的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量的各次谐波分量nΩ ，而决不含有非，而决不含有非Ω的谐波分量的谐波分量第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随随nΩnΩ的变化有起伏变化，但总的趋势是随着的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩnΩ的的增大而逐渐减小。

当增大而逐渐减小当n→∞n→∞时，时， 二、二、 周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱 设有一幅度为设有一幅度为1，脉冲宽度为，脉冲宽度为 的周期性矩形脉的周期性矩形脉冲，其周期为冲，其周期为 ，求其复傅里叶系数求其复傅里叶系数图图 4.3-2 4.3-2 周期矩形脉冲周期矩形脉冲1.1.该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为： 下面我们画出周期性矩形脉冲信号的双边谱下面我们画出周期性矩形脉冲信号的双边谱---------取样函取样函数数 1.它是偶函数它是偶函数 2. 当当 时，时， 3.当当 时，函数值为时，函数值为0它是无限拖尾的衰减振荡它是无限拖尾的衰减振荡取样函数的特性取样函数的特性: :.图图4.3-3 4.3-3 周期矩形脉冲的频谱〔周期矩形脉冲的频谱〔T=4T=4 ））.第一个零点时谱线的序号：第一个零点时谱线的序号：零点的位置：零点的位置：相邻谱线的间隔：相邻谱线的间隔：第一个零点的位置：第一个零点的位置：. 周期性矩形脉冲信号的频谱具有一般周期信号频谱的共周期性矩形脉冲信号的频谱具有一般周期信号频谱的共同特点同特点 : :第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。

谱或离散谱第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有波频率的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量的各次谐波分量nΩ ，而决不含有非，而决不含有非Ω的谐波分量的谐波分量第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随随nΩnΩ的变化有起伏变化，但总的趋势是随着的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩnΩ的的增大而逐渐减小当增大而逐渐减小当n→∞n→∞时，时，|Fn|→0|Fn|→01、各谱线的幅度按包络线、各谱线的幅度按包络线 的规律变化的规律变化在在 各处，即各处，即 的各处，的各处，包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等于零2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说，、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说，它可分解为无限多个频率分量它可分解为无限多个频率分量周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 : : 通常把频率范围通常把频率范围 称为周期矩形脉冲称为周期矩形脉冲 信号的带宽，用符号信号的带宽，用符号 表示，即周期矩形脉冲信表示，即周期矩形脉冲信 号的频带宽度为号的频带宽度为 。

3、周期相同，脉冲宽度不同、周期相同，脉冲宽度不同,信号的频谱：信号的频谱： 谱线间隔不变，但零点位置变化谱线间隔不变，但零点位置变化 周期不同，脉冲宽度相同周期不同，脉冲宽度相同, 信号的频谱：信号的频谱： 零点位置不变，谱线间隔变化零点位置不变，谱线间隔变化 相邻谱线的间隔相邻谱线的间隔 零，周期信号的零，周期信号的 离散频谱离散频谱 非周期信号的连续频谱非周期信号的连续频谱见图见图见图见图.图图4.3-4 脉冲宽度与频谱的关系脉冲宽度与频谱的关系1/1602/4/Fnf (t)tT0=T/ 8f (t)tT0 =T/402/8/1/ 8Fn4/02/16/1/ 4Fn4/8/tT0=T/16f (t)返回返回.f (t)2TtT03T4TT=4f (t)2TtT0T=8f (t)tT0T=16f (t)t0T02/4/1/ 4Fn02/4//TFn02/4/1/16Fn02/4/1/ 8Fn图4.3-5  周期与频谱的关系返回返回.三三 周期信号的功率周期信号的功率周期信号是功率信号，归一化平均功率为周期信号是功率信号，归一化平均功率为 : :这是时域上的表达式。

这是时域上的表达式将将 的傅里叶级数展开式代入上式得：的傅里叶级数展开式代入上式得：下面我们来讨论频域上的表达式？下面我们来讨论频域上的表达式？. 将被积函数展开，在展开式中具有形式将被积函数展开，在展开式中具有形式 的余弦项，其在一个周期内的积分等于零；具有的余弦项，其在一个周期内的积分等于零；具有 • 形式的项，当形式的项，当 时，其积分值为零，对于时，其积分值为零，对于 的项，其积的项，其积分值为分值为 ，因此上式的积分为：，因此上式的积分为：.上式等号右端的第一项为直流功率，第二项为各次谐波的上式等号右端的第一项为直流功率，第二项为各次谐波的功率之和因而，周期信号的功率等于直流功率与各次谐功率之和因而，周期信号的功率等于直流功率与各次谐波功率之和波功率之和 由于由于 是是 的偶函数，且的偶函数，且 ，上式可改写为：，上式可改写为：.上两式称为帕斯瓦尔恒等式。

上两式称为帕斯瓦尔恒等式 它表明，对于周期信号，在时域中求得的信号功率与它表明，对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等在频域中求得的信号功率相等例例 4.3-1 4.3-1 试计算下图所示信号在频谱第一个零点以内各试计算下图所示信号在频谱第一个零点以内各分量的功率所占总功率的百分比分量的功率所占总功率的百分比 解解 ：： 由由上上图图可可求求得得信信号号 的的功功率：率：f (t)01-1-0.10.1 t1将将 展开为指数型傅里叶级数：展开为指数型傅里叶级数：.其频谱如下图所示，频谱的第一个零点在其频谱如下图所示，频谱的第一个零点在 ，，这时这时 0.2.根据式根据式在频谱第一个零点内的各分量的功率和为在频谱第一个零点内的各分量的功率和为: :即第一个零点以内各分量的功率占总功率的即第一个零点以内各分量的功率占总功率的 §§ 4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。

同趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系无穷小量之间仍保持一定的比例关系 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念 令令称称 为频谱密度函数为频谱密度函数一、傅里叶变换一、傅里叶变换..当周期当周期 趋近于无限大时，趋近于无限大时， 趋近于无穷小，取其趋近于无穷小，取其为为 ，而，而 将趋近于将趋近于 ，， 是变量，是变量，当当 时，它是离散值，当时，它是离散值，当 趋近于无限小时，它趋近于无限小时，它就成为连续变量，取为就成为连续变量，取为 ，求和符号改为积分求和符号改为积分 由式由式 ，， 可得可得如何求频谱密度函数？如何求频谱密度函数？.于于是是当当 时时，，式式成为成为（（1 1〕式称为函数〕式称为函数 的傅里叶变的傅里叶变换换 。

