过渡到量子力学.pdf

过渡到量子力学过渡到量子力学 我们考察完全可分离的体系，也就是说，在合适的坐标下，Hamilton 特征函数可以表示成s个函数之和 iW()1,sii iWW qβ==∑ 这里每一个函数仅仅依赖于坐标（量iWiqβ是常数参量） 这意味着每一个广义总动量 (),ii i iidW qWpqdqβ∂==∂仅仅依赖于其共轭坐标： iq()iipp qi= 譬如二维谐振子以及中心立场中单粒子的运动就是这样的完全可分离的体系 对于完全可分离的体系， 坐标可以分为两类 一类如一般中心力场中的运动，变量是周期性的，在区间iqr[]minmax,rr内取值[见右图]； 而角度θ则在区间[)0,2π内取值整个运动是“伪周期”的（除了对于一些特殊类型的中心力， 譬如平方反比力以及弹性恢复力） 一般而言，对于作有界运动的体系，广义坐标对时间的依赖关系有两种可能： minrmaxr坐标以及共轭动量都是周期性的，并且有相同的周期[见图(a)]，q的区域位于区间⎡⎣内，在一个周期里，q从增加到，然后再回到q，例如中心立场中粒子的径向距离或者谐振子的迪卡尔坐标；广义动量i,min,max,ii⎤⎦i,miniq,maxiq,mini第 1 页，共 7 页ip是的周期函数（周期为，见图(b)） iq,0iq()( ),0iiiiip p q+= 例如中心立场中粒子的极角。

iqip iqip,miniq ,maxiq0 iq(a)(b)对于每一个坐标，我们可以定义一个角变量 iq1 2iiiJp dqπ=∫ ?（此处不采用求和约定！ ）这里符号∫?表示在一个周期里积分，即q或者返回到初始值或者增加q i,0i由于我们假设Hamilton函数不显含时间， 因此在不同时间得到的积分数值iJ都是相同的也就是说，iJ不依赖于时间，是一个运动常数这就意味着我们可以通过某个特征函数(),W q（待定）对变量q和Jiip进行变换，新的广义动量iJ都是运动常数由于iJ具有作用量或者说角动量的量纲，因此与其共轭的变量是无量纲的量（通常记为iθ） ，称为角变量iθ可以如下得到： i iW Jθ∂=∂第 2 页，共 7 页这里我不打算对角变量理论作更加深入的讨论，而是介绍一下这个理论在量子力学早期的一些应用 有关量子假设的第一个清晰的公式是要求角变量只能取分离的数值 1, 1,2,3,2iiiJp dqnnπ===∫???这里2hπ=?，是 Planck 常数 346.626 10J sh−=×⋅我们仍然考虑一维谐振子 2 221 22xpHmxmω=+ 角变量等于相空间中的轨道所围椭圆的面积除以2π： 2112222xEEJp dxmEmπππω⎛⎞==⋅⋅⎜⎟ ⎝⎠∫ ?ω= 由量子假设我们就得到 nEnω= ? 因此量子假设给出振子只能取分离能量的结论。

这意味着只有相空间中某些特定的轨道上的运动才是允许的，对于谐振子，我们得到了相轨道所谓面积相差h的椭圆，在这个意义上，相空间具有由允许轨道定义的网状结构 xxp每一个轨道都对应着一个能量，粒子从一个轨道变为另一个就需要吸收（或者释放）能量()nmEEEnmωΔ=能量转移的最小分额为−=−?ω? 由于 Planck 常数非常之小，相空间的这种分离结构只有对于原子尺度所发生的过程才是重要的对于宏观运动，相空间中的轨道是如此稠密，从而我们可以将相空间看作是连续的能量量子ω?对于宏观过程没什么意义，由于它太小了第 3 页，共 7 页譬如原子释放或者吸收能量的典型值在10 100eVω=−?之间， 这里eV（电子 伏 ） 是 人 们 在 计 算 原 子 尺 度 内 的 能 量 转 移 时 常 用 的 能 量 单 位 ， 191eV1.602 10J−=×在 19 世纪末 20 世纪初，物理学家对氢原子的光谱作了细致的测量，总结出了氢原子光谱的一个经验公式，即波长倒数 22111, ,1,2,3,Rn mnmλ⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠? 这里110973731.6mR−=称为 Rydberg（里德堡）常数。

