电磁场与电磁波：第一章 静电场.ppt

第一章 静电场§概述§库仑定律·电场强度§高斯通量定理§静电场环路定理·电位§电偶极子§导体和电介质§电介质中的电场·电位移§静电场的基本方程·分界面上的边界条件§泊松方程和拉普拉斯方程§镜像法§电轴法§部分电容§静电场能量§电场力概述静电场： 相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场本章任务： 阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法，或者反之 静电场是本课程的基础由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场基本实验定律（库仑定律）基本物理量（电场强度）EE 的旋度E E 的散度基本方程微分方程边值问题唯一性定理分界面衔接条件电位（ ）边界条件数值法有限差分法解析法直接积分法分离变量法镜像法，电轴法静电参数(电容及部分电容)静电能量与力图1.1 静电场知识结构图1-1 库仑定律·电场强度试体： 电场的表现是对引入其中的静止电荷有力的作用，所以电场的性质可以通过另一个带电体在场中各点的受力情况来描述，这个带电体，我们称之为试体 试体一般是一个带电量很少的点电荷。

库仑定律：库仑定律是静电现象的基本实验定律实验表明：真空中两个静止点电荷 和 之间的相互作用力N( 牛顿)N( 牛顿)图1.1.1 两点电荷间的作用力适用条件  两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力; 无限大真空情况 (式中 可推广到无限大各向同性均匀介质中 F/m) 库仑定律描述点电荷之间作用力，给出了对应的数学表达式，它是一切静电场问题分析的出发点我们将从库仑定律出发，采用严格的数学分析研究静电场的各种性质（散度、旋度性质）电场强度：定义： V/m (N/C) 电场强度（Electric Field Intensity ) 表示单位正电荷在电场中所受到的力( ), 它是空间坐标的矢量函数, 定义式给出了 的大小、方向与单位点电荷： 点电荷是电荷体分布的极限情况，可以把它看成是一个体积很小，电荷密度很大，总电量不变的带电小球体 通常用冲击函数表示点电荷的密度分布：点电荷的密度点电荷产生的电场强度V/mV/m图1.1.2 点电荷的电场 n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加) 连续分布电荷产生的电场强度V/m体电荷分布图1.1.3 体电荷的电场面电荷分布线电荷分布例1.1.1 真空中有长为L的均匀带电直导线 ，电荷线密度为 ，试求P 点的电场。

解: 采用直角坐标系，令y轴经过场点p，导线与x轴重合图1.1.4 带电长直导线的电场推广到任意电荷分布：图1.2.1 闭合曲面的电通量 的通量仅与闭合面S 所包围的净电荷有关图1.2.2 闭合面外的电荷对场的影响S面上的 是由系统中全部电荷产生的真空中高斯定律的微分形式其物理意义表示为： 高斯定律说明了静电场是一个有源场，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷例1.2.1 真空中有一带电球体，半径为 ，电荷体密度为 ，求球内外的电场强度解：根据带电体的特点，电场分布具有球对称性以带电球体的球心为球心， 为半径做一球面，则该面上的电场强度大小不变，方向沿 方向应用高斯通量定理1-3 静电场环路定理·电位点电荷矢量恒等式直接微分得故电场强度 的旋度等于零静电场旋度： 可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场 静电场是一个无旋场即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即静电场的环路定律： 在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零 电场力作功与路径无关,静电场是保守场无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。

由斯托克斯定理，得 二者等价电位函数: 在静电场中可通过求解电位函数(Potential)， 再利用上式可方便地求得电场强度 式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位已知电荷分布，求电位：点电荷群连续分布电荷电位的引出（以点电荷为例）根据矢量恒等式 与 的微分关系 在静电场中，任意一点的电场强度 的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率在直角坐标系中： 与 的积分关系设 为参考点图1.2.3 与 的积分关系电位参考点的选择原则  场中任意两点的电位差与参考点无关 同一个物理问题，只能选取一个参考点 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义例如：点电荷产生的电场：表达式无意义  电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；  电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点 电力线与等位线（面） 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度 的方向一致，若 是电力线的长度元， 矢量将与 方向一致，故电力线微分方程在直角坐标系中：微分方程的解即为电力线 的方程当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。