2〕式称为函数〕式称为函数 的傅里叶逆变换的傅里叶逆变换 称为称为 的频谱密度函数或频谱函数的频谱密度函数或频谱函数. 称为称为 的原函数的原函数 简记为简记为 ℱ.下面来看一下为什么称其为频谱密度函数？在讨论这下面来看一下为什么称其为频谱密度函数？在讨论这个问题时要用到性质中的奇偶性，所以我们先来看一个问题时要用到性质中的奇偶性，所以我们先来看一下频谱密度函数的实部，虚部，模，相角的奇偶性下频谱密度函数的实部，虚部，模，相角的奇偶性是是 的偶函数的偶函数是是 的奇函数的奇函数下面就来看一下为什么称其为频谱密度函数？下面就来看一下为什么称其为频谱密度函数？.上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分分量〞所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率量〞所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分分量量”由式可见，由式可见， 相当于相当于各各“分量〞的振幅，它是无穷小量。

分量〞的振幅，它是无穷小量 所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函数来表示类似于物质的密度是单位体积的质量，函数数来表示类似于物质的密度是单位体积的质量，函数 可看作是单位频率的幅度，称可看作是单位频率的幅度，称 为频谱密度函数为频谱密度函数例例4.4-1 下图所示为门函数〔或称矩形脉冲），用符号下图所示为门函数〔或称矩形脉冲），用符号 表示，其宽度为表示，其宽度为 ，幅度为，幅度为 求其频谱函数求其频谱函数0.解：解： 如图所示的门函数可表示为如图所示的门函数可表示为其频谱函数为其频谱函数为.图图 4.4-1 门函数及其频谱门函数及其频谱1.1.如如果果频频谱谱函函数数是是实实函函数数或或虚虚函函数数，，那那么么只只用用一一条条曲曲线线即即可可 为为负负代代表表相相位位为为 ，， 为正代表相位为为正代表相位为 00实偶实偶实偶实偶2.2.门函数的带宽门函数的带宽 ，脉冲宽度越窄，，脉冲宽度越窄，其占有的频带越宽。

其占有的频带越宽例例4.4-2 求下图所示的单边指数函数的频谱函数求下图所示的单边指数函数的频谱函数.0t图图 4.4-2 单边指数函数单边指数函数解解: : 将单边指数函数的表示式将单边指数函数的表示式 代入到式代入到式 中得：中得：..幅度谱和相位谱分别为：幅度谱和相位谱分别为：频谱图如下图所示：频谱图如下图所示： ()0- / 2 / 2(b) 相位频相位频谱谱图图 4.4-3 单边指数函数单边指数函数01/(a) 振幅频谱振幅频谱.例例 4.4-3 求下图所示双边指数信号的频谱函数求下图所示双边指数信号的频谱函数 et10tf1 (t)e-t解：上图所示的信号可表示为：解：上图所示的信号可表示为：或者写为或者写为.将将 代入到式代入到式 ，，可得其频谱函数为：可得其频谱函数为：.其频谱图如下所示其频谱图如下所示 ：：F1(j)02/实偶实偶实偶实偶et10tf1 (t)e-t.例例4.4-4 求下图所示信号的频谱函数。

求下图所示信号的频谱函数et10tf2 (t)e-t-1解解: : 上图所示的信号可写为上图所示的信号可写为 ：：（（其其中中 ) .-et10tf2 (t)e-t-1.其频谱图如下图所示：其频谱图如下图所示：X2()01/-1/实奇实奇虚奇虚奇-et10tf2 (t)e-t-1.二 奇异函数的傅里叶变换1 1、冲激函数的频谱、冲激函数的频谱 ℱ即单位冲激函数的频谱是常数即单位冲激函数的频谱是常数 ，如下图所示其频，如下图所示其频谱密度在区间谱密度在区间 处处相等，常称为处处相等，常称为“均匀均匀谱谱”或或“白色频谱白色频谱” 0t (t )01F(j)(a)(b)图图 4.4-6 单位冲激函数的频谱单位冲激函数的频谱.2 2、冲激函数导数的频谱、冲激函数导数的频谱 根据定义根据定义, ,冲激函数一阶导数的频谱函数为冲激函数一阶导数的频谱函数为 ：：ℱ按冲激函数导数的定义按冲激函数导数的定义 ：：即即 ℱ同理可得同理可得ℱ.3 3、、 单位直流信号的频谱单位直流信号的频谱幅度等于幅度等于1 1 的直流信号可表示为：的直流信号可表示为：显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换却存在。

它可以看作是函数却存在它可以看作是函数 当当 时的极限时的极限 则直流信号的频谱函数也应则直流信号的频谱函数也应是是 的频谱函数的频谱函数 当当 时的极限时的极限 0et1tf1 (t)e-t.所以所以 当当 趋近于零时趋近于零时我们已经知道我们已经知道 的频谱函数为：的频谱函数为：.f1 (t)0t1234(a)432102 ()(b)图4.4-7  求       [1]的极限过程ℱ02 ()(b)0t1(a)图 4.4-8 直流信号的频谱.4、符号函数的频谱、符号函数的频谱 符号函数定义为符号函数定义为显然显然, ,该函数也不满足绝对可积条件该函数也不满足绝对可积条件 函数函数 可看作函数：可看作函数：当当 时的极限时的极限则它的频谱函数也是则它的频谱函数也是 的频谱函数的频谱函数 ，当，当 时的极限。

时的极限 我们已知我们已知 的频谱函数为：的频谱函数为：它是它是 的奇函数，在的奇函数，在 处处 因而，当因而，当 趋近于零时，有趋近于零时，有 ：：.于是得于是得ℱ它在它在 处的值等于零处的值等于零0tSgn(t)1-1(a)X()0(b) 图 4.4-9  sgn(t)及其频谱.5、阶跃函数的频谱、阶跃函数的频谱 ℱℱℱ. 图 4.5-11  (t)及其频谱0 ()R()X()0R() ()-1/ X()0-1/ 1/ 20t10t1/ 20t-1/ 21/ 2 Sgn(t)其频谱的实部和虚部分别为其频谱的实部和虚部分别为: : 频谱的虚部是频谱的虚部是 的奇函数，在的奇函数，在 处其值等于零处其值等于零 .附录五列出了常用信号的傅里叶变换附录五列出了常用信号的傅里叶变换作业：作业：.§ 4.5   傅里叶变换的性质 任一信号可以有两种描述方法：任一信号可以有两种描述方法：时域的描述时域的描述频域的描述频域的描述 本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一域中所引起的效应。

域中所引起的效应 为简便，用为简便，用 表示时域与频域表示时域与频域之之间的对应关系，即间的对应关系，即 ℱ.一、 线性 假设假设则对于任意常数则对于任意常数 和和 ，有，有傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况 .线性性质有两个含义：线性性质有两个含义： 1 1、齐次性、齐次性 它表明，若信号它表明，若信号 乘以常数乘以常数 （即（即信号增大信号增大 倍），则其频谱函数也乘以相同的常数倍），则其频谱函数也乘以相同的常数 （则其（则其频谱频谱函数也增大函数也增大 倍）；倍）； 2、可加性、可加性 它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信 号的频谱函数之和号的频谱函数之和二、 奇偶性下面研究时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。

