小学奥数用割补法求面积.doc

小学奥数解析十三 用割补法求面积　　在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法　　例1求下列各图中阴影部分的面积：　　分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差　　π×4×4÷4-4×4÷2=4.56　　（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆　　如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25　　例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几　　分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答　　（1）割补法　　从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形将这两个直角三角　　　（2）拼补法　　将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）　　　　积和平行四边行面积同时除以2，商不变所以原题阴影部分占整个图形面　　　（3）等分法　　将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，　　注意，后两种方法对任意三角形都适用也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立　　例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）求这个梯形的面积　　分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）　　例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积　　分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。

因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24　　例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2求乙正方形的面积　　分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）　　把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是40÷20=2（厘米）这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×9=81（厘米2）　　第二坊教育五年级奥数课堂练习　　1.求下列各图中阴影部分的面积：（1） （2）2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米2，BE长3厘米，求CD的长。

　　5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2求甲、乙的面积之和　　6.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积练习22　　1.（1）25；（2）ab　　提示：（1）（2）　　2.4.56厘米2　　提示：如左下图所示，所求面积等于右下图中圆面积减去正方形面积，等于（4÷2）2π-4×4÷2= 4.56（厘米2）　　　3.下底9厘米，高6厘米　　解：用两个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（见左下图），大正方形的面积为36×2+3×3=81（厘米2）边长为9厘米所求梯形的下底为9厘米，高为9-3=6（厘米）　　4.6厘米　　提示：与例4类似，右上图中甲、乙的面积相等，所以，CD=18÷3=6（厘米）　　5.117厘米2　　提示：与例5类似，下图中丙与乙相同，C与C＇相同甲、乙的边长和等于45÷3=15（厘米），甲的边长为（l5+3）÷2=9（厘米）　　甲、乙的面积和为9×9×2-45=117（厘米2）　　6.20厘米2　　解：将AD，BC分别延长，相交于E（见右图）四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ABE与等腰直角三角形CDE的面积之差，为7×7÷2-3×3÷2=20（厘米2）。