在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即 等位线(面)方程:电力线与等位线（面）的性质： 线不能相交; 线起始于正电荷，终止于负电荷; 线愈密处，场强愈大; 线与等位线（面）正交；图1.2.5 点电荷与接地导体的电场图1.2.4 点电荷与不接地导体的电场1-4 电偶极子电偶极子： 一对等量异号的电荷 ，相距一个小的距离 ，称为电偶极子一般用它的电偶极距来描述图1.4.1电偶极子电偶极子的电场：采用球坐标，令原点位于电偶极子中心， 轴与 重合空间中某场点 处，正负电荷各自产生的电位分别为点处的电位：图1.4.2 电偶极子的等位线和电力线1-5 导体和电介质媒质在电场中的分类：导体：有自由电荷，电场存在时，自由电荷受电场力的作用沿着反电场的方向运动电介质：有束缚电荷，电场存在时，束缚电荷受电场力的作用在分子范围内有微小的移动静电场中导体的性质：1、导体内电场强度处处为零；2、导体为等位体；3、导体表面是等位面，导体表面上任一点电场强度的方向与导体表面垂直；4、导体所带电荷只能分布在其表面静电场中电介质的性质：电介质的分子可分成两大类:极性分子和非极性分子。

电介质的极化：电子极化：组成原子的电子云在电场作用下相对于原子核发生位移而 出现电矩离子极化：分子中的正负离子在电场作用下发生位移而出现电矩取向极化：分子具有固有电矩，在外电场作用下，向电场方向转动产 生合成电矩 电介质的极化使束缚电荷的分布发生变化，从而在电介质的内部或表面形成极化电荷 极化电荷和自由电荷一样都是产生电场的源用极化强度 表示电介质的极化程度式中 为体积元 内电偶极矩的矢量和， 的方向从负极化电荷指向正极化电荷在各向同性、线性、均匀介质中均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；线性：媒质的参数不随电场的值而变化； 一个电偶极子产生的电位：式中 极化强度 是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：矢量恒等式：散度定理 令极化电荷体密度极化电荷面密度 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度  根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为 这就是电介质极化后，由面极化电荷 和体极化电荷 共同作用在真空中产生的电位。

1-6 电介质中的电场 电位移电介质中的高斯通量定理：在有电介质的电场中任选一个闭合面S(S不包含介质的表面），如右图S面上的通量为：因为S面上不包含介质分界面，所以S面上没有极化面电荷图1.6.1静电场中任意闭合面上的电位移通量等于该面内自由电荷的代数和电介质中高斯定理的积分形式 的通量与介质无关，但不能认为 的分布与介质无关电介质中高斯定理的微分形式：其中——相对介电常数；——介电常数，单位（F/m）   在各向同性介质中   线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷 若电介质是线性、均匀、各向同性的，则 为常数导体表面的电位移与电荷面密度之间的关系：图示平行板电容器中放入一块介质后，其D D 线、E E 线和P P 线的分布思考：电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了？线线线图1.6.2• 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；• 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；• 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷1-7静电场的基本方程  分界面上的衔接条件静电场的基本方程 静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。

这两个重要特性用简洁的数学形式为：解：根据静电场的旋度恒等于零的性质, 例1.7.1 已知 试判断它能否表示个静电场？ 对应静电场的基本方程 ，矢量 可以表示一个静电场 分界面两侧的 的法向分量不连续当 时， 的法向分量连续 以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（ ） 分界面上的边界条件：则有 根据 图1.7.1 在电介质分界面上应用高斯定律1、 电位移矢量 的边界条件根据 则有 图1.7.2 在电介质分界面上应用环路定律 以点P 作为观察点，作一小矩形回路（ ） 2、电场强度 的边界条件分界面两侧 的切向分量连续 当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为： 图1.7.3 导体与电介质分界面 表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点 就等于该点的自由电荷密度 。

