分数阶Fourier变换.ppt

1分数阶FROURIER变换2本小组人员李耀民李耀民 张陆勇 张风山 朱雪田 张咏梅 王春光 邓天乐 孙华明3分数阶FROURIER变换目标： ØFRFT 的本质特征之一：旋转不变性 ØFRFT 的本质特征之二：FRFT的内涵 ØFRFT特别适用于LFM信号的分析与处理 ØFFT为FRFT的一个特例4相关术语ØFRFT:Fractional Fourier Transform Ø广义Fourier变换: Fractional Fourier Transform ØSTFT:Short-Time Fourier Transform ØMSTFT:Modified Short-Time Fourier Transform ØWD: Wigner Distribution ØLFM: 线调频信号 5主要内容1 问题的提出2 FRFT的基本概念3 FRFT的基本性质4 一些常见信号的FRFT5 FRFT的计算方法6 FRFT的二维表示7 FRFT的应用8 FRFT域内的算子9 我的想法6一.问题的提出Ø信号的时频滤波时域滤波 频域滤波 时频域滤波7一.问题的提出有用信号为高斯信号e-(t-4)2干扰为线性调频信号e-jt2.8一.问题的提出信号:高斯包络的线调频信号(LFM) 干扰为加性实值白噪声.9一.问题的提出LFM信号可广泛应用于各种信息系统 Ø通信 Ø雷达 Ø声纳 Ø地质勘探10二.FRFT的基本概念Ø传统Fourier变换的定义及性质两个函数g(t)与G(w)为Fourier变换对G(w)= g(t) e-jwtdt /√2 g(t)= G(w) ejwtdw /√2G(w)=F(g(t)) F2(g(t))=F[F(g(t)]=g(-t) F3(g(t))=G(-w) F4(g(t))=F[F3(g(t)]=g(t)11二.FRFT的基本概念分数阶的Fourier变换的定义 Ø Fourier变换可以看成时域与频域的关系，在时频平面上为 旋转/2,我们定义一个实数=p/2,其中p为任意实数，那么 是 否存在旋转角度为的Fourier变换？ Ø 旋转角度不为/2的整数倍的情况下,存在什么样的变换呢? 如果存在,则我们称之为分数阶的Fourier变换.它应具有的基本性质: Ø 零旋转 R0=I Ø 与Fourier变换等价 R /2=F Ø 旋转相加性 RR=R + Ø 恒等变换 R2 =I12二.FRFT的基本概念Ø核概念及性质 设p为任意实数,我们定义广义Fourier变换:其中核函数为: =p/213二.FRFT的基本概念核函数具有以下性质:1.互换性2.3.4.积分相加性（完备性）5.正交性14二.FRFT的基本概念Ø广义Fourier变换的两个特例 1.以传统的Fourier变换为例,我们可以看出,传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例, 在广义Fourier变换中,令p=1即为传统的Fourier变换. 此时广义Fourier变换的核函数即为 传统的Fourier变换中的标准正弦正交基函数 2.在广义Fourier变换中,令p=0即为输入的时间函数 x(t),p=0 =0核函数为(t-u) 3.传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例 4.核函数为p的连续函数15二.FRFT的基本概念16二.FRFT的基本概念Ø 方波的几种分数阶Fourier变换. 实线:实部虚线:虚部17二.FRFT的基本概念图(a): 三角函数rect(x/2)*rect(x/2)的幅值（实线）和p=0.5的FRFT的幅值（虚线） 图(b):图(a)的相位，三角函数（实线），FRFT（虚线） 图(c):有限长正旋函数e j2x rect(x/20)的实部 图(d):图(c):有限长正旋函数的FRFT(p=0.5)的实部 图(e):线性调频函数e -j2x2的实部 图(f):图(e)的FRFT(p=2arctan(-2)/ +1)18二.FRFT的基本概念Ø信号重构:可逆无损失的变换，仅仅改变信号的形式 ，并不改变信号的内容，因而信号通过正变换由一 个域变换到另一个域，而通过反变换又回到原始域 。

Ø有的信号重构不需要条件,有的信号重构有时需要一 定的条件 Ø比如， （1）FFT与IFFT(无条件）G(w)= g(t) e-jwtdt /√2 g(t)= G(w) ejwtdw /√219二.FRFT的基本概念（2）STFT:ISTFT:条件：(3) FRFT:IFRFT:FRFT为无条件的.20二.FRFT的基本概念Ø传统Fourier变换的性质 Ø线性 F[anf(t)]= an F[f(t)] Ø卷积定理 F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]•F[g(t)] Ø时域相关性定理 Rf1f2=f1()f2*(t- )d  F[Rf1f2]=F[f1(t)]F *[f2 (t)] 4. 时移特性 F[f(t-t0)]=F[f(t)]e-jwt0 5. 频移特性 F[f(t) ejwt0]=F(w-w0) 6. 尺度变换特性 F[f(at)]=F(w/a)/|a| 7. Parseval关系 ||f(t)||2dt=||F(f)||2df 8. 时域微分特性 F[df(t)/dt]=jwF(w) 9. 频域微分特性 F[(-jw)f(t)]=dF(w)/dw21三.分数阶Fourier变换的基本性质Ø线性性质Fp[c1f(t)+c2g(t)]=c1Fpf(t)+c2Fpg(t)FRFT为线性变换,因而它满足叠加原理,这是一个非 常好的性质,我们知道Wigner-Ville分布由于它仅满 足二次叠加原理，它的时频分布存在自频率分布（ 信号项）和互频率分布（交叉项），许多文章都在 怎么消除掉交叉项提出看法，FRFT的线性叠加原理 保证了仅有信号项，没有交差项，所以用它实现滤 波具有更好的效果。

