疲劳与断裂第三章疲劳应用统计学基础.ppt

第三章第三章 疲劳应用统计学基础疲劳应用统计学基础第三章第三章 疲劳应用统计学基础疲劳应用统计学基础3.1 3.1 疲劳数据的分散性疲劳数据的分散性1) 实验： 7075-T6铝 R=-1,恒幅 45678X=lgN 1050 99.9Pf 100 7075-T67075-T6铝合金铝合金对数疲劳寿命分布对数疲劳寿命分布2430.117030999051Sinclair和Dolan,1953.应力水平应力水平越低，寿越低，寿命越长，命越长，分散性越分散性越大大15 207MPa下下 57件，寿命件，寿命: 2×106  108次；次； 240MPa下下 29件，寿命件，寿命: 7×105  4×106次次 275MPa下下 34件，寿命：件，寿命：1×105  8×105次次 310MPa下下 29件，寿命：件，寿命：4×104  1×105次次 430MPa下下 25件，寿命：件，寿命：1.5×104 2×104次分散性：分散性：共共174174件件NS(MPa)4003002001010410101010101010105678klgN2015105678+207 MPa共共57件件 寿命分布直方图寿命分布直方图100 102 倍倍对对对对数数数数正正正正态态态态分分分分部部部部Duo to the random nature of fatigue process, the life of components and structures cannot be predicted by using conventional deterministic approaches. For an accurate fatigue life prediction only probability-based models can be used in engineering design and systems analysis. 由于疲劳过程中固有的随机性，结构和构件的寿由于疲劳过程中固有的随机性，结构和构件的寿由于疲劳过程中固有的随机性，结构和构件的寿由于疲劳过程中固有的随机性，结构和构件的寿命不能用传统的确定性方法预测。

在工程设计和命不能用传统的确定性方法预测在工程设计和命不能用传统的确定性方法预测在工程设计和命不能用传统的确定性方法预测在工程设计和系统分析中，准确的疲劳寿命预测只有采用以概系统分析中，准确的疲劳寿命预测只有采用以概系统分析中，准确的疲劳寿命预测只有采用以概系统分析中，准确的疲劳寿命预测只有采用以概率为基础的方法率为基础的方法率为基础的方法率为基础的方法材质不均匀，加工质量，加载误差，试验环境等材质不均匀，加工质量，加载误差，试验环境等原因原因：：裂纹、缺口件的疲劳破坏局限在裂纹或缺口高应裂纹、缺口件的疲劳破坏局限在裂纹或缺口高应力局部，上述因素影响较小力局部，上述因素影响较小光滑件寿命分散光滑件寿命分散> >缺口件缺口件> >裂纹扩展寿命裂纹扩展寿命 给定应力水平下，寿命小于给定应力水平下，寿命小于N的概率的概率pf？？ 存活率为存活率为ps（（如如99%）的疲劳寿命？）的疲劳寿命？问题问题疲劳寿命常用对数正态分布、威布尔分布描述疲劳寿命常用对数正态分布、威布尔分布描述0f(x) x=X正态概率密度曲线正态概率密度曲线3.2 正态分布正态分布 对数疲劳寿命对数疲劳寿命lgN常常是服从正态分布的。

常常是服从正态分布的 令令X=lgN, X 即服从正态分布即服从正态分布一、正态分布的密度函数和分布函数一、正态分布的密度函数和分布函数密度函数：密度函数：( - x)=1-F(x) F(   )=二、二、 标准正态分布标准正态分布令令, , 即有：即有：注意注意 dx=dx= du, du, 由由密度函数变换密度函数变换密度函数变换密度函数变换公式可得到公式可得到标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布密度函数密度函数密度函数密度函数为：为： ( - 

的正态分布标准正态分布函数标准正态分布函数标准正态分布函数标准正态分布函数则为：则为：u<0或或 (u)<0.5，，利用利用 (-u)=1- (u)的关系求解的关系求解注意有：注意有：  (0)=0.5 ；；  (-u)=1- (u)；； Pr(a

