2.机械工程控制基础(系统数学模型).ppt

机械工程控制基础,主讲人:钟金豹 内蒙古科技大学机械工程学院,一、数学模型的基本概念,1、数学模型,数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程2、 建立数学模型的方法,解析法,依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近这种方法也称为系统辨识数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑实验法,3、数学模型的形式,时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程,复数域：传递函数、结构图,频率域：频率特性,二、系统的微分方程,1、定义：时域中描述系统动态特性的数学模型2、 建立数学模型的一般步骤,分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；,从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；,消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；,标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列,3、 控制系统微分方程的列写,机械系统,机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：,质量,弹簧,阻尼,机械平移系统,式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。

显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量弹簧阻尼系统,系统运动方程为一阶常系数微分方程机械旋转系统,电气系统,电阻,电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感电容,电感,R-L-C无源电路网络,一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程若L=0，则系统简化为：,有源电网络,,即：,例：列写下图所示机械系统的微分方程,解：1)明确系统的输入与输出,输入为f(t),输出为x(t),2)列写微分方程，受力分析,3)整理可得：,小结,物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法） 从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；,通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数线性系统与非线性系统,可以用线性微分方程描述的系统。

如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；,线性系统,线性是指系统满足叠加原理，即：,可加性：,齐次性：,或：,液体系统,设液体不可压缩，通过节流阀的液流是湍流A：箱体截面积；,上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统由节流阀通流面积和通流口的结构形式决定的系数，通流面积不变时，为常数线性系统微分方程的一般形式,式中，a1，a2，，an和b0，b1，，bm为由系统结构参数决定的实常数，mn三、非线性数学模型的线性化,1、 线性化问题的提出,线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系 统工作范围，将非线性微分方程近似为线性 微分方程进行处理非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻 尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由 于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有 铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等2、非线性数学模型的线性化,泰勒级数展开法,函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：,略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：,或：y - y0 = y = Kx，其中：,上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程y0 = f (x0)称为系统的静态方程；,对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。

增量方程：,静态方程：,其中：,滑动线性化切线法,线性化增量增量方 程为：,y y =xtg,切线法是泰勒级数 法的特例3、系统线性化微分方程的建立,步骤,确定系统各组成元件在平衡态的工作点；,列出各组成元件在工作点附近的增量方程；,消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；,实例：液位系统的线性化,解：稳态时：,则：,由于：,注意到：,所以：,实际使用中，常略去增量符号而写成：,此时，上式中H(t)和qi(t)均为平衡工作点的增量4、线性化处理的注意事项,线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关；,线性化是有条件的，必须注意线性化方程适 用的工作范围；,某些典型的本质非线性，如继电器特性、间 隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不 能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对 系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作 为非线性问题处理例：液压伺服机构,解：1）明确系统输入与输出：输入为x,输出为y,2)列写原始微分方程：,3)非线性函数线性化：,4)代入方程，整理可得：,四、拉氏变换和拉氏反变换,1、拉氏变换,设函数f(t) (t0)在任一有限区间上分段连续， 且存在一正实常数，使得：,则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：,式中：s=+j（，均为实数）；,称为拉普拉氏积分；,F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；,L为拉氏变换的符号。

2、拉氏反变换,L1为拉氏反变换的符号3、几种典型函数的拉氏变换,单位阶跃函数1(t),指数函数,（a为常数）,正弦函数与余弦函数,由欧拉公式，有：,从而：,同理：,单位脉冲函数(t),由洛必达法则：,所以：,单位速度函数（斜坡函数）,单位加速度函数,函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到5、拉氏变换的主要定理,叠加定理,齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数；,叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) a，b为常数；,显然，拉氏变换为线性变换实微分定理,证明：由于,即：,所以：,同样有：,当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：,当f(t)在t=0处具有间断点时，df(t)/dt在t=0处将包含一个脉冲函数故若f(0+) f(0)，则：,积分定理,当初始条件为零时：,若f(0+) f(0)，则：,证明：,同样：,当初始条件为零时：,延迟定理,设当t<0时，f(t)=0，则对任意0，有：,位移定理,例：,初值定理,证明：,初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。

终值定理,证明：,又由于：,即：,终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同7、求解拉氏反变换的部分分式法,部分分式法,如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：,F(s)=F1(s)+F2(s)++Fn(s),假定F1(s), F2(s), ，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：,L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)++L-1Fn(s),= f1(t) + f2(t) + + fn(t),在控制理论中，通常：,为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式：,式中，p1，p2，，pn为方程A(s)=0的根的负值，称为F(s)的极点；ci=bi /a0 (i = 0,1,,m)此时，即可将F(s)展开成部分分式F(s)只含有不同的实数极点,式中，Ai为常数，称为s = -pi极点处的留数实际常如下计算：,解：,即：,例 求所示象函数的原函数f（t）,解：,其中：p10、p2-2、p3-5,同理：A2=0.5、A30.6,其反变换为：,F(s)含有共轭复数极点,设共轭复数根p1+j、p2 j,或,F(s)含有重极点,设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则：,式中，Ar+1，，An利用前面的方法求解。

例 求所示象函数的原函数,解：A（s）0有 p11的三重根、p20的二重根，所以F（s）,可以展开为：,从而：,解：,于是：,8、 应用拉氏变换解线性微分方程,求解步骤,将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解解：对微分方程左边进行拉氏变换：,即：,对方程右边进行拉氏变换：,从而：,所以：,查拉氏变换表得：,当初始条件为零时：,零输入响应:无输入时系统的初态引起的自由响应,零状态响应:无输入时系统初态为零而仅由输入引起的响应,应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到由上述实例可见：,系统响应可分为两部分：零状态响应和零输 入响应,五、传递函数,1、传递函数的概念和定义,传递函数,在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比零初始条件：,t0时，输入量及其各阶导数均为0；,输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导数也均为0；,传递函数求解示例,质量-弹簧-阻尼系统的传递函数,所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：,按照定义，系统的传递函数为：,R-L-C无源电路网络的传递函数,所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：,几点结论,传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。

若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的固有动态特性传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性即以系统外部的 输入输出特性来描述系统的内部特性传递函数的一般形式,考虑线性定常系统,当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：,令：,则：,N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根特征方程决定着系统的动态特性N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次2、特征方程、零点和极点,特征方程,式中，K称为系统的放大系数或增益当s=0时：G(0)=bm/an=K,从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零因此K 反应了系统处于静态时，输出与输入的比值零点和极点,将G(s)写成下面的形式：,N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点； 决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性,式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点； 影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性,系统传递函数的极点就是系统的特征根。

零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数零、极点分布图,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图图中，零点用“O”表示，极点用“”表示3、传递函数的几点说明,传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只适用于线性定常系统；,传递函数是 s 的复变函数传递函数中的各 项系数和相应微分方程中的各项系数对应相 等，完全取决于系统结构参数；,传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；,传递函。