折射定律图1.7.4 分界面上 线的折射在交界面上不存在 时， 、 满足折射定律因此表明: 在介质分界面上，电位是连续的3、用电位函数 表示分界面上的衔接条件 设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d， ,则表明: 一般情况下 ,电位的导数是不连续的图1.7.5 电位的衔接条件1-8 泊松方程和拉普拉斯方程以静电场的基本方程为出发点来推导均匀媒质中的微分方程：——泊松方程——拉普拉斯方程——拉普拉斯算子  泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质边界条件积分，得通解 例1.8.1 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中,电荷体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场解: 采用球坐标系,分区域建立方程参考点电位图1.8.1 体电荷分布的球形域电场 解得 电场强度（球坐标梯度公式）： *对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度的分布。

电位：唯一性定理： 在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理证明：（采用反证法）唯一性定理的重要意义： 可判断静电场问题的解的正确性：  唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等） 提供了思路及理论根据1-9 镜像法 镜像法是把原来分片均匀的媒质看成无限空间均匀的，在我们所研究的区域之外，用一些假想的电荷代替场问题的边界条件 根据唯一性定理，只要镜像电荷与边界内实际电荷一起所产生的电场能满足给定的边界条件，那么它们的电位叠加起来就能得到我们所要求的电位解 镜像法多用于二维平面场中的一些特殊情况边值问题：（导板及无穷远处）（除 q 所在点外的区域）（S 为包围 q 的闭合面）1.平面导体的镜像图1.9.1 平面导体的镜像 （除 q 所在点外的区域） （导板及无穷远处）（S 为包围q 的闭合面）2. 导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布1) 边值问题：（除q点外的导体球外空间)图1.9.2 点电荷对接地导体球面的镜像由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为图1.9.4 点电荷位于接地导体球附近的场图 镜像电荷不能放在当前求解的场域内。

镜像电荷等于负的感应电荷图1.9.3 接地导体球外的电场计算3. 不同介质分界面的镜像边值问题：(下半空间)(除 q点外的上半空间)图1.9.5 点电荷对无限大介质分界面的镜像和 • 中的电场是由 决定，其有效区在下半空间， 是等效替代自由电荷与极化电荷的作用 即图1.9.6 点电荷 位于不同介质平面上方的场图 • 中的电场是由 与 共同产生，其有效区在上半空间， 是等效替代极化电荷的影响图1.9.7 点电荷 与 分别置于 与 区域中思考：为求解图示 与 区域的电场，试确定镜像电荷的个数、大小与位置边值问题： （导线以外的空间） 根据唯一性定理，寻找等效线电荷——电轴1.问题提出1.10.1 长直平行圆柱导体传输线1-10 电轴法2. 两根细导线产生的电场以y轴为参考点, C=0, 则 当K取不同数值时,就得到一族偏心圆图1.10.2 两根细导线的电场计算　a、h、b三者之间的关系满足 等位线方程为：圆心坐标圆半径应该注意到,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。

即根据 及 线的微分方程 ， 得 线方程为 图1.10.3 两细导线的场图3. 电轴法例1.10.1 试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布 以 轴为电位为参考点 ) 用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法,称为电轴法解：图1.10.4 平行圆柱导体传输线电场的计算镜像法（电轴法）小结 镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质； 镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷（电轴）的个数（根数），大小及位置； 应用镜像法（电轴法）解题时，注意：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域叠加时，要注意场的适用区域1-11 部分电容 电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关0电容的计算思路： 工程上的实际电容： 电力电容器，电子线路用的各种小电容器。