的度量，反映分散性大小只有只有(n-1)个偏差独立个偏差独立u up p可由可由可由可由p p确定存活概率存活概率存活概率存活概率R=1-pR=1-p3) 存活率为存活率为99.9%的寿命：的寿命： xp=2.1674-3.09×0.05=2.013 R=99.9%的安全寿命为：的安全寿命为： Np=lg-1xp=103 (千周千周)例例例例3.13.1 在某应力水平下，测得表中一组疲劳寿命数在某应力水平下，测得表中一组疲劳寿命数在某应力水平下，测得表中一组疲劳寿命数在某应力水平下，测得表中一组疲劳寿命数 据据据据N Ni i试确定存活率为试确定存活率为试确定存活率为试确定存活率为99.9%99.9%的安全寿命的安全寿命的安全寿命的安全寿命N N解解解解：将：将：将：将N Ni i从小到大排列；从小到大排列；从小到大排列；从小到大排列；1)1)计算样本均值和标准差；计算样本均值和标准差；计算样本均值和标准差；计算样本均值和标准差； =2.1674 =2.1674 s=0.05 s=0.05；；；； ( (n=10)n=10)2) 2) 确定标准正态偏量确定标准正态偏量确定标准正态偏量确定标准正态偏量u up p。

p=1-R=0.001=0.1% p=1-R=0.001=0.1% 查表查表查表查表3.13.1得：得：得：得：u up p=-3.09=-3.09序号iN /10i312345678910124134135138140147154160166181xi24.38234.52464.53824.57924.60574.69724.78524.85814.92885.0972S21.6735 46.9965x =lgNii2.09342.12712.13032.13992.14612.16732.18752.20412.22012.2577若若若若   =95%=95%，意味着，意味着，意味着，意味着100100个样本估计的个样本估计的个样本估计的个样本估计的x xp p中，有中，有中，有中，有9595个个个个小于小于小于小于x xp(p(   ) )即有95%95%的把握认为估计量小于真值的把握认为估计量小于真值的把握认为估计量小于真值的把握认为估计量小于真值四、置信水平四、置信水平估计量估计量Np= +ups，，若大于真值若大于真值 +up ，偏于危险。

偏于危险置信度置信度  ：估计量小于真值的概率估计量小于真值的概率破坏率破坏率p p，置信度，置信度 的对数寿命写为：的对数寿命写为：单侧容限系数单侧容限系数k k：：有表可查有表可查若若u =0, 有有k=up，则，则xp( )= +ups；； =50%五、五、 正态概率纸正态概率纸问题：问题：X是否服从正态分布？是否服从正态分布？已知：已知：x F(x)关系：关系： 非线性非线性 x u 关系：关系： 线性线性 F(x)= (u)  u：：一一对应一一对应 能否作出能否作出 x F(x) 呈线性呈线性关系关系的的坐标纸？坐标纸？先画先画x-u坐标，即若随机变量坐标，即若随机变量X服从正态分布，则服从正态分布，则有线性关系；再按有线性关系；再按u- (u)关系，依据关系，依据u标定标定F(x)，，则线性关系不变则线性关系不变若若X服从正态分布，服从正态分布，F(x)-x在概率纸上呈线性在概率纸上呈线性x正态概率纸正态概率纸up0321-1-2-3p 1000.010.1150103070909999.9利用正态概率纸检验随机变量利用正态概率纸检验随机变量X是否服从正态分布，是否服从正态分布，需需xi F(xi)数据描点，由其是否线性作出判断。

数据描点，由其是否线性作出判断 F(xi)是对数寿命是对数寿命X小于小于xi的概率，即的概率，即破坏概率破坏概率其其均秩估计量均秩估计量为：为： F(xi)=pi=i/(n+1) 无论无论X服从何种分布，服从何种分布，此式均适用此式均适用 序号iN /10i3x =lgNiiin+1123456789101241341351381401471541601661812.09342.12712.13032.13992.14612.16732.18752.20412.22012.25770.09090.18180.27270.36360.45450.54550.63640.72730.81820.9091例例3.1之之xi F(xi)数据如表所数据如表所列，可在正态概率纸上描列，可在正态概率纸上描点，观察是否呈线性，判点，观察是否呈线性，判断断X是否服从正态分布是否服从正态分布样本标准差样本标准差s？？ 利用利用p=15.87时，时，up=-1；；由图得到：由图得到：xp=2.114；；例例例例3.13.1之数据描点如图之数据描点如图之数据描点如图。

之数据描点如图注意：用注意：用s=ctgq q估计标估计标准差时，必须准差时，必须x、、u的坐的坐标标定一致标标定一致可知：可知：可知：可知：X X是否服从正态分布？是否服从正态分布？是否服从正态分布？是否服从正态分布？均值均值？？(与与50%破坏率对应破坏率对应) =2.167由由xp= +ups；有：；有： s=(xp- )/up= -xp =2.167-2.114=0.053P 1000.1150103070909999.92.12.22.3x=lgN3210-1-2-3uxq q分析计算框图：分析计算框图： 疲劳试验疲劳试验 R R、、S S给定给定 样本数据样本数据 n个个N 排序排序i 破坏率破坏率 F(Ni)=i/(n+1) 概率纸上描点概率纸上描点 [x=lgNi ,F(Ni)]是否正是否正态分布态分布线性？线性？ 估计分布参数估计分布参数 ,s ( ,s (计算或图解法计算或图解法) )x给定破坏概率给定破坏概率pf下下的疲劳寿命？的疲劳寿命？寿命寿命N对应对应的的pf？？ up=(lgN- )/s; pf = (up)xxp=lgNp= +upsx寿命有大于零的下限寿命有大于零的下限, , 正态分布不能反映。