下面研究时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系 假如假如 是时间是时间 的实函数，那么根据：的实函数，那么根据： .其中频谱函数的实部和虚部分别为：其中频谱函数的实部和虚部分别为：频谱函数的模和相角分别为：频谱函数的模和相角分别为：1、假设、假设 f(t) 是时间是时间 t 的实函数，则频谱函数的实函数，则频谱函数 的的实部实部 是角频率是角频率 的偶函数，虚部的偶函数，虚部 是角频率是角频率 的奇函数，的奇函数， 是是 的偶函数，的偶函数， 是是 的奇函的奇函数2、假如、假如 是时间是时间 的实函数，并且是偶函数，那的实函数，并且是偶函数，那么么 频谱函数频谱函数 等于等于 ，它是，它是 的实偶函数的实偶函数 3、假如、假如 是时间是时间 的实函数，并且是奇函数，那么的实函数，并且是奇函数，那么 频谱函数频谱函数 等于等于 ，它是，它是 的虚奇函数。

的虚奇函数 .4、、 的傅里叶变换的傅里叶变换ℱ令令 ，得，得ℱ考虑到考虑到 是是 的偶函数，的偶函数， 是是 的奇函数，的奇函数，故：故：ℱ假设假设 f(t) 是时间是时间 t 的实函数的实函数.将以上结论归纳起来是：将以上结论归纳起来是： 假假如如 是是 的的实实函函数数，，且设且设则有〔则有〔1 1）） （（2）） （（3）） .假如假如 是是 的虚函数，则有的虚函数，则有（（1）） （（2）） .三、 对称性假假设设 那那么么 证明证明: : 傅里叶逆变换式傅里叶逆变换式将将上上式式中中的的自自变变量量 换换为为 ，得，得将将上上式式中中 的的换换为为 ，，将将原原有有的的 换换为为 ，得，得上式表明，时间函数上式表明，时间函数 的傅里叶变换为的傅里叶变换为 。

.例如，时域冲激函数例如，时域冲激函数 的傅里叶变换为的傅里叶变换为频域的频域的常数常数 ；由对称性可；由对称性可得，时域的常数得，时域的常数 的傅里叶变换为的傅里叶变换为 ，由于，由于 是是 的偶函数，故有的偶函数，故有.例例4.5-1 4.5-1 求取样函数求取样函数 的频谱函数的频谱函数 解解: : 我我们们已已知知，，宽宽度度为为 ，，幅幅度度为为 的的门门函数函数 的的频频谱谱函函数数为为 ，即，即 取取 ，即，即 那么：那么：根据傅里叶变换的对称性质根据傅里叶变换的对称性质: : .其波形如下图所示其波形如下图所示 ：：1/2 g2(t)01/2 t1-1Sa()01-11g2()0Sa(t) t01图图 4.5-1 函数函数 Sa(t) 及其频谱及其频谱.例例4.5-2 求函数求函数 和和 的频谱函数。

的频谱函数解解 （（1〕函数〕函数我们已知我们已知 ：：由对称性并考虑到由对称性并考虑到 是是 的奇函数，可得：的奇函数，可得：.由对称性并考虑到由对称性并考虑到 ，得，得 根据线性性质，时域频域分别乘以根据线性性质，时域频域分别乘以 得：得：（（2〕函数〕函数我们已知：我们已知： .四、四、 尺度变换〔时频展缩）尺度变换〔时频展缩）尺度变换特性为尺度变换特性为 ：假设：假设 上式表明，若信号上式表明，若信号 在时间坐标上压缩到原来在时间坐标上压缩到原来的的 ，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽 倍，同时其幅度减小到原来的倍，同时其幅度减小到原来的 ,称为尺度变称为尺度变换换特性或时频展缩特性特性或时频展缩特性 则对于实常数则对于实常数 ，有，有 .2/-2/0图 4.5-2  尺度变换00.证明：证明：设设 ，则展缩后的信号，则展缩后的信号 的傅里叶的傅里叶变换为变换为:ℱℱ令令 ,那那么么 , ,当当 时时.当当 时时 :ℱ若令若令 ，得，得.五、五、 时移特性〔延时特性）时移特性〔延时特性） 假假设设且且 为常数，则有为常数，则有:上式表示，在时域中信号沿时间轴右移〔即延上式表示，在时域中信号沿时间轴右移〔即延时时 ），其在频域中所有频率），其在频域中所有频率“分量〞相应落分量〞相应落后一相位后一相位 ，而其幅度保持不变。

而其幅度保持不变 .ℱ令令 ，则上式可以写为，则上式可以写为 同理可得：同理可得： ℱ证证明明：：假假设设 ，，则则延延迟迟信信号号的的傅傅里里叶叶变变换换为为ℱ.如果信号既有时移又有尺度变换则有：如果信号既有时移又有尺度变换则有： 设设 和和 为实常数，且为实常数，且 ..例例4.5-3 如下图〔如下图〔a〕所示的函数是宽度为〕所示的函数是宽度为 的门函数的门函数,即即 其其傅傅里里叶叶变变换换 ，，求图〔求图〔b〕和〔〕和〔c〕中函数〕中函数 和和 的傅里叶变换的傅里叶变换解解 （（1〕图〔〕图〔b〕中函数〕中函数 可写为：可写为：根据傅里叶变换的线性和时移特性可得根据傅里叶变换的线性和时移特性可得 的傅里叶变换：的傅里叶变换：.（（2〕图〔〕图〔c〕中的函数〕中的函数 是是 的压缩，可写为：的压缩，可写为：由尺度变换性质：由尺度变换性质：.显然显然 也可写为也可写为 ：：由时移特性可得到相同的结果。

由时移特性可得到相同的结果 .例例4.5-4 若有若有5个相同的脉冲，其相邻间隔为个相同的脉冲，其相邻间隔为T，如图，如图所示，求其频谱函数所示，求其频谱函数 T0t1T- 2T2TT=4n=5解：设位于坐标原点的单个脉冲表示式为解：设位于坐标原点的单个脉冲表示式为 ，其，其频谱函数为频谱函数为 ，则图中的信号可表示为：，则图中的信号可表示为：根据线性和时移特性，它的频谱函数为：根据线性和时移特性，它的频谱函数为：.上式为等比数列，利用等比数列求和公式及欧拉公上式为等比数列，利用等比数列求和公式及欧拉公式得：式得： .当当 （（m=0，， 1，， 2，，）时，）时，也也就就是是说说，，在在 处处 ，，其其频频谱谱函函数数的的幅幅度度是是 的的5倍倍，，这这是是由由于于在在这这些些频频率率处处,5个个单单个个脉脉冲冲的的各各频频率率“分分量〞同相的缘故量〞同相的缘故另外，当另外，当 （（m为整数，但不等于为整数，但不等于5的倍数〕时的倍数〕时，式中分子为零，从而，式中分子为零，从而 ，这是由于，这是由于5个单脉冲个单脉冲的各频率的各频率“分量分量“相互抵消的缘故。

