高斯求积公式课件.ppt

高斯求积公式§引言§求积公式§高斯求积公式的系数和余项§举例 高斯求积公式引言n+1个节点的插值求积公式个节点的插值求积公式的代数精确度不低于的代数精确度不低于n求积公式求积公式,能不能在区间能不能在区间[a,b]上适当上适当选择选择n个节点个节点x1,x2,……,xn,使插值求积公式使插值求积公式的代数精度高于的代数精度高于n？？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到达到2n+1，，这就是所要介绍的高斯求积公式这就是所要介绍的高斯求积公式为考虑一般性为考虑一般性,设求积公式为设求积公式为注意此时的代数精度最高为注意此时的代数精度最高为2n-1高斯求积公式（一）定理：（一）定理： 求积公式求积公式 的的代数精度最高不代数精度最高不超超2n-1次 证明：分别取证明：分别取 f(x)=1, x，，x2，，...xn 时代入公式，并让其成为等式得时代入公式，并让其成为等式得 A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ …… +xn An =∫abxdx.= （（b2-a 2)/2 ...... x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 上式共有上式共有 r 个个 等式，等式，2n个待定系数个待定系数(变元变元),要想如上方程组有唯一解，应有要想如上方程组有唯一解，应有方程组中方程的个数等于变元的个数方程组中方程的个数等于变元的个数,即即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的这样求出的解答应的求积公式的代数精度至少是代数精度至少是2n-1,下面下面证明代数精度只能是证明代数精度只能是2n-1. [ 如果事先已选定如果事先已选定[a ，，b]中求积节点中求积节点xk如下如下a x1  …x n b,上式成为上式成为n个未知个未知数数 A1、、...An的的n元线性方程组，此时要元线性方程组，此时要r=n 时方程组时方程组有唯一解有唯一解] 高斯求积公式 事实上,取 2n次多项式次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有左= 右= =0左右,故不成立等式,定理得证. 定义定义: 使求积公式使求积公式达到最高代数精度达到最高代数精度2n-1的求积公式称为的求积公式称为Guass求积公式求积公式Guass求积公式的节点xk称为Guass点点,系数Ak称为Guass系数系数.因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论结论:插值型插值型求积公式的代数精度求积公式的代数精度d满足满足：：n-1  d 2n-1高斯求积公式　定理定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。

高斯求积公式的系数高斯求积公式的系数Ak恒为正恒为正,故高斯求积公式是稳定的故高斯求积公式是稳定的.§Guass求积公式有多种求积公式有多种,他们的他们的Guass点点xk, Guass系数系数Ak都有表可以查询都有表可以查询.高斯求积公式常用的高斯求积公式常用的高斯求积公式　　1.Gauss - Legendre 求积公式求积公式　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)　其中高斯点为Legendre多项式的零点 Ln(x)=对于一般有限区间对于一般有限区间[a,b]，，用线性变换用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成使它变成为为[-1,1]高斯求积公式 n xk(n) Ak(n) Rn1 0 2 2 -0.5773503 1 +0.5773503 1 3 -0.7745967 5/9=0.5555556 +0.7745967 5/9=0.5555556 0 8/9=0.8888889 4 -0.8611363 0.3478548 -0.3399810 0.6521452 +0.3399810 0.6521452 +0.8611363 0.3478548 5 -0.9061799 0.2369269 -0.5384693 0.4786287 0 0.5688889 +0.5384693 0.4786287 +0.9061799 0.2369269 Gauss- Legendre 点点及及系系数数表表高斯求积公式例题例题利用高斯求积公式计算利用高斯求积公式计算［解］令x=1/2 (1+t), 则用高斯-Legendre求积公式计算求积公式计算.取n=5 积分精确值为　　　I=ln2=0.69314718…　　由此可见，高斯公式精确度是很高的高斯求积公式2.Gauss - Chebyshev 求积公式求积公式　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)　其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点 Tn(x)=cos(narccos(x))高斯求积公式　3.Gauss - Laguerre 求积公式求积公式　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)　4 .Gauss - Hermite 求积公式求积公式 (4)高斯求积公式例题例题:分别用不同方法计算如下积分分别用不同方法计算如下积分,并做比较并做比较令I=§各种做法比较如下：§一、Newton-Cotes公式公式§当n=1时，即用梯形公式，I=0.9270354§当n=2时, 即用Simpson公式,I=0.9461359§当n=3时,I=0.9461090§当n=4时,I=0.9460830§当n=5时,I=0.9460831高斯求积公式§二二:用复化梯形公式用复化梯形公式§令h=1/8=0.125§三：用复化抛物线§令h=1/8=0.125高斯求积公式§四、 Romberg公式公式§K Tn Sn Cn Rn§0 0.9207355 §1 0.9397933 0.9461459§2 0.9445135 0.9460869 0.9400830§3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831高斯求积公式§五、五、Gauss公式公式§令x=(t+1)/2,§用用2个节点的个节点的Gauss公式公式§用用3个节点的个节点的Gauss公式公式§ § =0.9460831§ 高斯求积公式比较§此例题的精确值为0.9460831...§由例题的各种算法可知：§对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。

§对复化梯形公式有2位有效数字，对复化抛物线公式有6位有效数字§用复合梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字§用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果§用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果高斯求积公式总结§1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果复化梯形公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛§2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算量很有好处并有比较简单的误差估计方法Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前面的计算的函数值不能被后面利用计算过程比较麻烦，但精度高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法所不能比的高斯求积公式。