梅涅劳斯定理与塞瓦定理(共11页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上梅涅劳斯定理与塞瓦定理板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理知识导航梅涅劳斯定理：如果一条直线与的三边、、或其延长线交于、、点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形．　　证法一：如左图，过作∥∵，∴．证法二：如中图，过作交的延长线于∴，，三式相乘即得：．证法三：如右图，分别过作的垂线，分别交于．则有，所以．梅涅劳斯定理的逆定理：若、、分别是的三边、、或其延长线的三点，如果，则、、三点共线．夯实基础【例1】 如图，在中，为中线，过点任作一直线交于点，交于点，求证：．【解析】 ∵直线是的梅氏线，∴． 而，∴，即．习题1. 在△中，是的中点，经过点的直线交于点，交的延长线于点．求证：．【解析】 直线截三边于、、三点，应用梅氏定理，知，又因为，所以，即．习题2. 如图，在△中， ，．为边上的中线，于点，的延长线交于点．求．【解析】 由题设，在中，，，由射影定理．对和截线，由梅涅劳斯定理，，即．所以．探索提升【例2】 如图，在中，为中点，，求证：．【解析】 ∵直线是的梅氏线，∴．∴，∴∵直线是的梅氏线，∴，∴，．∴．习题3. 如图，在中，为的中点，．求．【解析】 ∵是的梅氏线，∴．∵为的中点，，∴，．∴，∴．∵是的梅氏线，∴，∴，∴．∴．∴．【例3】 过的重心的直线分别交、于点、，交的延长线于点．求证：．　　【解析】 作直线交于，∵，．∴．∴．同理，，而∴．【例4】 如图，点、分别在的边、上， ，，与交于点，．求．【解析】 对和截线，由梅氏定理得：，即，所以．所以，进而．习题4. 如图，在中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形的面积为，求的值．【解析】 对和截线，由梅氏定理得：，即，解得．【备选】如图，被通过它的三个顶点与一个内点的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求的面积．【解析】 对和截线，由梅氏定理得：，即，所以，所以．所以．非常挑战【例5】 如图， 在中，的外角平分线与边的延长线交于点，的平分线与边交于点，的平分线与边交于点，求证：、、三点共线．【解析】 是的外角平分线，则 ①是的平分线，则 ②是的平分线，则 ③得因在上，在上，在的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：、、三点共线．习题5. 证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．【解析】 如图，分别为三角形的三个外角平分线，分别交于．过作的平行线，则，所以是等腰三角形．则．则有：．同理；．所以．所以共线．板块二 塞瓦定理及其逆定理知识导航塞瓦定理：如果的三个顶点与一点的连线、、交对边或其延长线于点、、，如图，那么．通常称点为的塞瓦点．证明：　∵直线、分别是、的梅氏线，∴，．两式相乘即可得：．塞瓦定理的逆定理：如果点、、分别在的边、、上或其延长线上，并且，那么、、相交于一点（或平行）．　　证明：　⑴ 若与相交于一点时，如图，作直线交于．由塞瓦定理得：，又已知，∴，∴，∴．∴与重合∴与重合∴、、相交于一点．⑵ 若与所在直线不相交，则∥，如图．∴，又已知，∴，即．∴，∴． 说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．探索提升【例6】 （1）设是的三条中线，求证：三线共点．（2）若为的三条内角平分线．求证：三线共点．【解析】 （1）由条件知，．∴，根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线共点．这个点称为这个三角形的重心．（2）由三角形内角平分线定理得：．三式分别相乘，得：．根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线共点，这个点称为这个三角形的内心．习题6. 若分别为锐角的三条高线，求证：三线共点．【解析】 由得：；由得：；由可得：．所以．根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线共点．对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．【例7】 如图， 为内的一点，与交于点，与交于点，若通过 的中点，求证：．【解析】 对和点应用塞瓦定理可得：．又因为，所以．进而，所以． 习题7. 如果梯形的两腰、的延长线交于，两条对角线交于．求证：直线必平分梯形的两底．【解析】 ∵∴∴∵（由塞瓦定理得）∴，∴∵，∴．板块三 梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合非常挑战【备选】如图，、分别为的、边上的点，且，，、交于点，的延长线交于点．求的值．【解析】 ∵为的塞瓦点．∴∴，∴．∵为的梅氏线，∴∴【备选】如图，四边形的对边和，和分别相交于点，对角线与 交于点．直线与、分别交于点．求证：．【解析】 对与点应用塞瓦定理得：．对和截线应用梅涅劳斯定理可得：．进而可得． 专心---专注---专业。