正态分布不能反映3.3 威布尔分布威布尔分布 Weibull 1951一、密度函数和分布函数一、密度函数和分布函数一、密度函数和分布函数一、密度函数和分布函数1. 密度函数密度函数定义为：定义为： ( N N0 ) 下限下限下限下限 N N0 0，，，，最小寿命最小寿命最小寿命最小寿命; ; 尺度参数尺度参数尺度参数尺度参数 N Na a，，，，反映数据的分散性；反映数据的分散性；反映数据的分散性；反映数据的分散性； 形状参数形状参数形状参数形状参数 b b；反映；反映；反映；反映f(N)f(N)曲线形状曲线形状曲线形状曲线形状三个三个参数参数f (N)N-NN -N00ab=1b=3.5-4b=2Weibull密度函数曲线密度函数曲线0指数指数Reyleigh正态分布正态分布N=NN=N0 0，，，，F(NF(N0 0)=0)=0，即寿命小于，即寿命小于，即寿命小于，即寿命小于N N0 0的概率为零；的概率为零；的概率为零；的概率为零； N=NN=Na a，，，，F(NF(Na a)=1-1/e=0.632)=1-1/e=0.632，，，，N Na a称特征寿命参数。

称特征寿命参数称特征寿命参数称特征寿命参数2. 分布函数分布函数：F(N)--寿命小于等于寿命小于等于 N的概率令令 x=(N-N0)/(Na-N0), 则有则有 dN=(Na-N0)dx, 可得：可得：注意注意 F(N)=F(x), 故故得得Weibull分布函数分布函数F(N)为：为：变量变量 lglg[1-F(N)]-1 lg(N-N0) 间有间有线性关系线性关系；；或或 lg[1-F(N)]-1 (N-N0) 间有对数线性关系间有对数线性关系B 是直线的斜率，称斜率参数是直线的斜率，称斜率参数将分布函数式改写为：将分布函数式改写为：将分布函数式改写为：将分布函数式改写为：取二次对数后得到：取二次对数后得到：取二次对数后得到：取二次对数后得到：3. 二参数威布尔分布函数二参数威布尔分布函数令令N N0 0=0=0，则，则 二参数威布尔分布二参数威布尔分布能否作出威布尔概率纸？能否作出威布尔概率纸？N-F(N)，非线性关，非线性关 系；系；lglg[1-F(N)]-1-lg(N-N0)，线性，线性lglg[1-F(N)]-1-F(N)，一一对应，一一对应二、分布参数的图解估计二、分布参数的图解估计二个问题：二个问题：N N是否服从威布尔分布？是否服从威布尔分布？如何确定其分布参数？如何确定其分布参数？0.90.50.1F(N)lglg[1-F(N)]-1F(N)lglg[1-F(N)]-10.010-0.521-1.339-2.360F(N)lglg[1-F(N)]-1—对应值对应值结论：可作威布尔概率纸。

结论：可作威布尔概率纸若若N服从威布尔分布，概率纸上服从威布尔分布，概率纸上lg(N-N0)-F(N)应有应有线性关系线性关系威布尔概率纸威布尔概率纸lg(N-N )0 0456lglg[1-F(N)]-10-0.5-1.0-1.5-2.00.90.50.10.050.02F(N)解解：：1））Ni排序排序, 估计估计F(Ni) 2）估计下限）估计下限: 0 N0 N1例例3.2 二组疲劳寿命数据如表判断其是否二组疲劳寿命数据如表判断其是否 服从威布尔分布并估计分布参数服从威布尔分布并估计分布参数iN (10 )5N (10 )5例例 A例例 B123456782.03.75.08.011.513.020.023.54.05.06.07.38.09.010.613.0F(N)=1n+10.1110.2220.3330.4440.5560.6670.7780.889 .1.5120.90.50.1F(N)威布尔概率的应用威布尔概率的应用0.050.02N-N0(10 )6ABB'0.632B'：：N0=N1/2=2×105A、、B：：N0=0注意注意 F(N)=0.9时，时，lglg[1-F(N90)]-1=0, 有：有：N Na a对应的破坏概率为对应的破坏概率为对应的破坏概率为对应的破坏概率为63.2%63.2%。

