数学建模论文设计1999B题.doc

word数学建模论文〔1999年 B题〕 / 钻井布局摘要本文主要讨论钻井布局问题，即点重合〔或近似重合〕问题利用坐标变换，我们将P点变换到网格N所在的坐标系，从而得到P点在新坐标系上的分布图为了使分布图更加直观易读，我们引入相对坐标的概念，以相对坐标取代一般坐标再参照P点在单位模型里的分布情况，借用考察参考正方形或圆形就能直观地判断最大可利用旧井数问题一：我们首先在Pi所属平面建立坐标系xoy，在网格N所属平面建立坐标系x'o'y'用P位于单位网格内的相对坐标Pi(a'i,b'i)取代P位于原坐标系xoy的一般坐标Pi(ai,bi)将各单位网格与其中的P点作为单位模型，令单位模型彼此重叠，得到所有Pi在单位模型中的分布情况具体操作时直接取Pi(ai,bi)的小数局部作为在分布图中的坐标Pi(a''i,b''i)取边长为0.1单位的正方形S为参考正方形，考察Pi(a''i,b''i)点在单位网格中的分布情况平移正方形S，当S中存在最多点P时，可利用旧井数达到最大，据此可得最优网格N此题中可利用旧井数最多为4个，它们是：〔1.41,3.50〕，〔3.37,3.51〕，〔3.40,5,50〕，〔8.38,4.50〕。

满足该条件的网格数不唯一，我们选择该正方形S的几何中心〔0.4,0.5〕作为新网格原点，即将原始网格右移0.4个单位，上移0.5个单位，也即按照向量〔0.4,0.5〕平移后得到符合条件的新网格N'问题二：基于题1的模型，修正P相对坐标的变换方式、更换考察图形即可得题2的模型由于网格N可旋转，P坐标需先进展旋转变换，角度，其X围为0度~90度，即坐标左乘变换矩阵，得到Pi(a'i,b'i)，再按照题1模型生成方式将Pi(a'i,b'i)化为相对坐标Pi(a''i,b''i°°得到新的网格N'均可满足条件问题三：此题是对题2的进一步推广经过坐标变换后，位于考察正方形或考察圆形内的P可认为与相应的结点重合本文以Pi是否全部落入考察图形作为判定条件根据对距离的不同定义，我们给出两个判定条件：判定条件1： 判定条件2：该判定过程可由计算机编程实现，模型使用时只需输入需判定的Pi全部坐标，由计算机处理后返回是否满足条件，假如旧井可被全部利用还返回网格N的形成方法简化模型，增加模型实用性与可操作性，尽可能将繁复的计算判定工作交由计算机处理是本模型的最大优点关键词 坐标变换；相对坐标；分布图；参考图形；单位模型重叠1. 问题重述勘探部门在某地区找矿。

初步勘探时期已零散地在假如干位置上钻井，取得了地质资料进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进展“撒网式〞全面钻探由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合〔或相当接近〕，便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井因此，应该尽量利用旧井，少打新井，以节约钻探费用比如钻一口新井的费用为500万元，利用旧井资料的费用为10万元，如此利用一口旧井就节约费用490万元设平面上有n个点Pi，其坐标为(ai,bi),i=1,2,…,n，表示已有的n个井位新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点〔所谓“正方形网格〞是指每个格子都是正方形的网格；结点是指纵线和横线的交叉点〕假定每个格子的边长〔井位的纵横间距〕都是1 单位〔比如100米〕整个网格是可以在平面上任意移动的假如一个点Pi与某个网格结点Xi的距离不超过给定误差ε〔=0.05单位〕，如此认为Pi处的旧井资料可以利用，不必在结点Xi处打新井为进展辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题： 1） 假定网格的横向和纵向是固定的〔比如东西向和南北向〕，并规定两点间的距离为其横向距离〔横坐标之差绝对值〕与纵向距离〔纵坐标之差绝对值〕的最大值。

