2025年高考数学一轮复习：课时作业四十九 利用空间向量研究夹角问题.pdf

四十九利用空间向量研究夹角问题（时间：45分钟 分值:85分）【基础落实练】1.（5分）已知向量m,n分别是直线I和平面a的方向向量和法向量，若 COS=手,则/与a所成的角为（）A.30 B,60 C.120D.150【解析】选 B.由于cos也 所 以 =30所以直线I与 a 所成的角为60.2.（5 分）在正方体A B C D-A B C Q i中乃是CXDX的中点，则异面直线D E与A C所成角的余弦值为（）,10,2 02 0,10【解析】选 D.建立如图空间直角坐标系D-xyz,XB设 N=1 则 41,0,0),C(O,l,O),E(O,f,l),贝 1L4C=(-1,1,O),DE=(O,2，1),设异面直线D E与A C所成的角为0,则 COS 0=|cOS|=y.3.(5分)在空间直角坐标系研z中 下=(1,-1,0),同=(-2,0,1),平面a的一个法向量为机=(-1,0,1),则平面a与平面A B C夹 角 的 正 弦 值 为()A.f B,e g D.唱6 6 4 4【解析】选A.设平面A B C的法向量为=(可/),则翼 =：-2 =令产1,n-BC=-2 x+z=0得=(1,1,2),令平面a与平面A B C的夹角为6,则co s g e o s”,十 靠 晨 停s in g j l.c c eT，所以平面与平面4 B C夹角的正弦值为厚.4.(5分)在四棱锥R/5 C 7)中，尸4,底面4 5 c A底面/5C7)是边长为1的正方形P=2,则直线P B与平面P C D所成角的正弦值为()A至B-C妇D理A.5 口3 3 3【解析】选B.以/5 4 C U P所在直线分别为x轴J轴2轴，建立空间直角坐标系,如图，z,则 5(1,O,O),C(1,1,0),D(0,l,0),P(0,0,2),所以 PD=(0,1 ,-2),。

C=(1,0,O),PB=(1,0,-2),设平面P C D的一个法向量为=（%$/）,则=y-2 z=0 n =x=0令 z=l 彳 导 ”=(0,2,1),设直线P B与平面P C D所成角为0,则直线P B与平面P C D所成角的正弦值为 PB-n I -2 1 2sm 外卡丽5.（5 分）如图，在长方体4 5 0/向 G A 中）5=50=1441=2,体对角线3 浦与平面4 5 G 交于E点，则AiE与平面W41AZ）所成角的余弦值为（）A.|B 9 C.|婕【解析】选 D.如图，建立空间直角坐标系,A 3=(0,-2),4 C(-1,1,0),设平面4 5 G 的法向量为机=(xy,z),则AB-m=y-2z=0A1C1-m=-x+y=0,令 z=l,则产2,x=2,所以机=(2,2,1),西=(1,1,2),因为点E 在 B Q 上，设族=7西=(丸),24),所以所1么,2加2),因为4 u 平面4 5 G,所 以 萃 切=0,即(九142加2(2,2,1尸0,易 得 平 面 的 一 个 法 向 量 为 =(0,1,0),设4 E 与平面AADXD 所成角为a,所以sinAE-na=-En所以cos a=1l.sin6.（5 分X多选题）如图石尸是直三棱柱/3 C 4 出 G 棱A C上的两个不同的动点 HC=5C=CGHCa5C,则()A.5GJ_平面与成7B.若E F为定长，则三棱锥ABiEF的体积为定值C.直线5 5 与平面5 环所成角为3D.平面 44A gi，平面5 麻【解析】选 AB.由题可知，平面与即即平面5/C以 C 为坐标原点,建立如图空间直角坐标系,设 4。