3) 3) 估计分布参数估计分布参数估计分布参数估计分布参数N Na a和和和和b b如如A：：N90-N0=23.5×105, Na-N0=11.5×105有：有： b=0.3622/lg(23.5/11.5)=1.17 A组：组： Na-N0=11.5×105, 因为因为N0=0，，Na=11.5×105；；B‘组：组：Na-N0=6.8×105, N0=2×105，，Na=8.8×105 .1.5120.90.50.1F(N)N-N0(10 )6AB'0.632 对对于于给给定定应应力力水水平平的的一一组组寿寿命命数数据据Ni，，估估计计其其对对应应的的破破坏坏概概率率F(Ni), 在在威威布布尔尔概概率率纸纸上上描描点点，，即即可可判判断断其其是是否否服服从从威威布布尔尔并估计分布参数并估计分布参数 .1.5120.90.50.1F(N)威布尔概率的应用威布尔概率的应用0.050.02N-N0(10 )6ABB'0.632框图：框图： 疲劳试验疲劳试验 R R、、S S给定给定 样本数据样本数据 n个个N 排序排序i 破坏率破坏率 F(Ni)=i/(n+1) 取取N0，， 概率纸上描点概率纸上描点 [x=lg(Ni-N0 ) , F(Ni)] 是否是否Weibull 分布分布线性？线性？调整调整N0 估计分布参数估计分布参数 N0 , b , b；； 给定破坏概率给定破坏概率pf =F(N)下下的疲劳寿命的疲劳寿命N？？寿命寿命N对应对应的的pf？？习题：习题：3-2，，3-5b) (取取N0=50 千周千周) 再再 见见 再再 见见 再再 见见 再再 见见再见！谢谢！第一次课完请继续第二次课返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录第三章第三章 疲劳应用统计学基础疲劳应用统计学基础3.1 疲劳数据的分散性疲劳数据的分散性3.2 正态分布正态分布3.3 威布尔分布威布尔分布 3.4 二元线性回归分析二元线性回归分析3.5 S-N曲线和曲线和P-S-N曲曲 线的拟合线的拟合返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录确定性关系--对变量X的每一确定值，变量Y都 有可以预测的一个或几个确定的值与之对应， 如，圆周长L=D的确定性关系。

3.4 二元线性回归分析二元线性回归分析二个问题二个问题二个问题二个问题：一组数据点是否呈线性？：一组数据点是否呈线性？ 若呈线性，用什么样的直线描述？若呈线性，用什么样的直线描述？一、相关关系和回归方程相关关系---变量X取某定值时，变量Y并无确定 的值与之对应，与之对应的是某唯一确定的概 率分布及其特征数，如S-N关系回归分析的回归分析的回归分析的回归分析的主要任务主要任务主要任务主要任务是是是是：：确确确确定定定定回回回回归归归归方方方方程程程程的的的的形形形形式式式式及及及及回回回回归归归归系系系系数数数数；；；；检检检检验验验验回回回回归归归归方方方方程程程程的可用性；利用回归方程进行预测和统计推断的可用性；利用回归方程进行预测和统计推断的可用性；利用回归方程进行预测和统计推断的可用性；利用回归方程进行预测和统计推断设设设设X X、、、、Y Y间存在着相关关系间存在着相关关系间存在着相关关系间存在着相关关系X=X=x x时，时，时，时，Y Y的数学期望的数学期望的数学期望的数学期望E(Y/X=E(Y/X=x x) )是是是是x x的函数，即：的函数，即：的函数，即：的函数，即： E(Y/X=x)=f(x) E(Y/X=x)=f(x) E E通常未知，一般只能通过样本求其估计量：通常未知，一般只能通过样本求其估计量：通常未知，一般只能通过样本求其估计量：通常未知，一般只能通过样本求其估计量： = =f (x)f (x) 称为称为称为称为Y Y对对对对X X的回归方程的回归方程的回归方程的回归方程。