相互抵消的缘故图图4.5-4 5个矩形脉冲的频谱个矩形脉冲的频谱4/T-2/T6/T2/T2/0. 当脉冲个数无限增多时〔这时就成为周期信号），当脉冲个数无限增多时〔这时就成为周期信号）， 则除则除 的各谱线外，的各谱线外， 其余频率其余频率“分量〞均等于零，从而变成离散谱分量〞均等于零，从而变成离散谱 由图可见，当多个脉冲间隔为由图可见，当多个脉冲间隔为T重复排列时，重复排列时，信号的能量将向信号的能量将向 处集中，在该频率处集中，在该频率处频谱函数的幅度增大，而在其他频率处幅度处频谱函数的幅度增大，而在其他频率处幅度减小，甚至等于零减小，甚至等于零2/4/T-2/T6/T2/T0. 一般，若有一般，若有N个波形相同的脉冲〔个波形相同的脉冲〔N为奇数，中为奇数，中间一个，即第间一个，即第 个位于原点），其相邻间隔为个位于原点），其相邻间隔为T，则其频谱函数为，则其频谱函数为 : 式中式中 为单个脉冲的频谱函数。

为单个脉冲的频谱函数六、六、 频移特性频移特性 上式表明上式表明: :将信号将信号 乘以因子乘以因子 , ,对应对应于将频谱于将频谱函数沿函数沿 轴右移轴右移 ; ;将信号将信号 乘以因乘以因子子 , ,对对应于将频谱函数沿应于将频谱函数沿 轴左移轴左移 频移特性也称为调制特性它可表述为频移特性也称为调制特性它可表述为: :假假设设 且且 为为常常数数，，那么那么.证明证明: :同理同理: :.根据时移特性：根据时移特性： 根据尺度变换，令根据尺度变换，令 ，得，得 再由频移特性得再由频移特性得 例例4.5-5 如如已已知知信信号号 的的傅傅里里叶叶变变换换为为 ，，求信号求信号 的傅里叶变换的傅里叶变换解解:按按 的顺的顺序求它们的序求它们的 傅里叶傅里叶 变换。

变换 . 频移特性在通信系统中应用广泛，如调幅，同步解频移特性在通信系统中应用广泛，如调幅，同步解调、混频等都是在频谱搬移基础上实现的实现频谱搬调、混频等都是在频谱搬移基础上实现的实现频谱搬移的原理如下图所示：移的原理如下图所示： .它是将信号它是将信号 （常称为调制信号〕乘以所谓载频信号（常称为调制信号〕乘以所谓载频信号 或或 ，得到高频已调信号，得到高频已调信号 ，即，即显显然然，，若若信信号号 的的频频谱谱为为 ，，则则高高频频已已调调信信号号 或或 的频谱函数为：的频谱函数为：.例例如如，，假假设设 是是幅幅度度为为 的的门门函函数数 ，那么，那么.010(a) 门函数及其频门函数及其频谱谱图图 4.5-6 高频脉冲的频谱高频脉冲的频谱(b) 高频脉冲及其频谱高频脉冲及其频谱0 /201 /2- /2.七七 卷积定理卷积定理时域卷积定理时域卷积定理假假设设 频域卷积定理频域卷积定理 假假设设 那那么么 式中式中 那那么么 .例例4.5-7 求斜升函数求斜升函数 和函数和函数 的频谱函数。

的频谱函数解解: （（1）） 的频谱函数的频谱函数我们已知我们已知 根据频域卷积定理，可得根据频域卷积定理，可得 的频谱函数的频谱函数 ℱℱℱ即即.（（2）） 的频谱函数的频谱函数因为因为而而利用线性性质可得利用线性性质可得 .八、八、 时域微分和积分时域微分和积分设设时域微分定理时域微分定理 假设假设 那么那么 证明：证明： .时域积分定理时域积分定理 假设假设 那那么么 证明证明 ：：这里这里.假设假设 , 那么那么 这个性质经常用来求某些复杂函数的傅里叶变换这个性质经常用来求某些复杂函数的傅里叶变换即先将所求的函数求导，求出其导数的傅里叶变即先将所求的函数求导，求出其导数的傅里叶变换，再利用积分特性求出所求信号的频谱换，再利用积分特性求出所求信号的频谱***在求某函数在求某函数 的傅立叶变换时，常常先将其求的傅立叶变换时，常常先将其求导，设其导数为导，设其导数为 ，它的傅立叶变换为，它的傅立叶变换为 ，，再利用积分特性求得所求函数再利用积分特性求得所求函数 的傅立叶变换。

的傅立叶变换 但对某些函数，虽有但对某些函数，虽有 ，但有可能，但有可能..例例 4 4．．5-8 5-8 求三角形脉冲求三角形脉冲 的频谱函数的频谱函数 1 /2- /20.图 4.5-8  f (t)及其导数解解: :如图，将三角脉冲求两次导变成如图，将三角脉冲求两次导变成(a)1 /2- /200(c)0(b)首先思考两个问题：首先思考两个问题：1 1、求导后再积分是不是原来的函数；（考察被求导、求导后再积分是不是原来的函数；（考察被求导信号在负无穷远点是否为零）信号在负无穷远点是否为零）2 2、在用积分特性时，被积信号的付里叶变换在频率、在用积分特性时，被积信号的付里叶变换在频率为为0 0时，时， 其函数值是否为零考察被积分信其函数值是否为零考察被积分信号在整个时域积分值是否为零）号在整个时域积分值是否为零）积分积分积分积分.图图 4.5-8 f  (t)及其导及其导数数(a)1 /2- /200(c)0(b)设设那那么么积分积分积分积分..例例 4.5-9求门函数的积分求门函数的积分 的频谱函数。

的频谱函数g (t)0 /2- /2t1(a)g(-1) (t)0  /2- /2t(b)图图 4.5-9 门函数及其积分门函数及其积分解：解： 门函数的频谱为门函数的频谱为 .ℱℱ由由于于 ，，由由式式 得得.例例4.5-10 求下图求下图(a)和和(b)所示信号的傅里叶变换所示信号的傅里叶变换解解: （（1〕〕方方法法一一:图〔图〔a〕的函数为〕的函数为 .图〔图〔b〕的函数可写为〕的函数可写为 .方法二方法二: :先求导先求导, ,再积分的方法再积分的方法. .由图可见由图可见 和和 的导数均如的导数均如 图〔图〔c〕所示 .或者或者根据根据得得:.九、九、 频域微分和积分频域微分和积分频域微分：频域微分： 频域积分：频域积分： 式中式中 如果有如果有 ，则有，则有 假设假设那那么么那那么么假设假设.证明：证明：频域微分：频域微分： .证明：证明：频域积分：频域积分： .例例4.5-11求斜升函数求斜升函数 的频谱函数。

