专题十一—几何证明.docx

讲义学员编号： 年 级：九年级 课时数：3学员姓名： 科目：数学 学科教师：授课类型T专题 T能力授课日期及时段教学内容：几何综合基础概念回顾(一)全等三角形的判定定理：“SAS"： “ASA"： “AAS"： “SSS"： “HL"： 通过观察和探索发现全等的三角形和全等成立的相关要素1. (2015・常州)如图,在0ABCD中，ZBCD=120,分别延长DC、BC到点E, F,使得△ BCE和厶CDF都是正三 角形.(1) 求证：AE=AF；(2) 求ZEAF的度数.技巧：挖掘隐含条件，构造全等三角形证明线段等几何关系成立2. （2014*重庆）如图，AABC 中，ZBAC=90, AB=AC, ADBC,垂足是 D, AE 平分ZBAD,交 BC 于点 E.在 AABC外有一点F,使FA丄AE, FC丄BC.（1） 求证：BE=CF；（2） 在AB.取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.求证：①ME丄BC；②DE=DN.3. （2015*重庆）如图1,在Z^ABC中，ZACB=90, ZBAC=60,点E是ZBAC角平分线上一点，过点E作AE的 垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点，DH丄AC,垂足为H,连接EF, HF.（1） 如图1,若点H是AC的中点，AC=2>/E，求AB, BD的长；（2） 如图1,求证：HF=EF；（3） 如图2,连接CF, CE.猜想：ACEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由.对全等判定的进一步探究4 （南京2015）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AASJ “SSST和直角三角形全等的判定方法（即 “HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等"的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在厶ABC和厶DEF中，AC=DF, BC=EF, ZB=ZE,然后，对ZB 进行分类，可分为“ZB是直角、钝角、锐角"三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况：当ZB是直角时，AABC^ADEF.（1 ）如图①，在厶ABC和厶DEF, AC=DF, BC=EF, ZB=ZE=90,根据 ▲ ,可以知道RtAABC^RtADEF.第二种情况：当ZB是钝角时，AABC^ADEF・（2） 如图②，在△ ABC 和 Z\DEF, AC=DF, BC=EF, ZB=ZE,且 ZB、ZE 都是钝角，求证：△ ABC竺△ DEF. 第三种情况：当ZB是锐角时，AABC和ADEF不一定全等.（3） 在厶ABC和厶DEF, AC=DF, BC=EF, ZB=ZE,且ZB、ZE都是锐角，请你用尺规在图③中作 出ADEF,使△。