~ ~y y若回归方程若回归方程若回归方程若回归方程是线性的，有是线性的，有是线性的，有是线性的，有 =A+B =A+Bx ;x ;常数常数常数常数A A、、、、B B是待定的回归系数是待定的回归系数是待定的回归系数是待定的回归系数 ~ ~y yXY0 散点图散点图分散带分散带二、最小二乘法拟合回归方程二、最小二乘法拟合回归方程获取数获取数据样本据样本 (xi, yi) n对对描点描点作散作散点图点图回归方回归方程形式程形式 回归回归 系数系数是否是否存在存在相关相关关系关系回归方程估计量回归方程估计量 与观测值与观测值yi之偏差平方和为：之偏差平方和为：最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法 ~yQ Q是是A A、、B B的函数，的函数，Q Q Q Q最小的条件为最小的条件为最小的条件为最小的条件为：： ；；由此给出由此给出方程组方程组正规方程组为：正规方程组为：正规方程组为：正规方程组为：þ þý ýü üå å= =å å+ +å åå å= =å å+ +i ii ii ii ii ii iyxxBxAyxBnA2 2解得：解得：解得：解得： ï ï ï ïï ï ï ïþ þ þ þï ï ï ïï ï ï ïý ý ý ýü ü ü ü- - - -å å å å- - - -- - - -å å å å= = = =å å å å- - - -å å å åå å å åå å å å- - - -å å å å= = = =y yX Xx xY Yy yX Xx xx xx xn ny yx xy yx xn nB Bi ii ii ii ii ii ii ii ii i2 22 22 22 2- - - -= = = =å å å å- - - -å å å åå å å åå å å å- - - -å å å åå å å å= = = =X XB BY Yx xx xn nx xx xy yx xA Ai ii ii ii ii ii ii i2 22 2) )( () )( () ))( )(( () )( (式中，式中，式中，式中，n n为样本数据点数，为样本数据点数，为样本数据点数，为样本数据点数， 、、、、 分别为变量分别为变量分别为变量分别为变量X X、、、、Y Y的样本均值，且的样本均值，且的样本均值，且的样本均值，且 = =   x xi i/n ; /n ; = =   y yi i/n /n X X_ _Y Y_ _X X_ _Y Y_ _注意，均值点（注意，均值点（注意，均值点（注意，均值点（ 、、、、 ）落在回归直线上。

落在回归直线上落在回归直线上落在回归直线上Y Y_ _X X_ _三、相关系数及相关关系的检验三、相关系数及相关关系的检验相关系数相关系数r r定义为：定义为：若令：若令：若令：若令：有：有：有：有：L LL Lxyxyxxxx= = = =/ /r r = = = == = = =L LL LL Lxyxyxxxxyyyy/ /B B L LL Lxxxxyyyy[ [/ /] ]/ / 1 1 2 2å å å å- - - -å å å åå å å åå å å å- - - -å å å å= = = =x xx xn ny yx xy yx xn nB Bi ii ii ii ii ii i2 22 2) )( (偏差平方和为：偏差平方和为：偏差平方和为：偏差平方和为：QABxyYB XBxyiiii= =+ +- -= =- -+ +- -å åå å()[()]__22å å__= =- -- -- -[()()]YyB Xxii2____= =- -- -- -- -+ +- -å å[()()()() ]YyB XxYyBXxiiii2222___= =- -- -- -+ +- -å åå åå å()()()Y yBX xBX xiii222222= =- -- -- -= =- -å åå å()()__Y yBX xLB Liiyyxx2222上式二端除以上式二端除以Lyy,即得：即得：注意注意: : Lyy>Q>0, 故相关系数故相关系数 r  1XY0r~1完全相关完全相关XY0r~- -1完全相关完全相关XY0r~0完全不相关完全不相关当当 时，有时，有Q0 0，，数据点基本在回归直线上，变量数据点基本在回归直线上，变量X X、、Y Y相关密切；相关密切；1r  , Q , 数据点越分散，相关越差；数据点越分散，相关越差； 若若 0，， X、、Y完全不相关。

完全不相关相关系数相关系数r与与B同号，同号，r>0, 则则B>0，，正相关；正相关； r<0，，B<0，，负相关rr相关系数的几何意义相关系数的几何意义相关系数的几何意义相关系数的几何意义: : : :XY00

如，如，up=3时，时，p=99.87%，， 故故y落在落在y= +3s之下的概率为之下的概率为99.87%，上限y~y~ up=-3时，时，p=0.13%，，y= -3s 为为0.13%的下限 y在在y= +3s间的概率为间的概率为p=99.74% up=0时，时，p=50%，故，故y= =A+Bx对应概率对应概率50%y~y~y~ 获取样获取样 本数据本数据 (x (xi,y,yi) ) 共共n n对对下面通过一例题，进一步了解其分析步骤下面通过一例题，进一步了解其分析步骤五、五、 二元线性回归分析的基本方法二元线性回归分析的基本方法：：作作散散点点图图 回归方程回归方程 的形式的形式 y=A+Bx~ 最小二乘最小二乘 法确定回法确定回 归系数归系数 A A、、B B相相关关系系数数 r相关性检验相关性检验  rra a用回归方程进行用回归方程进行预测和统计推断预测和统计推断例例例例3.3 3.3 表中为表中为表中为表中为某材料在某材料在某材料在某材料在R=0.1R=0.1下的疲劳试验结果，下的疲劳试验结果，下的疲劳试验结果，下的疲劳试验结果， 试估计其试估计其试估计其试估计其S-NS-N曲线。