的频谱函数 解解: 单位阶跃信号及其频谱函数为单位阶跃信号及其频谱函数为 由式由式 可得可得 .例例4.5-12 求函数求函数 的频谱函数的频谱函数解解: 由于由于 ，显然有，显然有根据频域积分特性根据频域积分特性:只要求出只要求出再积分求出再积分求出 即可即可...例例4.5-13 求求 的值 解解: 一般遇到这样的问题时，可考虑采用付里叶变换一般遇到这样的问题时，可考虑采用付里叶变换及逆变换在特殊点的值及逆变换在特殊点的值.本题求本题求 的值 令令 (a>0)，， .假假设设 ，，那那么么 ，，于于是得到是得到考虑：考虑：.十、相关定理十、相关定理(书上书上160页页) 相关定理是要考虑相关函数的傅里叶变换与各信相关定理是要考虑相关函数的傅里叶变换与各信号的傅里叶变换之间的关系。

号的傅里叶变换之间的关系假设假设那么那么上式很容易证明上式很容易证明假设假设那么那么结论：自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平结论：自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方书上书上161页将傅里叶变换的性质归纳在表页将傅里叶变换的性质归纳在表4-2中§ 4.6 能量谱和功率谱(书上书上162页页)信号的频谱是频域中描述信号特征的方法之一信号的频谱是频域中描述信号特征的方法之一, ,此外此外还可用能量谱和功率谱来描述信号的频域特征还可用能量谱和功率谱来描述信号的频域特征信号信号 在在 上的能量上的能量 若信号的能量有限，则为能量信号若信号的能量有限，则为能量信号一、能量谱一、能量谱:若信号为实信号，那么：若信号为实信号，那么：能量信号的能量在频域的分布状况可用能量谱来描能量信号的能量在频域的分布状况可用能量谱来描述述,称为能量谱密度，简称能量谱用称为能量谱密度，简称能量谱用 表示…能量谱能量谱上式称为帕斯瓦尔方程或能量等式上式称为帕斯瓦尔方程或能量等式…能量谱能量谱可见，信号的能量谱是可见，信号的能量谱是 的偶函数，它只决定于频的偶函数，它只决定于频谱函数的模，而与相位无关。

谱函数的模，而与相位无关即即信信号号的的能能量量谱谱与与其其自自相相关关函函数数是是一一对对傅傅里里叶叶变变换换对二二、、功功率率谱谱 对对功功率率信信号号，，信信号号功功率率在在频频域域的的分分布布状状况可用功率谱密度来描述，简称功率谱，用况可用功率谱密度来描述，简称功率谱，用 表示如果信号功率有限，则称信号为功率信号，此时能量如果信号功率有限，则称信号为功率信号，此时能量E无穷大即无穷大即:为此，从为此，从 中截取中截取 的一段，得到一个截尾的一段，得到一个截尾函数函数 ，它是能量有限的信号令，它是能量有限的信号令 那么：那么：.类似与能量谱密度，我们定义功率谱密度类似与能量谱密度，我们定义功率谱密度 同理，根据功率信号自相关函数的定义，可得到与能同理，根据功率信号自相关函数的定义，可得到与能量谱相同的结论：功率信号的功率谱与其自相关函数量谱相同的结论：功率信号的功率谱与其自相关函数是一对傅里叶变换对是一对傅里叶变换对 .例例4.6-1图示图示RC低通电路，已知输入端电压低通电路，已知输入端电压 ，输出为电容两端的电压，输出为电容两端的电压 ，求，求（（1）） 的自相关函数的自相关函数 和功率谱和功率谱 。

2〕输出〕输出 的功率谱的功率谱 ，自相关函数，自相关函数 和平和平 均功率均功率 解：解：（（1））.（（2〕求〕求 .由时域分析可知：由时域分析可知：令：令：由卷积定理得：由卷积定理得：对于功率谱同理可得：对于功率谱同理可得：.（（2〕求〕求 ..（（2〕求〕求 ..§§4.7 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换一、一、 正、余弦函数的傅里叶变换正、余弦函数的傅里叶变换二、一般周期函数的傅里叶变换二、一般周期函数的傅里叶变换( (两种方法两种方法) )三、傅里叶系数与傅里叶变换三、傅里叶系数与傅里叶变换主要内容主要内容.一、一、 正、余弦函数的傅里叶变换正、余弦函数的傅里叶变换根据频移特性得根据频移特性得所以，正、余弦函数的傅里叶变换为所以，正、余弦函数的傅里叶变换为.正、余弦信号的波形及频谱如下图所示正、余弦信号的波形及频谱如下图所示0t1f (t)=cos0t0-00F(j)图图4.6-1正、余弦函数及其频谱正、余弦函数及其频谱 (b) 正弦脉冲及其频谱0t1f (t)= sin0t-X()0-00(a) 余弦脉冲及其频谱.二、一般周期函数的傅里叶变换二、一般周期函数的傅里叶变换一周期为一周期为 的周期函数的周期函数ℱℱ方法一方法一ℱ. 上式表明，周期信号的傅里叶变换〔或频谱密度函上式表明，周期信号的傅里叶变换〔或频谱密度函数〕由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信数〕由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波角频率号的各谐波角频率 处，其强度处，其强度为各相应幅度为各相应幅度 的的 倍。

倍ℱℱℱ.例例4.7-1 求周期性矩形脉冲信号求周期性矩形脉冲信号 的频谱函数的频谱函数0 tT-T1解：解：.[pT(t)]0 Ω-Ωℱ图图 4.6-2 周期矩形脉冲的傅立叶变换周期矩形脉冲的傅立叶变换.例例4.7-2 求周期性单位冲激函数序列求周期性单位冲激函数序列 的频谱解解: ℱ tT(t )-2T-3T-T0 T 2T3T图图 4.6-3 周期冲激序列周期冲激序列.ℱ可见：时域中周期为可见：时域中周期为 的单位冲激序列，在频域中是的单位冲激序列，在频域中是周期为周期为 ，强度为，强度为 的冲激序列其中的冲激序列其中-2-3-2 30           周期冲激序列的傅立叶变换 t-2T-3T-T0 T 2T3T图图 4.6-3 周期冲激序列周期冲激序列.方法二方法二设周期信号设周期信号 ，从该信号中截取一个周期信号，，从该信号中截取一个周期信号，令其为令其为  这是求周期信号的傅里叶变换的另一种方法这是求周期信号的傅里叶变换的另一种方法。