1,由题可知：4(1,0,0),0,0,0),吕(0,1,1),5(0,1,0),G(0,01),设4B中点为募,0),由题可知CD J_平面即 而=图 0)为平面AlABB1的一个法向量，又府=(1,0,0),西=(0,1,1),设平面BA C的法向量为=丁/),r J n-CA=%=0AmJi,n-CB1=y+z=0,取产 1,则 w=(0,l,-l).对于A,由于万G=(0,-l,l),则万，故 5 Q 平面BEF,b正确；对于B,若E F为定长，由于用到直线E F的距离即为B1到直线4的距离，也为定值，于是与川的面积为定值，又4 到平面BE F的距离即为小到平面B、AC的距离，为定值，则三棱锥4 多所的体积为定值，故 B 正确；_ 、两加对于C,由于BB=(0,0,l),所以直线BB1与平面B】E F所成角的正弦值为一=,故直线BBl与平面B.EF所成角为，故 C 错误；1 X 0 Z 4对于D,而=!#),故平面AMBBi与平面丛历不垂直,D 错误.7.(5分)若直线1的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120则直线/与平面a 所成的角为.【解析】设直线I与平面a 所成的角为0,1则 sin 8=|cos 120|=.又因为0区比90。

所以8=30答案：308.(5分)正方体中，直线5 G 与平面力山所成角的正弦值是【解析】如图，以D/Q C Q A 所在直线分别为x 轴，歹轴/轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,贝 1M(l,0,0),3(l,l,0),G(0,l,l),易证西是平面A.BD的一个法向量.4 c(-1,1,1),BCG 1,0,1).-1+1/6cos一8.所以直线BCi与平面力小所成角的正弦值为冬奈理口木,39.(5分)正三角形A B C与正三角形B C D所在的平面互相垂直，则直线C D与平面A B D所 成 角 的 正 弦 值 为.【解析】取3连接4 Q D O,建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=l,3则4 0o),c(o,1,oj A f,o,o),-10y设平面A B D的法向量为=(%,3),则n-BA=0n-BD=0，所以ri V3 八-y+-z =0J3 1 八Tx +2y=取 X=l,则尸-G，2=1,所以 n=(l,-y/3,l),A/3 0所以C0S ，方|嘘 x,唱,因此直线C D与平面A B D所成角的正弦值为雷.冬案亚口木.510.（10分）如图,三棱柱4 5 C 4 5 1 G中4 4 底面ABC）B=AC,D是B C的中点.求 证，平面4 4 0；若NA4C=90 C=4,三棱柱/5 C Z向G的体积是园区求异面直线/Q 和ABX所成的角的余弦值.【解析】因为4 4 底面J所以又A B=A C Q是B C的中点，所以BCLAD,因为力41%4。

4所以3平面AXAD.【解析】（2）因为/氏44,1 1所以 AB A C=2 yf2 ,SBCAB因为三棱柱/5C-451cl的体积是8/3,所以 SA8C/I=4,4=8/,解得以A为 原 点 所 在 直 线 为x轴H C所在直线为歹轴所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则 D(V2,A/2,0)(0,0,0),51(2A/2,0,273),4(0,0,2 A、D=d，也,-2乖),AB,0 2 侬),设 异 面 直 线 所 成 角 为0,瓯萃18 V5则 cos 4画 砧|A/16A/20 5 11.（10分）如 图 是 圆 的 直 径 垂 直 于 圆 所 在 的 平 面，是圆上的点.求证:平面P4CLL平面PBC-（2）若45=240=1,尸 力=1,求平面C PB与平面A P B所成夹角的余弦值.【解析】（1）由4 5 是圆的直径彳导4C_L5C由P A垂直于圆所在的平面，得 为，平面/5 C由 B C u平面 4 BC,得 PABC.又，尸4 u平面P 4 a4 C u平面/MC,所以5C_ L平面PAC.又因为B C u平面PBC,根 据 面 面 垂 直 判 定 定 理 得 平 面 平 面PBC.过点。

