数学：第7讲《蝴蝶模型》.pdf

五年级数学星队秋季班第七讲 蝴蝶模型 例 1 任意四边形中的蝴蝶模型： （1）如图，四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O， 图形中出 现了 4 个小三角形；其中有 3 个 小三角形的面积被标注出来了， 请写出第 4 个小三角形的面积. 【答案】 1.5 321ODCBA【解析】 设所求面积为 x，则根据等高模 型，2AD （或4BC ） ，故 1.5x . （2）一个四边形的两条对角线 会将这个四边形分成4个小三角 形，若这 4 个小三角形的面积分 别为 S1、S2、S3、S4（如图） ，那 么:OA OC  = = ，S1、 S2、S3、S4之间有怎样的关系？ S4S3S2S1ODCBA【答案】 1423:::OA OCSSSS1243():()SSSS；1423::SSSS，或写作1324SSSS 【解析】 比例式可由等高模型和风筝模 型推出. 本题答案即为任意四边 形中的蝴蝶模型的结论：两组 “翅膀”各自的面积乘积相等. 练一练 如图,某公园的外轮廓是四边形 ABCD,被对角线 AC、BD 分成四 个部分,△AOB 面积为 1 平方千 米 ,△BOC 面 积 为 2 平方千 米,△COD 的面积为 3 平方千米.公园由陆地和人工湖（阴影）组 成,其中陆地面积是 6.92 平方千 米,求人工湖的面积是多少平方 千米? 【答案】 0.58 【解析】 根据蝴蝶模型，有AOBCODBOCAODSSSS△△△△， 即1 32BOCS △，解得 3 1 21.5BOCS  △平方千米，ODCBA公园四边形 ABCD 的面积是 123 1.57.5 平方千米， 所以人工湖的面积是 7.56.920.58平方千米. 例 2 在三角形 ABC 中，已知 M、N 分别在边 AB、 AC 上， BN 与 CM 相交于点 O，若三角形 MOB、 BOC、 CON 的面积分别为 3、 2、 1，则三角形 AMN 的面积是多 少？ 123ONCBMA【答案】 22.5 【解析】 本题条件较少，需要运用蝴蝶模 型和共边比例模型共同求解： 设所求面积为 x；由任意四边形 中的蝴蝶模型可知 3 1 21.5MONS  △；又由等高模型可知AMCAMNBMCBMNSSAM MBSS△△△△，即2.5 54.5xx，解得22.5x . 例 3 梯形中的蝴蝶模型： 如图，梯形 ABCD 中，AD 平行 于 BC，对角线 AC、BD 相交于 点 O；4 个小三角形的面积分别是 S1、S2、S3、S4； 1. 若22S ，34S ，那么梯形 ABCD 的面积是多少？ 2. 这 4 个小三角形中有没有面 积相等的两个？是哪两个？为 什么它们的面积相等？ 3. 若已知上底ADa，下底 BCb，那么： :OA OC  ； :OD OB  ； 12:SS  ；14:SS  ；S4S3S2S1ODCBA23:SS  ；43:SS  ； 13:SS  . 【答案】 （1）9； （2）24SS； （3）除了 最后一个比是22:ab，其他的比 都是:a b 【解析】 (1)由风筝模型,可知 ::ABDCBDOA OCSS△;根据“等 底等高的三角形面积相等”可知ABDACDSS△△,CBDCBASS△△, :::ACDCBAOA OCSSOD OB△; 而23::1:2OA OCSS,故:1:2OD OB ,所以12112SS,4322SS,故124312249ABCDSSSSS  ; (2)由于ABDACDSS△△,根据“等量 减等量仍为等量”,可知11ABDACDSSSS△△,即24SS; (3)承接第(1)问中的分析,由于三 角形 ABD 和三角形 CBD 的高相 等,故其面积之比等于底之比,即 :::ABDCBDSSAD BCa b△,但在第一问的分析中,我们已经得 到了:ABDCBDSS△::OA OCOD OB,故知 ::::OA OCOD OBAD BCa b ; 故12142343:::::SSSSSSSSa b ,而131223:(:) (:)( : ) ( : )SSSSSSa ba b练一练 如图， 已知 ABCD 是平行四边形， 四个区域中有三个的面积已在 图中标出（单位：平方厘米） ， 请求出阴影部分的面积. 【答案】 4 平方厘米 【解析】 连接 AC，根据梯形中的蝴蝶模 型，在梯形 ACED 中， 2::8SS阴影阴影，可知4S阴影平 方厘米 FEDCBA2816例 4 如图，一个长方形被一些直线分 成了若干个小块，已知三角形 ABG 的面积是 11，三角形 CDH 的面积是 23，请求出四边形 EGFH 的面积. 【答案】 34 【解析】 连结 EF，显然四边形 ABEF 和 四边形 DCEF 都是梯形， 根据梯 形蝴蝶模型中的“翅膀相等”，可?23 11HGFEDCBA以得到：三角形 EFG 的面积等 于三角形 ABG 的面积；三角形 EFH 的面积等于三角形 CDH 的 面积， 所以四边形 EGFH 的面积 是112334. 例 5 （1）如图，已知大正方形边长 为 10 厘米，请求出阴影部分的 面积； （2）如图，已知小正方形边长 为 6 厘米，请求出阴影部分的面10积； （3）如图，正方形 ABCD 和正 方形 ECGF 并排放置， BF 与 EC 相交于点 H，已知6AB 厘米， 则阴影部分的面积是多少平方 厘米？ 6HGFEDCBA6【答案】 （1）50 平方厘米； （2）18 平方 厘米； （3）18 【解析】 （1）如下图做出辅助线，易证 两正方形的对角线是相互平行 的，故图形中出现了梯形蝴蝶模 型；根据梯形蝴蝶模型中的“翅 膀相等”，可以将阴影面积转化 为大正方形面积的一半，故答案 为10 10250平方厘米. 