兼容并包兼收并蓄三角函数的两种定义方法浅析.doc

兼容并包兼收并蓄一三角函数的两种定义方法浅析〃单位圆定义法〃与〃终边定义法〃本质上是一致的，采用哪一种 定义方法是一个取舍问题，没有对错之分.三角函数的两种定义方法都是 可行的，我们没必要非要分出孰优孰劣，我们大可以采取〃兼容并包 兼收 并蓄〃的态度来提高对三角函数定义及三角函数的认识从映射的角度来 开展三角函数定义的教学，可以有效培养学生的逻辑思维能力在具体的 教学实践中它可以很好的帮助学生解决己知一个角的中边上的一点的坐 标来求这个角的的三角函数值的问题，和理解参数方程从这一点来看， 利用角的终边上任意一点的坐标出发来定义三角函数更好一些为什么要 学习利用单位圆来定义三角函数？用单位圆上点的坐标定义任意角的三 角函数有许多优点，可以使抽象的问题变得直观，使学生能够深入浅出地 理解三角函数的一些性质，主要体现以下方面1、简单、清楚，突出三角函数最重要的性质——周期性.采用 〃单位圆定义法〃，对于任意角？，它的终边与单位圆交点P（X, y）唯一确定, 这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即角（弧度） 对应于点P的纵坐标y——正弦；角（弧度）对应于点P的横坐标x—— 余弦。

可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的另外, 〃x= cos ?, y= sin ?是单位圆的自然的动态（解析）描述，由此可以想 到，正弦、余弦函数的幕本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解 析表述〃，其中，单位圆上点的坐标随着角？每隔2n （圆周长）而重复出 现（点绕圆周一圈而I可到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的 周期性〃终边定义法〃需要经过〃取点——求距离——求比值〃等步骤，对 应关系不够简洁；〃比值〃作为三角函数值，其意义（儿何含义）不够清晰; 〃从角的集合到比值的集合〃的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的〃 数集到数集〃的对应关系不一致，而且〃比值〃需要通过运算才能得到，任 意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；〃比 值〃的周期性变化规律也需要经过推理才能得到.以往的教学实践表明， 许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对•应关系不甚了了， 与〃终边定义法〃的这些问题不无关系2、有利于构建任意角的三角函数的知识结构〃单位圆定义法〃 以单位圆为载体，自变量?与函数值x, y的意义非常直观而具体，单位圆 中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合 的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角 函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等。

在学习弧度制时，学生对引进弧度制的必要性较难理解〃单位圆定义法〃可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用单位圆的 半径来度量角，这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以 实数（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的 函数，这就与函数的一般定义一致了另外，我们还可以这样来理解三角 函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细 线，原点固定在单位点A （1, 0）,数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上, 负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）被缠 绕到单位圆上的点P（cos , sin ） o3、符合三角函数的发展历史三角函数发展史表明，任意角 的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经 被称为〃圆函数〃所以，采用〃单位圆定义法〃能更真实地反映三角函数的 发展进程早在古希腊时代，人们就知道〃相似三角形的对应边成比例〃，这 是三角函数的根源，也是其本质所在，所以三角函数起源于几何中的边角 关系三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映 射通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数 域。

到了近代，人们将三角函数作为一般的函数来研究它们的代数性质 现代数学把它们描述成无穷无穷级数或微分方程的解，将其定义扩展到复 数系映射也是贯穿高中数学的一条主线，是人们思考问题时一种非常重 要的对应关系4、有利于后续学习前已述及，〃单位圆定义法〃使三角函数反 映的数形关系更直接，为后面讨论三角函数的性质和图像奠定了很好的直 观基础不仅如此，这一定义还能为〃两角和与差的三角函数〃的学习带来 方便，因为和（差）角公式实际上是〃圆的旋转对称性〃的解析表述，和（差） 化积公式也是圆的反射对称性的解析表述另外，这一定义中角的度量直 接采用了弧度制，能为微积分的学习带来方便例如，重要极限几乎就 是定义的一个〃推论〃〃单位圆定义法〃与〃终边定义法〃都能很好的体现三角函数值在 各象限的符号，诱导公式的研究实质上是通过直角坐标系中点的对称性来 进行的，而对三角函数的性质的研究最好还是利用三角函数的图像来进 行，它体现了研究函数性质的一般程序方法，同时能使学生回顾复习研究 函数的性质的方法，加深对它的理解这才是性质教学的根本在教学中, 我们要重视单位圆的直观，又不忽视比值定义的意义，注重函数图像在研 究函数性质中的作用一代数问题用几何方法来解决，是我们需要掌握的一 种重要方法一数形结合。

硬要用单位圆来研究一些有函数的图像就可以直 观的体现出来的性质，是不妥的通过以上儿点的分析，可以看出三角函数的两种等价定义方法有 着各自的优点我们只有努力探索、虚心求教；才能兼容并包，兼收并蓄; 以成其大在教学中我们应不断总结改进，避难就易，提高我们驾驭课堂、 驾驭教材的能力。