.例例4.7-3 求周期性脉冲求周期性脉冲 的频谱函数的频谱函数 解解 ：： 0 tT-TpT(t)1.三、傅里叶系数与傅里叶变换三、傅里叶系数与傅里叶变换可见，周期信号的傅里叶系数等于可见，周期信号的傅里叶系数等于 在在 处处的值乘上的值乘上 傅傅里里叶叶变变换换的的许许多多性性质质也也可可适适用用于于傅傅里里叶叶级级数数，，这这提提供了求周期信号傅里叶系数的另一种方法供了求周期信号傅里叶系数的另一种方法例例4.7-4 将下图所示周期信号将下图所示周期信号 展开成指数型傅里叶级展开成指数型傅里叶级数解：解： . .§§ 4.8 LIT 4.8 LIT系统的频域分析系统的频域分析一、频率响应一、频率响应 前面我们花了大量时间讨论了信号的频域分析，本前面我们花了大量时间讨论了信号的频域分析，本节将研究系统的激励与响应在频域中的关系，即系统的节将研究系统的激励与响应在频域中的关系，即系统的频域分析频域分析 二、无失真传输二、无失真传输三、三、 理想低通滤波器的响应理想低通滤波器的响应.一、频率响应一、频率响应 傅傅里里叶叶分分析析是是将将信信号号分分解解为为众众多多不不同同频频率率 的的虚虚指指数数函函数数之之和和〔〔或或积积分分）），，因因此此首首先先讨讨论论虚虚指指数数函函数数作用于作用于LTI系统引起的响应系统引起的响应(零状态响应）。

零状态响应） 再再讨讨论论任任意意信信号号作作用用系系统统所所引引起起的的响响应应，，得得出出响响应应的的频频域域求求解解方方法法；；从从而而引引出出频频域域中中反反映映系系统统特特性性的的函数函数-----频率响应〔函数）频率响应〔函数）1、、 研研究究虚虚指指数数函函数数作作用用于于 LTI系系统统所所引引起起 的的响响应应(零零状态）？状态）？设设虚虚指指数数函函数数作作用用于于LTILTI系系统统所所引引起起 的的响响应应〔〔零零状状态态〕〕是是系系数数为为 的的同同频频率率的的虚虚指指数数函函数数，，仅仅是是幅幅度度及相位发生变化，但频率不变及相位发生变化，但频率不变系统的冲激响应是系统的冲激响应是.当当激激励励为为任任意意信信号号 ，，由由式式 得得2 2、讨论输入为任意信号时的响应？、讨论输入为任意信号时的响应？若令响应若令响应 的频谱函数为的频谱函数为 ，则由上式得，则由上式得. 频率响应函数〔也称为系统函数〕可定义为系频率响应函数〔也称为系统函数〕可定义为系统响应〔零状态响应〕的傅里叶变换统响应〔零状态响应〕的傅里叶变换 与激励与激励的傅里叶变换的傅里叶变换 之比，即之比，即 令令 则有则有3 3、频率响应的定义，幅频特性，相频特性？、频率响应的定义，幅频特性，相频特性？.称为系统的幅频特性〔或幅频响应）称为系统的幅频特性〔或幅频响应）称为系统的相频特性〔或相频响应）称为系统的相频特性〔或相频响应） 是是 的偶函数，的偶函数， 是是 的奇函数。

的奇函数幅频特性代表系统对不同频率输入信号放大或衰减的幅频特性代表系统对不同频率输入信号放大或衰减的倍数倍数. .幅频特性和相频特性的物理含义幅频特性和相频特性的物理含义: :相频特性代表系统对不同频率输入信号相移的大小相频特性代表系统对不同频率输入信号相移的大小. .. 利利用用频频域域函函数数分分析析系系统统问问题题的的方方法法，，常常称称为为频频域域分析法或傅里叶变换法分析法或傅里叶变换法4 4、频域分析？、频域分析？时域分析与频域分析的关系如下图所示时域分析与频域分析的关系如下图所示图图4.7-1 频域分析示意图频域分析示意图LTI系统.例例4.8-1 某某LTI系统的幅频响应系统的幅频响应 和相频响应和相频响应 如如下下图图所所示示若若系系统统的的激激励励 ，，求系统的响应求系统的响应 书上介绍了两种方法书上介绍了两种方法,一种一种是傅里叶级数法是傅里叶级数法;一种是傅里叶一种是傅里叶变换法变换法;但对于周期信号还有另但对于周期信号还有另外一种方法外一种方法----正、余弦函数正、余弦函数响应法。

响应法解法三：正、余弦函数响应法解法三：正、余弦函数响应法当激励为余弦函数时：当激励为余弦函数时：...此题此题.例例4.8-2 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 求输入求输入 时系统的零状态响应时系统的零状态响应解解: 令令 ，， 对方程取傅里叶变换，得对方程取傅里叶变换，得由上式可得该系统的频率响应函数由上式可得该系统的频率响应函数.取傅里叶逆变换得取傅里叶逆变换得.例例4.8-3 如如下下图图所所示示的的 电电路路，，若若激激励励电电压压源源 为为 单位阶跃函数单位阶跃函数 ，求电容电压，求电容电压 的零状态响应的零状态响应us(t )R+Cuc(t )-us(t )=U(t)t10uc(t)t10图4.7-3解解: 图中网络的频率响应函数〔或称转移函数〕为图中网络的频率响应函数〔或称转移函数〕为.式中式中 。

.例例4.8-4 如下图所示的系统，知如下图所示的系统，知乘法器的输入乘法器的输入 系统的频率响应系统的频率响应 ，， 求输出求输出 思路：先求出思路：先求出.解解: 由由图图可可知知，，乘乘法法器器的的输输出出信信号号 ，，依频域卷积定理可知，其频谱函数依频域卷积定理可知，其频谱函数 令令 ，， 根据对称性根据对称性可得可得 .的频谱函数的频谱函数 .. 取上式的傅里叶逆变换取上式的傅里叶逆变换 ：：.二、无失真传输 所谓无失真传输是指输出与输入相比，只有幅度所谓无失真传输是指输出与输入相比，只有幅度大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化问：问：LTI系统的系统的 应满足什么条件，才能应满足什么条件，才能够实现无失真传输信号？够实现无失真传输信号？ 应满足：应满足： LTI.幅频特性是常数；幅频特性是常数；相频特性是通过原点的直线〔斜率的相频特性是通过原点的直线〔斜率的负值为延迟时间）负值为延迟时间）图 4.7-5   无失真传输系统的幅频特性和相频特性0理想条件理想条件 一一般般对对限限带带信信号号而而言言，，只只要要在在信信号号有有限限带带宽宽内内满满足足该该条条件件即即可可实实现现无无失失真真传传输。