作C M 在,由 知 平 面 力5 C如图所示，以点c为坐标原点，分别以直线CB,CA,CM为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.在 R t A 5 C 中5=2 41,所以 B C=p又 PA=1，所以 4(0,1,0),5(通 0,0),尸(0,1,1),故而二(逆,0,0),而=(0,1,1),同=(3 1,0),Q=(0,0,1).设平面C P B的法向量为“1=(X1,九zi),则，%而=0lnl而=0，所以=0y1+z1=不妨令 4=1,则 zi=-1,故 w 1=(0,1,-1).T i.y lB 0设平面A P B的法向量为“2=(X2 g/2),由，23，同理可得 2=(1,平,0).U不日I 7 叫为 木 V6于是|COS|一嬴九 2 2 2 5 2 2一 1lni l ln2 l 0+1+（-1）xjl/+（逆）+0 4所以平面C P B与平面A P B所成夹角的余弦值为连【能力提升练】12.（5 分）（多选题）如图所示，在棱长为2 的正方体/3 8-4 5 G A 中，点 E尸分别是棱5C,C G 的中点，则（）A.A1D AFB.DjC与平面A E F所成角的正弦值为1C.二面角A-EF-C的余弦值为D.平面A E F截正方体所得的截面周长为2寻3【解析】选 BD.由题意知所以4Q_L4/错误，故 A 错误;以点D为原点，分别以DAQCQDT所在直线为x y z 轴，建立空间直角坐标系,贝！。

1(002),(1,2,0),尸(0,2,1)(2,0,0),C(0,2,0),则 CDI=(0,-2,2)/E=(-120)/F=(-2,2,1),设平面A E F的法向量=(xy,z),m.i n-AE=-x+2 y=0则 AT Q I Q I Nn-AF =-2 x+2 y+z=0令 x=2,则“=(2,1,2),设功与平面A E F所成角为0,则 sin叙 的 y_ _为_,吟 工|西；叫丁 京2 升A,/2 故 B 正_确；易得平面C M 的一个法向量为片(0,1,0),m n 1 1cos=-=-7=.|m|-|n|1 x 7 31所以二面角A-EF-C的 余 弦 值 为 故 C 错误；因为瓦方分别是棱5C,CG的中点，所以EF/BC,因为 A DX/BQ,即 EF/ADX,所以平面A E F截正方体所得截面为四边形EF D.A,因为正方体的棱长为 2,所以 A D1 =2/2,EF=724 ED 1F=A/4TT=A/5,所以平面4屏截正方体的截面周长为2 +3 ,故 D 正确.13.(5分)手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳等方面得到全面发展,某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形,其直观图如图所示出产 尸=2”5臼1=240=4,尸,。

分 别 是 棱/民 尸的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是_ _ _ _ _ _ _ _ _.【解析】如图，以D 为坐标原点,0 4 所在直线为x 轴,QC所在直线为y 轴Q A 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为&F=B iF=2MB=AAi=2AD=4,所以 口2,2,0),0,3,5),PQ-J1N 12 2715所以 cos-丽 丽-闻 1 5，因为异面直线PQ与N所成角为锐角，所以异面直线PQ与 所 成 角 的 余 弦日215值正15,2声口 木 1 514.（10分）（2023全国甲卷）在三棱柱48C-451G中44i=24C J_底面48C,N力8=904到平面B C C B的距离为1.(1)求证:4C=4C;(2)若直线AA.与BB距离为2,求AB、与平面5CC出所成角的正弦值【解析】如图，G Bl因为4C J_底面48C,3Cu平面ABC,所以 4 C L 3 C,又 3 C U C 4 c M e t 平面 4 C G 4 4 c n/c=所以5 c L平面4C G 4.又5C u平面B C C M所以平面4 C G 4 _L平面B C C M过4作4。

C G交C G于O,又平面 4平面 3C G 5i=C G 4O u 平面 ACCXAX,。