曲线解解解解：：：：S-NS-N曲线为曲线为曲线为曲线为 S SmmN=C; N=C; 取对数后有：取对数后有：取对数后有：取对数后有： lgS=lgC/m-(1/m)lgN; lgS=lgC/m-(1/m)lgN; 令令令令 y=lgS, x=lgN, y=lgS, x=lgN, 回归方程可写为：回归方程可写为：回归方程可写为：回归方程可写为： y=A+Bx y=A+Bx 其中：其中：其中：其中： A=lgC/m, B=-(1/m) A=lgC/m, B=-(1/m) 试验数据试验数据试验数据试验数据 计计计计 算算算算S Sa a (MPa) N (MPa) N 199 199 94124 94124 166 166 146656 146656 141.2 141.2 298263 298263 120.2 120.2 981070 981070     21.6063 8.7478 117.3001 19.1613 47.1351 21.6063 8.7478 117.3001 19.1613 47.1351y yi i=lgS=lgSaiai2.29892.29892.22012.22012.14982.14982.07992.0799x xi i=lgN=lgNi i 4.97374.97375.16635.16635.4746 5.4746 5.99175.9917 x xi i2 224.737724.737726.6907 26.6907 29.971229.971235.900535.9005 y yi i2 25.28495.28494.92884.92884.62164.62164.32604.3260 x xi iy yi i 11.434011.434011.469711.469711.769311.769312.462112.4621得到：得到：得到：得到： x x= =   x xi i/n=21.6063/4=5.40158/n=21.6063/4=5.40158；；；； y y=2.18718=2.18718 L Lxxxx= = =117.3001-21.6063=117.3001-21.60632 2/4=0.59205/4=0.59205 L Lyyyy= 0.02636= 0.02636；；；； L Lxyxy=-0.12166=-0.12166x xx xn ni ii i- - - -å åå å( () ) / /2 22 2回归系数回归系数：： B= Lxy/Lxx=-0.2054 m=-1/B=4.87 A=y-Bx=3.2974 C=lg-1(Am)=1.12×1016 相关系数相关系数相关系数相关系数：：r= =-0.975 (负相关负相关)；；取取 =0.05时，注意时，注意 n-2=2，查表知，查表知 =0.950，，故有故有 r   ，， 满足相关性检验条件满足相关性检验条件。

LxyL Lxxyy/ra ara a破坏率为破坏率为1%时，时，up=-2.326, 即有：即有： y=A+Bx-2.326s=3.2362-0.2054x 破坏率为破坏率为1%的的S-N曲线曲线为：为： (p=0.01)回归方程可用回归方程可用, , 且且S-NS-N曲线曲线曲线曲线为为为为：： × (p=0.50)SNa4 8716112 10..= = 注意：注意：由于数据点少由于数据点少(n=4), 若取若取 =0.01，，则则 r

组数据的分布参数组数据的分布参数组数据的分布参数N (10 )5 5F(N)=1n+1i12345674.05.06.07.38.09.010.60.1110.2220.3330.4440.5560.6670.778813.00.889解解解解：：：：1)1)设设设设x x=lgN=lgN正态分布正态分布正态分布正态分布 有：有：有：有： 回归方程为：回归方程为：回归方程为：回归方程为： Y=A+BXY=A+BXxxus= =+ +对照对照对照对照可知可知可知可知，回归方程中变量为：，回归方程中变量为：，回归方程中变量为：，回归方程中变量为： Y=x=lgNY=x=lgN；；；； X=u= X=u=  -1-1[F(N)][F(N)] 系数：系数：系数：系数： A= A=x x ；；；； B=s B=s 列表计算列表计算，，得到得到得到得到回归系数回归系数回归系数回归系数为为为为：： B=Lxy/Lxx=0.2096；； A=Y-BX=0.8674；；故故正态分布参数：正态分布参数： s=B=0.2096；； x=A=0.8674YX0.6021-1.220正态分布正态分布0.69900.77820.86330.90310.95421.02531.1139-0.765-0.431-0.140 0.140 0.431 0.765 1.220若估计寿命为若估计寿命为若估计寿命为若估计寿命为N=3×10N=3×105 5时的破坏概率，则有：时的破坏概率，则有：时的破坏概率，则有：时的破坏概率，则有： =3.1%=3.1%p pu uN N x xs sp p= == =- - - -= =- -1 1 862862      ( () )( (lglg) )( (. .) )_ _f f相关系数相关系数相关系数相关系数为：为： r = -0.9976   ra a =0.834 ( =0.01，，n=8)2)2)2)2)设寿命设寿命设寿命设寿命N N N N服从威布尔分布服从威布尔分布服从威布尔分布服从威布尔分布，有：，有：，有：，有：回归方程写为：回归方程写为： Y=A+BX 时，时， 有：有： Y=lglg[1-F(N)]-1；； X=lg(N-N0)；； 系数：系数： A=lglge-blg(Na-N0)；； B=b设设设设N N0 0=2×10=2×105 5, , 列表计算后得到回归系数为：列表计算后得到回归系数为：列表计算后得到回归系数为：列表计算后得到回归系数为： B=L B=Lxyxy/L/Lxxxx=1.7196, A=Y=1.7196, A=Y-BX=-1.7985-BX=-1.7985Weibull分布分布YX-1.29120.3010-0.9620-0.7543-0.5931-0.4532-0.3213-0.1849-0.02030.47710.60210.72430.77820.84510.93451.0414故故威布尔分布参数威布尔分布参数威布尔分布参数威布尔分布参数: b=B=1.7196 , Na=lg-1[(lglge-A)/b]+N0=8.84×105。