可见 阴影部分的面积与小正方形的 大小并无关系. 10（2）如下图做出辅助线，易证 两正方形的对角线是相互平行 的，故图形中出现了梯形蝴蝶模 型；根据梯形蝴蝶模型中的“翅 膀相等”，可以将阴影面积转化 为小正方形面积的一半，故答案 为6 6218 平方厘米. 可见 阴影部分的面积与大正方形的 大小并无关系. （3）如下图，连接 FD、FC； 首先利用梯形蝴蝶模型中的“翅 膀相等”将三角形DHC的面积等 积变换成三角形 DHF 的面积，6则问题变为求三角形 DBF 的面 积；根据上一问的分析可知：再 次利用梯形蝴蝶模型中的“翅膀 相等”可证明DBFDBCSS△△，而 6 6218DBCS △平方厘米， 故阴影面积为 18 平方厘米. 练一练 如图，ABCD 和 CGEF 是两个正 方形， AG 和 CF 相交于 H， 已知 CH 等于 CF 的三分之一，三角 形CHG的面积等于6平方厘米， 求五边形 ABGEF 的面积. HGFEDCBA6【答案】 49.5 平方厘米 【解析】 如图，连接 AC、FG，则 AC 平 行于 FG，四边形 ACEG 是梯形 （图中数字单位：平方厘米） ： 6HGFEDCBA4.518 123 66HGFEDCBA结合:1:2CH HF ，由梯形蝴蝶 模 型 可 以 得 到 如 下 结 论 ： 6AHFCHGSS△△平 方 厘 米 ， 1632AHCS△平 方 厘 米 ，26121GHFS△平方厘米； 故知12618CFGS△平方厘米，所以1182EFGCFGCGEFSSS△△平方厘米；大正方形面积为 36 平方厘米，边长为 6 厘米，故知 2HC 厘米； 所以在三角形 AHC 中，运用三 角形面积公式可知 3 223AD  厘米，故小正方 形面积为 9， （或者可由 AC 是 FG 的一半，同样可以得到得知D 是 CF 中点）924.5ABCS△ 平方厘米. 综上， 366 12 184.549.5ABGEFS 平方厘米. 例 6 （1）如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，AE 与 BC 相交 于 G 点，三角形 BEG 的面积为 1 平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是多少平方厘米？ GEDCBA【答案】 12 【解析】 连接 ED；因为 E 是 BC 边上的 中点，所以:1:2BE AD ，根据 梯形蝴蝶模型可以知道： :::BEGABGDEGADGSSSS△△△△ 221 :(1 2):(1 2):21:2:2:4， 又由等高模型知 123ECDEBDSS △△，所以 1224312ABCDS 平方 厘米. （2）如图，面积为 12 平方厘米 的正方形 ABCD 中，E、F 是 BC 边上的三等分点，求出阴影部分 的面积. 【答案】 3 平方厘米 【解析】 因为 E、F 是 BC 边上的三等分 点，所以:1:3EF AD ，设 1GEFS△份，根据梯形蝴蝶模型 可以知道3AGEDGFSS△△份， 9AGDS△份；又根据等高模型有 1 34ABEDCFEFDSSS △△△ 份，因此正方形的面积为 1 3394424  份， 336S阴影份，故 :6:241:4SS阴影正方形，所以FGEDCBA1243S阴影平方厘米. 例 7 如图，在一个边长为 6 的正方形 中， 放入一个边长为2的正方形， 保持与原正方形的边平行，如图 在大正方形与小正方形的一些 顶点之间连线，形成了图中的阴 影图形，请问：阴影部分的面积 是多少？ 【答案】 14 【解析】 本题中小正方形的位置不确定， 所以可以通过取特殊值的方法 来快速求解，也可以采用梯形蝴 蝶模型来解决一般情况. 解法一（快速解决填空题） ：取 特殊值，使得两个正方形的中心 相重合，如下图所示，图中四个 空白三角形的高均为 1.5，因此 空白处的总面积为 6 1.52 42 222  ，阴影部 分的面积为6 62214 . 解法二（严谨的证明） ：连接两 个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都 为 2，下底都为 6，上底、下底 之比为2:61:3，根据梯形蝴蝶 模型，这四个梯形每个梯形中的 四个小三角形的面积之比为221 :1 3:1 3:31:3:3:9，所以 每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的9 16， 阴影部分的面积占该梯形面积的7 16， 所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的7 16，故阴影部分的面积为227(62 )1416. 例 8 如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、 CD 上靠近 C 点的三 分点，连接 BF、DE，相交于点 G，过 G 点作线段 MN、PQ，得 到大、小两个正方形 AMGP 和 GQCN，请问这大、小两个正方 形的面积之比是多少？ 【答案】 9:1 【解析】 连接 BD、EF，则在金字塔 CEF-CBD 中， ::1:3EF BDEC BC，故根据QPNMGFEDCBA梯形中的蝴蝶模型可知 ::1:3GE GDEF DB； 又沙漏 GPD-GEQ中，::GE GDGQ GP， 故:1:3GQ GP ，所以 22::SSGPGQ大正方形小正方形 223 :19:1. QPNMGFEDCBA。