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等腰三角（三线合一）1复习回顾复习回顾:等腰三角形有哪些性质等腰三角形有哪些性质?1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴的直线是它的对称轴2.等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简称简称“等边对等角等边对等角”））DBCAB2三线合一基本图形三线合一基本图形3 等腰三角形三线合一性质等腰三角形三线合一性质等腰三角形的等腰三角形的顶角顶角平分线平分线、、底边上底边上的的中线中线、、底边上底边上的的高线高线相互重合相互重合.1.等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线顶角平分线也是也是底边上的中线底边上的中线、、底边上的高线底边上的高线.2.等腰三角形等腰三角形底边上的中线底边上的中线也是的也是的顶角平分线顶角平分线、、 底边底边上的高线上的高线.3.等腰三角形的等腰三角形的底边上的高线底边上的高线也是也是顶角平分线顶角平分线、、底边上的中线底边上的中线.ABDC∠BAD=∠CAD∠BAD=∠CADBD=CDBD=CDAD⊥BCAD⊥BC△ABC△ABC中中,AB=AC,,AB=AC,-------------------------------------------- ------------- ---------------- ------------- ----------------∴∴∵∵△ABC△ABC中中,AB=AC,,AB=AC,-------------------------------------------- ------------- ---------------- ------------- ----------------∴∴∵∵△ABC△ABC中中,AB=AC,,AB=AC,-------------------------------------------- ------------- ---------------- ------------- ----------------∴∴∵∵BD=CDBD=CD∠BAD=∠CAD∠BAD=∠CADAD⊥BCAD⊥BCAD⊥BCAD⊥BC∠BAD=∠CAD∠BAD=∠CADBD=CDBD=CD4①①AB=AC或（或（∠ ∠B=∠ ∠ C））②② ∠ ∠BAD=∠ ∠CAD③③ AD⊥ ⊥BC④④ BD=CDABDC在在△ABC中中,对于以下四个条件对于以下四个条件我们已经知道了我们已经知道了①￿②③③①￿④②②①￿③④④思考思考：：②② ③③①①②② ④④①①③③ ④④①①5在在△△ABC中中ABDC①①AB=AC或（或（∠ ∠B=∠ ∠ C））②② ∠ ∠BAD=∠ ∠CAD③③ AD⊥ ⊥BC④④ BD=CD已知已知:求证求证:②② ∠ ∠BAD=∠ ∠CAD③③ AD⊥ ⊥BC④④ BD=CD①①AB=AC或（或（∠ ∠B=∠ ∠ C））?怎样解答6三线合一的简单应用三线合一的简单应用（（1）如图，已知）如图，已知AB=BC，，D是是AC的中点，的中点，∠∠A=34°，则，则∠∠DBC= 度度.（（2））△△ABC中，中，AB=AC，，AD是是BC上的高上的高DE⊥ ⊥AB，，DF⊥ ⊥AC，垂足分别是，垂足分别是E、、F.指出图指出图中各对相等的线段，且说明理由中各对相等的线段，且说明理由.567 (3)如图，如图，∠ ∠A=∠ ∠D=90°,AB=CD，，AC与与BD相交于点相交于点F，，E是是BC的中点的中点.求证：求证：∠ ∠BFE=∠ ∠CFE.证明：证明：∵∠∵∠1=∠ ∠2（对顶角相等）（对顶角相等）∠ ∠A=∠ ∠D=90°AB=CD∴△∴△ABF≌△≌△DCF （（AAS））∴ ∴BF=CF∴ ∴ △△BCF是等腰三角形是等腰三角形.又又 E是是BC的中点，的中点，∴ ∴EF是是∠ ∠BFC的角平分线的角平分线.∴ ∴ ∠ ∠BFE=∠ ∠CFE.( )三线合一三线合一8例例1.已知已知AB′=AB，，E为为BB′的中点，的中点，EC⊥ ⊥AB′, ED ⊥ ⊥AB. 求证求证:CE=ED9例例3.已知：如图，在已知：如图，在△△ABC中，中，AB=AC, E在在 AC上，上，D 在在BA的延长线上，的延长线上， AD=AE，连接，连接DE．求证：．求证：DE⊥ ⊥BC．．DABCE10DABCEFR图中图中AR这条线段的引出可以看成是：这条线段的引出可以看成是：1 ．．过过A点作点作DE的平行线的平行线．．2 ．．过过A点作点作BC的垂线的垂线．．3 ．． ∠∠BAC的角平分线的角平分线．．4 ．． BC边的中线边的中线．．一题多解一题多解添加辅助线思路添加辅助线思路11DABCEP 图中图中AP这条线段的引出可以看成是：这条线段的引出可以看成是：1 ．．过过A点作点作BC 的平行线的平行线．．2 ．．过过A点作点作DE的垂线的垂线．．3 ．．作作∠∠DAC的角平分线的角平分线．．4 ．．作作DE边的中线边的中线．．添加辅助线思路添加辅助线思路12（4）已知，等边三角形ABC，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，且CE =CD。

若DM⊥BC，垂足为M，那么M是BE的中点，请说明理由 DM⊥BC只要证只要证DB=DE即可即可13　练习：如图练习：如图3，，△△ABC中，中，AB＝＝AC，，BD⊥⊥AC交交AC于于D.求证：求证：∠∠DBC＝＝∠ ∠BAC. D C B A 14ABDC①①AB=AC或（或（∠ ∠B=∠ ∠ C））②② ∠ ∠BAD=∠ ∠CAD③③ AD⊥ ⊥BC④④ BD=CD已知已知:求证求证:②② ∠ ∠BAD=∠ ∠CAD③③ AD⊥ ⊥BC④④ BD=CD在在△△ABC中中①①AB=AC或（或（∠ ∠B=∠ ∠ C））E证明证明:延长延长△△ABC的中线的中线AD至至E点点,使使DE=AD,连接连接CE.15ABDC①①AB=AC或（或（∠ ∠B=∠ ∠ C））②② ∠ ∠BAD=∠ ∠CAD③③ AD⊥ ⊥BC④④ BD=CD已知已知:求证求证:②② ∠ ∠BAD=∠ ∠CAD③③ AD⊥ ⊥BC④④ BD=CD在在△△ABC中中①①AB=AC或（或（∠ ∠B=∠ ∠ C））16例：例：如图，在等腰如图，在等腰△△ABC中，中，∠ ∠C=90°，，如果点如果点B到到∠ ∠A的平分线的平分线AD的距离为的距离为5cm,求求AD的长。

的长ABCD5cmFE10cm17练习：已知：如图，在练习：已知：如图，在△△ABC中，中，AD平分平分∠ ∠BAC，，CD⊥ ⊥AD,D为垂足，为垂足，AB>AC求证：求证：∠ ∠2=∠ ∠1+∠ ∠BABCED213181、、当题目中出现等腰三角形和“三线” 之一时，直接得到其余两线的性质， 但表达要规范；2 2、、当题目中没有出现等腰三角形时，要善于发现“补形”的条件：是否能产生“两线合一”的情境？3 3、、应用“三线合一基本图形”是一个重要 的解题策略，为我们解决问题又提供了一种手段19这节课你有那些收获这节课你有那些收获?20。