22三.分数阶Fourier变换的基本性质Ø旋转相加性FRFT可以反复地进行下去，直到满意为止两个特例：pp+1对应FFTpp-1对应IFFT23三.分数阶Fourier变换的基本性质Ø连续性当p1,p2,c1,c2 为任意实数时，FRFT满足连续性Fc1p1+c2p2f(t)=Fc1p1Fc2p2f(t)=Fc2p2Fc1p1f(t ) 由旋转相加性，可见连续性显然 Ø自成像FRFT为p/4取余的恒等运算,因而p的取值范围 可以为[-2,+2]或[0,4].24三.分数阶Fourier变换的基本性质Ø 卷积 函数f和g在p分数阶的卷积称为分数阶卷积P域的卷积对应于p+1或p-1域的乘积Ø 相乘 函数f和g在p分数阶的乘积称为分数阶乘积P域的乘积对应于p+1或p-1域的卷积25三.分数阶Fourier变换的基本性质Ø时移特性(FT: [f(t-t0)]=F[f(t)]e-jwt0 )时间函数x(t)时延后，x(t- )的分数阶Fourier变换Ø频移特性(FT: F[f(t) ejwt0]=F(w-w0) )时间函数x(t)乘以一个频移函数后的FRFT.26三.分数阶Fourier变换的基本性质Ø 尺度特性( FT: F[f(at)]=F(w/a)/|a| )=arctan(c2tan)=q/2时间函数x(t)的时间尺度发生变化时，FRFT的变化情况 。

在传统的Fourier变换中，时间变量t的变化只是使其频谱 的频率变量w的其的尺度和幅度发生相应的变化，而在FRFT 中，时间变量t的变化不仅使FRFT的变量u发生尺度和幅度 的变化，更重要的是旋转角度也发生变化27三.分数阶Fourier变换的基本性质尺度特性的图示说明28三.分数阶Fourier变换的基本性质ØParseval关系 定理：Parseval等式成立的充要条件为 E={en:n∈N}为Hilbert空间中的标准正交系由FRFT核函数的性质可知，它显然满足定理中要 求 的条件，所以，在FRFT中， Parseval等式成立 ØFRFT的能量保持性：Ø信号x(t)的功率谱|X(w)|2信号x(t)的分数阶功率谱|Xp(u)|229三.分数阶Fourier变换的基本性质Ø倍乘性其中D=d/dt为微分算子 Ø微分性Ø混合乘积律30三.分数阶Fourier变换的基本性质Ø移位律Ø指数律31三.分数阶Fourier变换的基本性质Ø分数阶Fourier变换的一些典型性质32四 、 一些常见信号的FRFT变换33五.分数阶Fourier变换的计算方法Ø 信号分解法 ( =p/2 =csc )步骤: Ø将函数f(x)与线性调频函数相乘,得到g(x) Ø将g(x)与一线性调频函数作卷积,得到g’(x) Ø将g’(x)与线性调频函数相乘,得到f(x)的分数阶 Fourier变换34五.分数阶Fourier变换的计算方法Ø通过计算离散FRFT的核矩阵,再利用FFT来计算离散 FRFT。

Ø文献B. Santhanam and J.H McClellan. The discrete rotational Fourier transform. IEEE transactions on Signal Processing,1996,42(4):994-99835五.分数阶Fourier变换的计算方法Ø利用矩阵的特征值和特征向量来计算离散FRFT Ø文献 1.Soo-Chang Pei,Min-Hung Yeh. Two dimentional discrete fractional Fourier transform[j]. IEEE,Signal Processing,1998,67,99-108 2.Soo-Chang Pei,Min-Huang Yeh and Chien- Cheng Tseng,Discrete fractional Fourier transform based on orthogonal projections.IEEE transactions on Processing,1999,47(5):1335-134736五.分数阶Fourier变换的计算方法Ø快速FRFT算法该算法避开特征值与特征向量的匹配问题,具有易理 解,易实现,效果好等优点,并且在改变分数阶幂时,不需 要重新计算整个过程,只需计算一个对角矩阵.Ø文献平先军,陶然,周思永,王越 一种新的分数阶傅 立叶变换快速算法 电子学报 2001(3) 406-40837六. FRFT的二维平面表示Ø时频分布的历史和现状时频分布的思想始于二十一世纪四十年代。

•1946年Gabor提出了Garbor变换，为时频领域的信号分析打下了理论基础 •为更好的理解语音信号，R.K.Potter等在1947年首次提出了一种时频分布方法STFT,并将其绝对值的平方称为“声音频谱图”，又称谱图 •1948年，J.Ville将Wigner在1932年提出的Wigner分布引入到信号处理领域，提出了著 名的Wigner- Ville分布Ø 时频分布可以分为以下几类： •线性时频表示：Gabor变换、STFT、小波变换、FRFT •Cohen类双线性时频分布：Wigner- Ville分布、采用核函数加权的Cohen类双线性时频 分布 •仿射类双线性时间-尺度分布 •重排类双线性时频分布 •自适应最优核函数类时频分布 •参数化时频分布38六. FRFT的二维平面表。