陕西省西安市高级中学高一数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，则a6等于（ ） A．16B．32C．63D．64参考答案：B考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a6=S6=S5，代入已知式子计算可得．解答：解：由题意可得a6=S6=S5=（26﹣1）﹣（25﹣1）=26﹣25=25（2﹣1）=32故选B点评：本题考查等比数列的求和公式和通项公式的关系，属基础题．2. 已知集合A到集合B的映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），在映射f下对应集合B中元素（3，1）的A中元素为（ ）A．（1，3） B．（1，1） C．（3，1） D．（5，5）参考答案：B【考点】映射．【分析】由题意和映射的定义得，解此方程即可得出B中的元素元素（3，1）的A中元素．【解答】解：由题意，得，解得x=1，y=1，则B中的元素（3，1）的A中元素 （1，1）．故选B．3. 已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x＜2}，则A∩B=（ ）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，2} C．{﹣1，0} D．{0，1}参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据交集的定义求出结果即可．【解答】已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x＜2}，则A∩B={﹣1，0，1}．故选：A．【点评】本题考查求两个集合的交集的方法，是一道基础题．4. 如图所示，阴影部分的面积是的函数．则该函数的图象是： 参考答案：A5. 已知，则＝ A. B. C． D． 参考答案：D由，得.所以.将上式平方得：，解得.故选D. 6. 下列判断正确的是（ ） A．“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题 B．“”的充要条件是“” C．若“p或q”是真命题，则p，q中至少有一个真命题 D．不等式的解集为参考答案：C7. 函数其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定，．给出下列四个判断：①若P∩M=，则； ②若P∩M≠，则；③若P∪M=R，则； ④若P∪M≠R，则.其中正确判断有 （ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B8. （3分）下列命题中正确的是（） A． 若ac＞bc，则a＞b B． 若a2＞b2，则a＞b C． 若，则a＞b D． 若，则a＞b参考答案：C考点： 命题的真假判断与应用． 分析： 对于A，c＞0时，结论成立；对于B，a=﹣2，b=﹣1，满足a2＞b2，但a＜b；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a=﹣1，b=2，满足，但a＜b，由此可得结论．解答： 对于A，c＞0时，结论成立，故A不正确；对于B，a=﹣2，b=﹣1，满足a2＞b2，但a＜b，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a=﹣1，b=2，满足，但a＜b，故D不正确．故选C．点评： 本题考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9. 函数的图象大致是（ ） A B C D 参考答案：A10. （5分）在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98y ﹣0.99 0.01 0.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是（） A． y=2x B． y=x2﹣1 C． y=2x﹣2 D． y=log2x参考答案：D考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 计算题；等差数列与等比数列．分析： 根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论．解答： 根据x=0.50，y=﹣0.99，代入计算，可以排除A；根据x=2.01，y=0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y=log2x，可知满足题意故选D．点评： 本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则关于的不等式的解集为 参考答案：，。
12. 已知函数f(x)= ，则f(x)的单调递增区间是________．参考答案：(－∞,－2)13. 已知二次函数在上是增函数，则的取值范围是_________.参考答案：略14. 已知、、为直线上不同的三点，点不在直线上，实数满足关系式，有下列命题：①； ② ； ③ 的值有且只有一个； ④的值有两个； ⑤ 点是线段的中点．则正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号）参考答案：①③⑤略15. 函数的单调递减区间是___参考答案：(2，＋∞)16. 当0g(x)>f(x)略17. 已知为等比数列,是它的前项和.若,且与的等差中项为,则 .参考答案：31三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知（I）设，证明数列{bn}是等比数列.（II）求数列{an}的通项公式.参考答案：：（I）见解析.（II）.（I）由成立，则有两式相减得，变形为即，由得于是，所以数列是首项为3公比是2的等比数列.（II）解法一：由(I)得即所以且，于是数列是首项为，公差为的等差数列，所以，即.解法二：由(I)得即，点睛：由递推式进行递推，可以寻找规律，根据（I）要求（即提示）变形即可.证明数列最常用的方法是定义法，想到这一点，第（I）题就解决了.根据两个小题的联系，进一步变形寻找规律，求出通项.19. （12分）已知函数．（1） 判断并证明函数f（x）的奇偶性（2）判断并证明当x∈（﹣1，1）时函数f（x）的单调性；（3）在（2）成立的条件下，解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．参考答案：考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质． 专题： 计算题；转化思想．分析： （1）由于函数的定义域为R，关于原点对称，故我们可利用函数奇偶性的性质判断方法来解答问题；（2）由函数f（x）的解析式，我们易求出原函数的导函数的解析式，结合x∈（﹣1，1），确定导函数的符号，即可判断函数的单调性；（3）结合（1）、（2）的结论，我们可将原不等式转化为一个关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案．解答： （1）∵y=x2+1为偶函数，y=x为奇函数根据函数奇偶性的性质，我们易得函数为奇函数．（2）当x∈（﹣1，1）时∵函数f'（x）=＞0恒成立故f（x）在区间（﹣1，1）上为单调增函数；（3）在（2）成立的条件下，不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0可化为：解得：∴不等式的解集为．点评： 本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断及函数性质的综合应用，其中熟练掌握各种函数的性质及应用是解答本题的关键．20. 已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（I）①利用Ω对于即可判断出函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）函数f（x）是Ω函数，可得存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，可得Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），通过换元进而得出：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）同（i）可以证明．（III）当a＞1时，假设函数f（x）=ax是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），可得Tax+T=ax，化为：TaT=1，即aT=，此方程有非0 的实数根，即可证明．【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=ax是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），∴Tax+T=ax，化为：TaTax=ax，∵ax＞0，∴TaT=1，即aT=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，∴当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数．21. （14分）已知函数f（x）=a+（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（Ⅱ）用定义法判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若当x∈[﹣1，5]时，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合． 【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的。
