八种求数列通项的方法已知递推公式求通项公式.doc

求数列通项公式方法归纳一、公式法例1 已知数列满足，，求数列的通项公式解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为二、累加法例2 已知数列满足，求数列的通项公式解：由得则所以数列的通项公式为例3、在数列{}中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则 ，……，逐项相加得：.故.例4 已知数列满足，求数列的通项公式解：由得则所以例5、已知数列满足，求数列的通项公式解：两边除以，得，则，故因此，则例6．在数列中，且，求通项.小练：已知满足，求的通项公式已知的首项，（）求通项公式已知中，，，求三 、累乘法类型 型例7 已知数列满足，求数列的通项公式解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例8已知数列满足，求的通项公式解：因为 ①所以 ②用②式－①式得则故所以 ③由，，则，又知，则，代入③得所以，的通项公式为例9．在数列中，，，求通项.解：由条件等式得，，得.练习：1、已知：，（）求数列的通项2、已知中，且求数列通项公式四、待定系数法 型例10 已知数列满足，求数列的通项公式解：设 ④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。

例11 已知数列满足，求数列的通项公式解：设 ⑥将代入⑥式，得整理得令，则，代入⑥式得 ⑦由及⑦式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则例12 已知数列满足，求数列的通项公式解：设 ⑧将代入⑧式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入⑧式，得 ⑨由及⑨式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则例13．数列满足，求. 解：设，即对照原递推式，便有故由得，即，得新数列是以为首项，以2为公比的等比数列n=1,2,3…），，即通项练习：1、已知满足，求通项公式 2、已知中，，（）求分析：构造辅助数列， ，则[同类变式]1、已知数列满足，且，求通项分析：（待定系数），构造数列使其为等比数列，即，解得求得2、已知：，时，，求的通项公式解：设∴ 解得： ∴ ∴ 是以3为首项，为公比的等比数列∴ ∴ 3、已知数列满足，求数列的通项公式解：两边除以，得，则，故因此，则例7 已知数列的前项和满足（1） 写出数列的前3项；（2） 求数列的通项公式.解：（1）由，得.由,得,由,得(2)当时,有,即 ①令,则,与①比较得,是以为首项,以2为公比的等比数列.,故引申题目：1、已知中，，（）求2、在数列{}中，求通项公式。

解：原递推式可化为： ①比较系数得=-4，①式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2. ∴即.3、已知数列满足，，求数列的通项公式解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为4、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式5、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式6、已知数列满足，求数列的通项公式解：设 ④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，得 ⑤由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故类型5、取倒数例8、已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式解： 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.例9、数列中，且，，求数列的通项公式.[提示] 例10、，求解：即 则例11、数列中，，，求的通项解： ∴ 设 ∴ ∴ ∴ ……      ∴ ∴ 练习：1、在数列中，求．类型6、取对数法例12 若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁解 由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比设 ∴ ∴ ∴ ……      ∴ ∴ 练习：1、在数列中，求．五、对数变换法例10 已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：因为，所以在式两边取常用对数得 ⑩设 将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得 由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则六、迭代法例11 已知数列满足，求数列的通项公式解：因为，所以又，所以数列的通项公式为评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而七、数学归纳法例12 已知数列满足，求数列的通项公式解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论八、换元法例13 已知数列满足，求数列的通项公式解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。