输三、三、 理想低通滤波器的响应理想低通滤波器的响应具有如图所示的幅频特性和相频特性的系统具有如图所示的幅频特性和相频特性的系统——理想低通滤波器理想低通滤波器 图图 4.7-6 理想低通滤波器理想低通滤波器的幅频特性和相频特性的幅频特性和相频特性01-cc或或.ℱ-1根据傅里叶变换的对称性可知，由根据傅里叶变换的对称性可知，由1、理想低通滤波器的冲激响应、理想低通滤波器的冲激响应 理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器的冲激响应 是频率响应函是频率响应函数数 的傅里叶逆变换，因而，理想低通滤波的傅里叶逆变换，因而，理想低通滤波器的冲激响应器的冲激响应 ：：.再由时移特性，得理想低通滤波器的冲激响应：再由时移特性，得理想低通滤波器的冲激响应： ℱ-1.其波形如下图所示由图可见，理想低通滤波器的冲其波形如下图所示由图可见，理想低通滤波器的冲激响应的峰值比输入的激响应的峰值比输入的 延迟了延迟了 0ttd(a) 冲激响应.0ttd(a) 冲激响应考虑：为什么理想低通的冲激响应会是取样函数的形考虑：为什么理想低通的冲激响应会是取样函数的形式？当式？当 增大，对响应有何影响？响应趋于什么形增大，对响应有何影响？响应趋于什么形式？式？01-cc.2、理想低通滤波器的阶跃响应、理想低通滤波器的阶跃响应 .令正弦积分，令正弦积分， 下面就来画出阶跃响应的波形。

下面就来画出阶跃响应的波形先画出先画出 ，再做尺度变换得到，再做尺度变换得到 最后画最后画出出 正弦积分，正弦积分， ..图图 4.7-7 理想低通滤波器的冲激响应及阶跃响应理想低通滤波器的冲激响应及阶跃响应0t1td0.5g (t )tr-0.08951.08950ttdh (t )下面我们讨下面我们讨论几个问题论几个问题:上升时间上升时间;最大值最大值;吉布斯现象吉布斯现象;因果性因果性;.由上图可见，在由上图可见，在 处阶跃响应上升最快，如果定处阶跃响应上升最快，如果定义信号的上升〔或称建立〕时间义信号的上升〔或称建立〕时间 为为 在在 处的处的斜率的倒数，则上升时间斜率的倒数，则上升时间 为：为：可见，滤波器的通带愈宽，即截止频率愈高，其阶可见，滤波器的通带愈宽，即截止频率愈高，其阶跃响应上升时间愈短，波形愈陡峭跃响应上升时间愈短，波形愈陡峭1、阶跃响应的上升时间与系统的通带宽度成反比阶跃响应的上升时间与系统的通带宽度成反比它与滤波器的通带宽度无关。

因而，增大滤波器的通它与滤波器的通带宽度无关因而，增大滤波器的通带，不能减小过冲的幅度，仅能使其更靠近带，不能减小过冲的幅度，仅能使其更靠近 处3、当从某信号的傅里叶变换恢复或逼近原信号时，、当从某信号的傅里叶变换恢复或逼近原信号时，如果原信号包含间断点，那么，在各间断点处，其如果原信号包含间断点，那么，在各间断点处，其恢复的信号将出现过冲，这种现象称为吉布斯现象恢复的信号将出现过冲，这种现象称为吉布斯现象4、理想低通滤波器是物理不可实现的理想低通滤波器是物理不可实现的2、、. 理想低通滤波器是物理不可实现的但传输特性理想低通滤波器是物理不可实现的但传输特性接近于理想特性的电路却不难构成书上接近于理想特性的电路却不难构成书上184184页）页） 为了能根据系统的频率响应函数判断系统是否物为了能根据系统的频率响应函数判断系统是否物理可实现的，就希望找到物理可实现系统特性所满足理可实现的，就希望找到物理可实现系统特性所满足的条件时域来说：时域来说：且且频域来说：频域来说：称为佩利称为佩利—维纳准则维纳准则且且频域来说：频域来说：称为佩利称为佩利—维纳准则。

维纳准则可见，如果系统的幅频特性在某一有限频带内为零，可见，如果系统的幅频特性在某一有限频带内为零，则在此频带范围内，则在此频带范围内， 从而不满从而不满足上式，这样的系统是物理不可实现的足上式，这样的系统是物理不可实现的§4.9 取取样定理定理 取样定理论述了在一定的条件下，一个连续时间取样定理论述了在一定的条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值〔或信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值〔或称样本值〕表示这些样本值包含了该连续信号的全称样本值〕表示这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号这就给连部信息，利用这些样本值可以恢复原信号这就给连续信号的数字化传输和处理提供了理论依据续信号的数字化传输和处理提供了理论依据 下面我们就从信号的取样出发，讨论信号取下面我们就从信号的取样出发，讨论信号取样后时域和频域的变化？从而看到为了能从取样样后时域和频域的变化？从而看到为了能从取样后的信号恢复原来的信号，应满足的条件后的信号恢复原来的信号，应满足的条件。

在恢复原信号的过程中，时域和频域又发生在恢复原信号的过程中，时域和频域又发生了什么变化，恢复原信号的实质是什么？从而引了什么变化，恢复原信号的实质是什么？从而引出取样定理出取样定理一、信号的取样一、信号的取样 所所谓谓“取取样样〞〞就就是是利利用用周周期期性性脉脉冲冲序序列列s(t)从从连连续续信信号号 中中“抽抽取取〞〞一一系系列列离离散散样样本本值值的的过过程程由由此此得到的离散信号称为取样信号得到的离散信号称为取样信号我们来看一下取样过程中时域波形的变化我们来看一下取样过程中时域波形的变化可见取样信号可见取样信号(d) 抽样的模型(c) 抽样信号0t0t(a) 连续时间信号称为取样周期称为取样周期称取样角频率称取样角频率称取样频率称取样频率均匀取样均匀取样.(b) 抽样脉冲序列或开关函数0t.t0f (t)(a)-2Ts0tfs(t)-TsTs 2Ts(c)0F(j )(d) - m m1图图 4.8-2 冲激取样冲激取样1、冲激取样、冲激取样 (1)图示图示 （假设（假设 是带限信号）是带限信号）0t-2Ts2TsTs-Ts1(b)0Fs(j )(f) - s s-2 s2 s(e)0 - s s-2 s2 s.假设假设 或或 ( 为原信号的最高频率），为原信号的最高频率），则则被被抽抽样样后后信信号号的的频频谱谱不不会会发发生生频频谱谱混混叠叠,因因此此可可以以由由抽样后的信号设法恢复原来的连续信号抽样后的信号设法恢复原来的连续信号假设假设 （（ ），）， 则会发则会发生生频谱重叠现象，无法恢复原来的连续信号。

频谱重叠现象，无法恢复原来的连续信号 因因此此为为了了不不发发生生频频谱谱混混叠叠现现象象必必须须满满足足：：采采样样频频率率必须大于信号最高频率的两倍必须大于信号最高频率的两倍. 即即: 或或可见，连续信号在时域进行抽样，频域就会将连续信号可见，连续信号在时域进行抽样，频域就会将连续信号的频谱以抽样角频率为周期，周期延拓的频谱以抽样角频率为周期，周期延拓(2)理论分析理论分析ℱ可见可见,时域的抽样时域的抽样,在频域将连续信号的频谱以抽样角在频域将连续信号的频谱以抽样角频率为周期频率为周期,进行周期延拓，强度变为原来的进行周期延拓，强度变为原来的1/TS0F(j )(d) - m m1图 4.8-4  矩形脉冲抽样0tf (t)(a)-2Ts(f)0Fs(j ) - s s-3 s3 s /TsSa(/2)(e)0P(j ) - s s-3 s3 s2/TsSa(/2)(b)0t-2Ts2TsTs-Ts10tfs(t)-TsTs 2Ts(c)2、矩形脉冲取样、矩形脉冲取样 (1)图示图示.假设假设 或或 ( 为原信号的最高频率），为原信号的最高频率），则则被被抽抽样样后后信信号号的的频频谱谱不不会会发发生生频频谱谱混混叠叠,因因此此可可以以由由抽样后的信号设法恢复原来的连续信号抽样后的信号设法恢复原来的连续信号假设假设 （（ ），）， 则会发则会发生生频谱重叠现象，无法恢复原来的连续信号。