注意：对于本例，注意：对于本例，威布尔分布给出比正态分布威布尔分布给出比正态分布威布尔分布给出比正态分布威布尔分布给出比正态分布更好的拟合精度，即更大的更好的拟合精度，即更大的更好的拟合精度，即更大的更好的拟合精度，即更大的r r值相关系数相关系数相关系数相关系数为：为： r =-0.9988 r   r =0.834 ( =0.01，，n=8)估计寿命估计寿命 N=3×105 时的破坏概率时的破坏概率pf ，则有：，则有： pf = =3.6%F N()exp[ (.)].= ---13 28841 71963.5 S-N曲线和曲线和P-S-N曲线的拟合曲线的拟合实验得到：实验得到： Ly12铝合金板材，铝合金板材， 在在Smax为为199、、166、、141.2、、120.2 Mpa 四种应力水平下的疲劳试验结果四种应力水平下的疲劳试验结果 x x=lgN=lgN，， 循环应力比循环应力比R=0.1S-NS-N曲线和曲线和曲线和曲线和P-S-NP-S-N曲线拟合计算实例曲线拟合计算实例曲线拟合计算实例曲线拟合计算实例试用最小二乘法拟合试用最小二乘法拟合S-N曲线和曲线和P-S-N曲线。

曲线序号序号 Smax (MPa) 破坏率破坏率 存活率存活率 i 199 166 141.2 120.2 Pi=i/n+1 Ri=1-pi 1 4.914 5.093 5.325 5.721 0.0909 0.9091 2 4.914 5.127 5.360 5.851 0.1818 0.8182 3 4.929 5.130 5.435 5.859 0.2727 0.7273 4 4.964 5.140 5.441 5.938 0.3636 0.6364 5 4.964 5.146 5.470 6.012 0.4545 0.5455 6 4.982 5.167 5.471 6.015 0.5455 0.4545 7 4.982 5.188 5.501 6.082 0.6364 0.3636 8 4.996 5.204 5.549 6.136 0.7273 0.2727 9 5.029 5.220 5.582 6.138 0.8182 0.1818 10 5.063 5.248 5.612 6.165 0.9091 0.09094.55.05.56.06.5X=lgN99.9 99 90705030 10 10.1Ps 100对数疲劳寿命分布对数疲劳寿命分布表中数据在正态概率纸上描点结果如图。

表中数据在正态概率纸上描点结果如图表中数据在正态概率纸上描点结果如图表中数据在正态概率纸上描点结果如图四种应力四种应力四种应力四种应力水平下的水平下的水平下的水平下的 x x   p ps s数据，数据，数据，数据，均呈线性，均呈线性，均呈线性，均呈线性，即即即即 x=lgN, x=lgN,服从正态服从正态服从正态服从正态分布Smax=199Smax=166Smax=141.2Smax=120.2各应力水平下的各应力水平下的 x up拟合结果拟合结果 Si x=A+Bup=lgNi (MPa) A B r lgS Ps=50% Ps=99.9% up=0 up=-3.091 199.0 4.9737 0.0566 0.975 2.2989 4.9737 4.79882 166.0 5.1663 0.0571 0.988 2.2201 5.1663 4.98993 141.2 5.4746 0.1084 0.989 2.1498 5.4746 5.13964 120.2 5.9917 0.1722 0.973 2.0799 5.9917 5.4596回归方程估计的存活率回归方程估计的存活率ps为为50%和和99.9%时的时的x。