电容定义： 单位： 例1.11.1 试求球形电容器的电容解：设内导体的电荷为 ,则同心导体间的电压球形电容器的电容当时（孤立导体球的电容）图1.11.1 球形电容器 • 静电独立系统—— 线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统中的其余带电体，与外界无任何联系，即多导体系统、部分电容1. 已知导体的电荷，求电位和电位系数• 线性、多导体(三个以上导体)组成的系统；• 部分电容概念以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为图1.11.2 三导体静电独立系统 以此类推（n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程，即电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；—— 自有电位系数，表明导体上电荷对导体电位的贡献；——互有电位系数，表明导体上的电荷对导体电位的贡献 ；——写成矩阵形式为（非独立方程）注： 的值可以通过给定各导体电荷 ,计算各导体的电位 而得2. 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数——静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；——自有感应系数，表示导体 电位对导体 电荷的贡献；——互有感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献。

通常， 的值可以通过给定各导体的电位 ，测量各导体的电荷 而得 3. 已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容（矩阵形式）式中：C——部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；（互有部分电容）；（自有部分电容）部分电容性质:• 所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的 值有关；• 互有部分电容 ，即为对称阵； • (n+1) 个导体静电独立系统中，共应有 个部分电容；• 部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连1-12 静电场能量1.带电体系统中的静电能量 静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的1) 连续分布电荷系统的静电能量假设： • 电荷系统中的介质是线性的； 静电能量 • 电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电位的最终值为 、 ,在充电过程中， 与 的增长比例为 m， • 建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射） 这个功转化为静电能量储存在电场中 体电荷系统的静电能量 t 时刻，场中P点的电位为 若将电荷增量 从无穷远处移至该点，外力作功t时刻电荷增量为电位为即 • 式中 是元电荷所在处的电位，积分对源进行。

自有能是将许多元电荷 “压紧”构成 q 所需作的功互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量自有能与互有能的概念• • 是所有导体（含K号导体）表面上的电荷在K号导体产生的电位• 点电荷的自有能为无穷大自有能互有能2. 静电能量的分布及能量密度V——扩大到无限空间，S——所有带电体表面将式(2)代入式(1),得应用散度定理得矢量恒等式（焦耳）静电能量图1.12.1 推导能量密度用图能量密度1-13 静电力2.虚位移法 ( Virtual Displacement Method )虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法 广义坐标：距离、面积、体积、角度广义力：企图改变某一个广义坐标的力广义力的正方向为广义 坐标增加增加的方向二者关系： 广义坐标 距 离 面 积 体 积 角 度 广义力 机械力 表面张力 压强 转矩 （单位） （N） （N/m） （N/m2） N•m广义力×广义坐标=功1. 由电场强度 的定义求静电力，即常电荷系统（K打开）： 它表示取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。

常电位系统（K合上）：外源提供能量的增量静电能量的增量 外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功 设(n+1)个导体组成的系统,只有P号导体发生位移 ，此时系统中带电体的电压或电荷将发生变化，其功能关系为外源提供能量静电能量增量=+ 电场力所作功图1.13.1 多导体系统• 上述两个公式所得结果是相等的• 两个公式所求得的广义力是代数量 还需根据“±”号判断其方向例1、均匀带电圆盘，半径为a，电荷面密度为 试求边缘上任一点p的电位解：在圆盘边缘上任选一点p，以p点为 圆心，r为半径做一段宽为dr的圆弧带圆弧带所带电量为该圆弧带在p点产生的电位为例1、均匀带电圆盘，半径为a，电荷面密度为 试求边缘上任一点p的电位例2、无限大真空中，已知 ，求对应的电场及电荷分布解：此球面内的总电荷为例3、在一个接地导体球外附近放一个电量为q的点电荷已知球的半径为R，点电荷与球心的距离为d，求导体球表面上总的感应电荷 解：导体球为一个等位体，所以整个导体球的电位为零球心处的电位例4、同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体半径为b，两导体间区域 中填充介电常数为 的电介质。

求单位长度电容解：设内导体单位长度表面上带电荷，两导体间的电场沿径向分布， 介质分界面上的边界条件在与内导体同轴的圆柱面上，取单位长度圆柱面，由高斯定理，有。