频谱重叠现象，无法恢复原来的连续信号 因因此此为为了了不不发发生生混混叠叠现现象象必必须须满满足足：：采采样样频频率率必必须须大于信号最高频率的两倍大于信号最高频率的两倍. 即即: 或或可见，连续信号在时域进行脉冲抽样，频域就会将连续可见，连续信号在时域进行脉冲抽样，频域就会将连续信号的频谱以抽样角频率为周期，进行周期延拓信号的频谱以抽样角频率为周期，进行周期延拓2、矩形脉冲取样的理论分析、矩形脉冲取样的理论分析如果取样脉冲序列如果取样脉冲序列 是幅度为是幅度为1，脉宽为，脉宽为 的矩形的矩形脉冲序列脉冲序列 其中其中.可见可见,时域进行矩形脉冲抽样时时域进行矩形脉冲抽样时,频域将连续信号的频谱频域将连续信号的频谱以抽样角频率为周期以抽样角频率为周期,进行周期延拓，强度变为原来的进行周期延拓，强度变为原来的 倍因而，在频谱不发生混叠的条件下，可以设法恢复原因而，在频谱不发生混叠的条件下，可以设法恢复原信号二二.时域取样定理时域取样定理以冲激取样为例，介绍如何从取样信号恢复原信号。

以冲激取样为例，介绍如何从取样信号恢复原信号图图 4.8-5 由抽样信号恢复连续信号由抽样信号恢复连续信号- m- s+  m s- s m s-  m 01/TsFs(j )(a)(e)h(t)Ts-Ts0t1(d)fs(t)Ts-Ts-2Ts2Ts0t(f)f(t)Ts-Ts-2Ts2Ts0t- m m 01Fs(j )(c)(b) 0TsH(j )1.恢复信号的图示过程恢复信号的图示过程.2.恢复信号的理论分析恢复信号的理论分析..上式表明，连续信号上式表明，连续信号 可以展开成正交取样函数的可以展开成正交取样函数的无穷级数，该级数的系数等于取样值无穷级数，该级数的系数等于取样值 ，也就，也就是说在取样信号是说在取样信号 的每个样点处，画一个最大的每个样点处，画一个最大峰值为峰值为 的取样函数波形，合成的波形就是的取样函数波形，合成的波形就是 Ts-Ts-2Ts2Ts0t.3.时域取样定理：时域取样定理： 一个频谱在区间（一个频谱在区间（ ）以外为零的有限频带信）以外为零的有限频带信号号 ，可以唯一的由其在均匀间隔，可以唯一的由其在均匀间隔 上上的样点值的样点值 所确定。

所确定 包含两个基本内容包含两个基本内容:1、连续信号应是频带有限的信号；、连续信号应是频带有限的信号；2、抽样频率必须大于、抽样频率必须大于2倍的信号最高频率倍的信号最高频率三三.频域取样定理频域取样定理根据时域与频域的对偶性根据时域与频域的对偶性,可推出频域取样定理可推出频域取样定理.假如假如 是有限时间信号是有限时间信号(简称时限信号简称时限信号),即它在时即它在时间区间间区间 ( )以外为零以外为零. 的频谱函数的频谱函数 为连续谱为连续谱.在频域中对在频域中对 进行等间隔为进行等间隔为 的冲激取样的冲激取样,即用即用 对对 取样取样,那么那么,在频域中在频域中,这些取样值是否这些取样值是否可可以包含原频谱的所有信息呢以包含原频谱的所有信息呢?能否由这些取样值恢复能否由这些取样值恢复原信号的频谱呢原信号的频谱呢?频域取样定理就回答了这些问题频域取样定理就回答了这些问题..1.频域取样的图示频域取样的图示可见可见,频域抽样频域抽样,对应时域将时域信号以对应时域将时域信号以 为周期为周期进行周期延拓进行周期延拓. 强度变为原来的强度变为原来的 ..2.频域取样的理论分析频域取样的理论分析可见可见,频域抽样频域抽样,对应时域将时域信号以对应时域将时域信号以 为周期为周期进行周期延拓进行周期延拓. 强度变为原来的强度变为原来的 ..3.频域取样定理频域取样定理类似地可得恢复的信号频谱类似地可得恢复的信号频谱:.信号的时域与频域的对应关系：信号的时域与频域的对应关系：连续连续非周期非周期离散离散周期周期时域连续非周期信号时域连续非周期信号频域非周期连续频域非周期连续时域连续周期信号时域连续周期信号频域非周期离散频域非周期离散时域离散非周期信号时域离散非周期信号频域周期连续频域周期连续时域离散周期信号时域离散周期信号频域周期离散频域周期离散.例例.本章小结：本章小结：1、周期信号的傅里叶级数及其物理含义。

周期信号的傅里叶级数及其物理含义 2、信号的傅里叶变换及应用性质求复杂信、信号的傅里叶变换及应用性质求复杂信 号的傅里叶变换号的傅里叶变换 3、系统频率响应函数及系统的频域分析系统频率响应函数及系统的频域分析 4、时域取样定理及其应用时域取样定理及其应用例例1：：解：解：1、、即即.例例1：：解：解：2、、.例例2：如图所示信号：如图所示信号 ，已知其傅里叶变换，已知其傅里叶变换利用傅里叶变换的性质〔不作积分运算），求：利用傅里叶变换的性质〔不作积分运算），求：解：解：图略图略..例例3:系统如图所示系统如图所示,(1)为从为从 无失真恢复无失真恢复 ,求最大抽样间隔求最大抽样间隔 2〕当〕当 时，画出时，画出 的幅度谱的幅度谱 。

解：解：时域相乘时域相乘时域抽样时域抽样(1).（（2〕当〕当 时，画出时，画出 的幅度谱的幅度谱 梯形周期延拓，周期为梯形周期延拓，周期为 ，幅度为，幅度为3/24.28计算下列积分值计算下列积分值根据根据.4.28计算下列积分值计算下列积分值根据根据.例题例题:4.47如图所示的系统如图所示的系统,知知频率响应频率响应求系统的响应求系统的响应.解解:.4.44如图所示系统如图所示系统,知知求系统的输出求系统的输出 .解解:....作业作业:.。