r =0.765  =0.01  由由前前表表所所列列ps为为50%和和99.9%时时的的二二组组lgS lgN数数据，给出了给定存活率据，给出了给定存活率ps下的下的S-N关系p-S-N曲线曲线：：：：存活率为存活率为存活率为存活率为p ps s 的的的的S-NS-N曲线曲线曲线曲线, ,如曲线如曲线如曲线如曲线2 2，，，，是是是是p ps s=99.9%=99.9%的的的的S-NS-N曲线双对数坐标图上，这二组双对数坐标图上，这二组 S-N数据呈线性关系数据呈线性关系56lg Nlg N2.32.22.1lg S双对数坐标下的双对数坐标下的S-N图图ps=50%ps=99.9%12S-N曲线曲线: :存活率为存活率为存活率为存活率为50%50%的的的的S-NS-N曲线，曲线，曲线，曲线，曲线曲线曲线曲线1 1是中值S-NS-N曲线式中，式中，式中，式中，S S的单位为的单位为的单位为的单位为MPaMPa；；；；N N是直到破坏的循环次数是直到破坏的循环次数是直到破坏的循环次数是直到破坏的循环次数对前图之二组数据，令对前图之二组数据，令对前图之二组数据，令对前图之二组数据，令Y=lgS, X=lgN, Y=lgS, X=lgN, 用最小二乘用最小二乘用最小二乘用最小二乘法拟合法拟合法拟合法拟合S-NS-N曲线，结果列于下表：曲线，结果列于下表：曲线，结果列于下表：曲线，结果列于下表：ps100 lgS=a+blgN r SmN=C a b M C 50 3.2965 -0.2054 -0.971 4.869 1.1241016 99.9 3.8739 -0.3309 -0.983 3.022 5.0921011可知，对于本例，可知，对于本例，中值中值S-N曲线为：曲线为：ps=99.9%的的p-S-N曲线为：曲线为： 小小 结：结：1）疲劳寿命分散性显著。

疲劳寿命分散性显著S越低，越低，N越长，分散越长，分散 性越大分散性：分散性：分散性：分散性：光滑件光滑件光滑件光滑件> > > >缺口件缺口件缺口件缺口件> > > >裂纹扩展裂纹扩展裂纹扩展裂纹扩展2）对数疲劳寿命可用正态分布描述对数疲劳寿命可用正态分布描述 xp=lgNp=x+ups; x   ; s  3）三参数威布尔分布为：）三参数威布尔分布为： N0-下限；下限； Na-特征寿命参数；特征寿命参数；b-形状参数形状参数4 4）利用概率纸可估计分布形式、分布参数无）利用概率纸可估计分布形式、分布参数无）利用概率纸可估计分布形式、分布参数无）利用概率纸可估计分布形式、分布参数无 论何种分布，破坏率均秩估计量为论何种分布，破坏率均秩估计量为论何种分布，破坏率均秩估计量为论何种分布，破坏率均秩估计量为p=i/(n+1)p=i/(n+1) 5 5）回归分析的主要任务是：）回归分析的主要任务是： 寻找随机变量间相关关系的近似定量表达式；寻找随机变量间相关关系的近似定量表达式； 考查变量间的相关性；考查变量间的相关性； 利用回归方程进行预测和统计推断。

利用回归方程进行预测和统计推断6 6）最小二乘法：使）最小二乘法：使）最小二乘法：使）最小二乘法：使回归方程估计量回归方程估计量回归方程估计量回归方程估计量 与观测值与观测值与观测值与观测值y yi i 之偏差平方和为之偏差平方和为之偏差平方和为之偏差平方和为最小，并最小，并最小，并最小，并由此确定回归系数由此确定回归系数由此确定回归系数由此确定回归系数 ~ ~y y7）相关系数）相关系数 r可检验回归方程与样本数据相关性可检验回归方程与样本数据相关性 的密切程度的密切程度 疲劳试验疲劳试验 R R、、S S给定给定 样本数据样本数据 n个个N 排序排序i给定破坏概率下给定破坏概率下给定破坏概率下给定破坏概率下的疲劳寿命的疲劳寿命的疲劳寿命的疲劳寿命？？？？寿命寿命寿命寿命N N对应对应对应对应的的的的p pf f？？？？8 8）疲劳寿命统计估计的分析计算框图）疲劳寿命统计估计的分析计算框图 破坏率破坏率 F(Ni)=i/(n+1) 散点图散点图分布类型分布类型 对数正态分布对数正态分布 Yi=xi=lgNi, Xi=ui=   -1 (Fi)]威布尔分布威布尔分布Yi=lglg(1-Fi)-1;Xi=lg(Ni-N0); 0N0N1;回归分析回归分析 Y=A+Bx相关系相关系数检验数检验图解法图解法图解法图解法解析法解析法解析法解析法是否线性？是否线性？ 估计分布参数估计分布参数 习题：习题：3-6 再再 见见 再再 见见 再再 见见本章完再见！返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录。