而按照当时人们已知的经典理论这个实验结果实无法解释的，因为按照经典电动力学，我们只应该得到连续的光谱，而不会出现像这样分离的谱线为克服这个问题，Bohr 和Sommerfeld 提出了周期运动的“量子化假设” ，那是说只有对于相空间中满足 1, 0,1,2,2iiiiiJp dqnnπ===∫???的轨道才是自然界所允许的这里积分是在一个运动周期内进行的下面我们就来看一下，这个假设能带给我们什么惊喜！ 电子绕质子运动的 Hamilton 函数为 2222 20 02 0, with 224reepepeHemm rrθ πε=+−= 很容易看出该运动的两个守恒量：由于 Hamilton 函数不显含时间，因此const.HE==；又由于是循环坐标，因此const.pLθ==，的物理含义是角动量 L按照 Bohr–Sommerfeld 的假设，对于切向运动 2011 22, 0,1,2,lp dLdLllLπθθθππ==⇒==∫∫????=即轨道角动量只能取?的整数倍而对径向运动，则有 第 4 页，共 7 页maxminmaxmin222 02112221, 0,1,2,rree rrrkp drm Em erL rarbrcdrkrπππ==+−++==∫∫∫???dr其中 22 020, 2, eeam Ebm ecL=<== −（这里由于我们考察的是氢原子这样一个束缚体系，也就是说，电子的运动是有界的，从而能量只能是小于零的） ；而积分限由0rp =确定，因此 min 2max220 2with 4mmbraarbrc bra bac⎧− +Δ=⎪⎪++=⇒⎨− −Δ⎪=⎪⎩ Δ =−是个相当复杂的积分，我将直接写出其结果 ()()()()maxminmaxmin22112arcsin22arcsin10arcsin1arcsin1210arcsin1arcsin122rrrrarbrckdrrbararbrcabrccrbcabca bcaππππ++=⎡+⎛⎞=++−⎢⎜⎟−Δ⎝⎠⎣⎤+⎛⎞− −⎥⎜⎟Δ⎝⎠⎦⎡⎤=−−−−+⎢⎥−⎣⎦⎡⎤−−+−−−⎢⎥−⎣⎦=−−−∫?b第 5 页，共 7 页因此 4 0 2em eLkE−=−? 如果我们定义“主量子数”0,1,2,nlk= +=?，束缚能量就可以写成 4 0 222e nm eEn= −?除了之外，这个公式与量子力学的结论是完全一致的。

在量子力学中能量最小只能取 0n =()4 220 121 22e nem eEEα= −== −?m c 这里 201 4137e cαπε=??称为精细结构常数，而则是电子的静止能量，因此氢原子的基态能量（即最低能量）为260.511MeV0.511 10 eVem c=×?113.6eVE = −，这意味着想要将氢原子中的电子打出来变为自由电子，就至少需要吸收13.6的能量 eV如果氢原子在一个能量比较高的状态损失一定分额的能量从而变为某个能量较低的状态n， m m<()22 2211 2mneEEEm cnmα⎛⎞Δ=−=−⎜⎟⎝⎠1损失的能量会以光子的形式发射出来，而光子的能量又可以表示为hcλ，因此我们就得到了 2 2 2222 12121111111 22ecm c hnnnnααλλ⎛⎞⎛⎞=−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠− 这里 第 6 页，共 7 页122.426 10me cm c hλ−=×? 称为 Compton 波长将数据代入的话，你发现 2 7111.097 10 m2cα λ−×? 这正是由实验归纳出的 Rydberg 常数的数值！从现代量子力学的观点看，Bohr–Sommerfeld 关于氢原子的解释实际上是错误的，在微观尺度内，轨道这个概念已经变得毫无意义， 但是让人影响深刻的是这样一个基于经典物理的简单图像居然可以得到如此漂亮、而又与量子力学完全一致的结论！ 附录：一些基本物理常数附录：一些基本物理常数 301934120127200.911 10kg1.602 10C6.626 10J s299792458m s1 4137.0652.426 10m1104ee cmehce cm c hcαπελπε−−−−−−=×=×=×⋅=⋅====×=?第 7 页，共 7 页。