已尸和厶ABC不全等.（不写作法，保留作图痕迹）（4） ZB还要满足什么条件，就可以使厶ABC^ADEF?请直接写出结论：在厶ABC和ADEF中，AC=DF, BC=EF, ZB=ZE,且 ZB、ZE 都是锐角，若 ▲ ,则厶ABC^ ADEF.基础概念回顾（二）：线段垂直平分线到线段的两端 到线段两端 的点在垂直平分线上角的平分线上的点到相等，到 相等的点在角平分线上等腰三角形三线合_： 5. (2013年山东淄博4分)如图，AABC的周长为26,点D, E都在边BC , ZABC的平分线垂直于AE,垂足为Q, ZACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BO10,则PQ的长为【 】35A- ?C. 3D. 4技巧：注意角分线和等腰三角形的联系，可以通过角分线上的点到两边距离相等构造等腰，一般的还可以构造全等三 角形6. (2011秋•武夷山市期末)在图1中，已知ZMAN=120AC平分ZMAN・ZABC=ZADC=90%(1) 求证：△abc^Aadc；(2) 求证：AD+AB=AC；(3) 把题中的条件"ZABC=ZADC=90"改为ZABC+ZADC=180,且DC=BC,如图2,其他条件不变,则(2)中 的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.7. (2014年山东淄博9分)如图，四边形ABCD中，AC1BD交BD于点E,点F, M分别是AB, BC的中点，BN 平分ZABE 交 AM 于点 N, AB=AC=BD.连接 MF, NF.(1) 判断ABN/IN的形状，并证明你的结论；(2) 判断△“尸“与厶BDC之间的关系，并说明理由.技巧：通过角平分线的性质构造全等关系8. （2006・北京）如图①，0P是ZAOB的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1） 如图②，在厶ABC中，ZACB是直角，ZB=60, AD、CE分另是ZBAC、ZBCA的平分线，AD、CE相交 于点F.请你判断并写出FE与FDZ间的数量关系；（2） 如图③，在AABC中，如果ZACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否 仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.技巧：平行线间的角平分线构造等腰三角形，常用套路 如上面的例2 （2014年重庆）9. （2013・南通）如图，在0ABCD中，AB=6cm, AD=9cm, ZBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG1AE,垂足为G, BG=4迈cm,则EF+CF的长为 cm.10・（2014年黑龙江绥化）如图，在矩形ABCD中，AD=V2 AB, ZBAD的平分线交BC于点E, DH丄AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论：ZAED=ZCED；②OE=OD；③BH=HF； @BC - CF=2HE；⑤AB=HF,其中正确的有【 】A. 2个 B.3个 C.4个 D. 5个11. （2016・淄博）如图，已知△ ABC, AD平分ZBAC交BC于点D, BC的中点为M, ME〃AD,交BA的延长线 于点E,交AC于点F.（1） 求证：AE=AF；（2） 求证：BE=i （AB+AC）.基础概念回顾（三）中位线： 中点在解题是一般有这么儿层意思：1, 数量关系2, 隐含中位线3, 隐含直角三角形15. （2016＞德州）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.（1） 如图1,四边形ABCD +，点E, F, G, H分别为边AB, BC, CD, DA的中点.求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2） 如图2,点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB, PC=PD, ZAPB=ZCPD,点E, F, G, H分别为边AB,BC, CD, DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3） 若改变（2）中的条件，使ZAPB=ZCPD=90,其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状.（不必证明）基础回顾（四）三角形的三心：三角形的内心是 的交点，它具有的性质是 三角形的外心是 的交点，它具有的性质是 三角形的重心是 的交点，它具有的性质是 技巧：角平分线往往和等腰三角形三线合一结合起来，看到角分线要想到可以构造等腰16. (2015*北塘区一模)如图1,在平面直角坐标系中，已知点A (-6, 0),点B (0, 8)，点C在y轴上，将ZXOAB 沿直线AC对折，使点0落在边AB上的点D处.(1) 求直线AB、AC的解析式.(2) 如图2,过B作BE丄AC,垂足为E,若F为AB边上一动点，是否存在点F,使C为AEOF内心？若存在，请求 出F点坐标；若不存在，请说明理由.拓展：三角形的重心17. (2013年四川绵阳)我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美 妙的性质，如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心 的概念完成如下问题：AO 2(1) 若O是Z\ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明：—- =AD 3AQ 2(2) 若AD是AABC的一条中线(如图2), O是AD 一点，且满足—试判断O是ZXABC的重心吗？如果AD 3是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若0是AABC的重心，过0的一条直线分别与AB、AC相交于G、H （均不与AABC的顶点重合）（如图3）,SS四边形bchg，Saagh分别表示四边形BCHG和Z\AGH的面积，试探究⑴“曲心的最人值. Saagii（图2）CE3）基础回顾（五）本段讨论三种特殊几何图形等边三角形：等边三角形的判定；等边三角形的边关系；等边三角形的边与血积的关系；等腰直角三角形等腰直角三角形与止方形的关系等腰直角三角形的边长与面积正方形正方形的判沱14. （2012湖北孝感3分）如图，在菱形ABCD中，ZA=60, E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF相交于点G, 连接BD、CG.给出以下结论，其中正确的有（）ZBGD=120；②BG+DG=CG； ABDF^ACGB；④冲 AB2.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个15. （2012广西贵港3分）如图，在菱形ABCD中，AB = BD,点E、F分别在BC、CD上，且BE = CF,连接BF、DE交于点M,延长DE至IJH使DE=BM,连接AM. AH。

则以下四个结论：①△BDF竺Z\DCE；②ZBMD=120③AAMH是等边三角形；④S她形abmd=^AM2o其中正确结论的个数是C. 3A- 1B. 2D. 417. (2014年广西柳州3分)如图，在ZkABC中，分别以AC, BC为边作等边Z\ACD和等边ZXBCE.设AACD、ABCE>AABC的面积分别是Si、S2> S3,现有如下结论：① Si： S2=AC2： BC2；② 连接AE, BD,则厶BCD^AECA；3 o③ 若 AC丄BC,则 S1*S2=-S3 .其中结论正确的序号是—A18. 己知：如图，A、C、B在同一直线上，AADC和ZXBCE都是正三角形，DB、EA分别交CE、DC于G、F.求 证：(1) ZBDC=ZEAC；(2) GC=FC；(3) ACFG是正三角形；(4) FG//AB.19. (2015*丹东模拟)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为 勾股四边形.22. （2013年四川泸州2分）如图，在等腰直角△ ACB=90, O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC 上，且ZDOE=90, DE交OC于点P.则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2） A ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3） CD+CE= JI OA； （4） AD2+BE2=2OP*OC.其中正确的结论有【 】等边三角形和等腰三角形23. （2014年河南省10分）（1）问题发现如图1, AAC。