在平面上平行移动网格N,使可利用的旧井数尽可能大试提供数值计算方法，并对下面的数值例子用计算机进展计算 2） 在欧氏距离的误差意义下，考虑网格的横向和纵向不固定〔可以旋转〕的情形，给出算法与计算结果 3） 如果有n口旧井，给出判定这些井均可利用的条件和算法〔你可以任意选定一种距离〕 数值例子 n =12个点的坐标如下表所示： i123456789101112aibi2. 模型假设1) 已有的旧井位两两不靠近，确保网格位置确定后不会出现一个结点有两口旧井与之重合的情况；2) 系统勘探时期，钻井位置的选择具有随机性，即任意钻井方案都是等可能的；3) 任意符合要求的钻井位置均是可实现的，不考虑其它现实性因素的影响3. 符号说明1) 点集{Pi }:表示已有点〔即旧井〕；2) Xi ：网格结点；4. 问题分析由问题重述可知，钻井布局问题可简化为定点Pi与动点Xi或动点Pi与定点Xi在一定条件下重合〔或近似重合〕的问题考虑到Pi点分布不规如此，且相对点集X而言数量固定，在实际情况中又多为条件，而Xi点虽数量不定，但均匀分布在网格N上，各点之间相互联系，在一定前提下完全可以以其中一点X0作为参考点，准确表示点集X，继而得到网格N的具体位置。

因此，本文将以Pi为定点，考虑在Xi变化即网格N移动的情况下，如何获得N的最优位置，以此确定新井的布局最优位置：能够使得尽可能多的点Xi 与点Pi重合〔或近似重合〕为了描述方便，我们将变换前后网格看成两个不同的坐标系，两个坐标系之间存在相互转化关系，Pi所在坐标系记为xoy，Xi所在坐标系记做x 'o 'y ' ，将坐标系转化问题转化为点在变化坐标系中坐标变化问题4.1. 网格N平行移动，Pi与Xi尽可能多重合图-1P0X0由于Xi均匀分布在网格N上，且各结点距离恒定为1，因此，可将每个单位网格作为单位模型进展讨论在定点Pi中任取一点、在网格N中任取一单位网格，分别记作P0,N0，该单位网格左下角结点记作X0，由此构成单位模型〔如图4.1-1所示〕固定P0，由于网格N0可移动，易知其余结点的情况与X0类似，可视为等价，故在此仅考虑P0与X0重合的情况图4.1-1中，阴影局部为边长为0.1单位的正方形S，其几何中心为结点X0依题设所述，当P0落在正方形S内部时，我们可以认为P0与正方形S的几何中心X0重合，由此可得到一个以X0为原点的坐标系x'o'y'，从而得到以坐标轴为边界的网格N在假设1)的前提下，Pi最多在一个单位网格内，且最多与一个结点重合，各个单位网格内部情况相互独立，并不相互影响。

网格N平行移动时，坐标系xoy与坐标系x'o'y'始终保持平行，由此我们考虑直接将各个网格重叠，在单位网格中观察Pii进展考察，当有最多P点落在S内部时，Pi与Xi重合最多，由此产生的网格N可以满足“可利用的旧井数尽可能大〞的条件4.2. 网格N可旋转，Pi与Xi尽可能多重合图-1P0X0由于此题中网格N可以旋转，故坐标系xoy与坐标系x'o'y'不再始终保持平行，直接重叠各个网格不可行为了利用题1的方法，我们可以利用坐标变换对在坐标系xoy下的Pi坐标进展处理，使其具有在坐标系x'o'y'下的坐标，由此转化为题1的形式由于需要采用欧氏距离，此题中将正方形S改换成圆形C即可，其圆心为X0，直径为0.1单位〔如图4.2-1〕 欧氏距离：d = sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2〕4.3. 判定全部Pi与Xi重合由以上分析可知，当单位方格中的Pi全体落入正方形S或圆形C时，可认为全部Pi与图形的几何中心X0重合，即存在网格N满足任意Pi均有与之重合的结点X参照单位模型的形成过程就可以给出判定这些井均可利用的条件，利用编程等方法就能方便的进展判定如图4.3.1所示，将全部P点经坐标变换后蜕化到单位模型中，用参考正方形或参考圆形考察全部P的分布情况。

5. 模型准备将坐标系平面形象为由N个网格构成的模式，并根据公式将各点蜕变到一个网格中，即将其坐标进展平移旋转之后落在第一个网格中再进展讨论判断，通过使之满足与题目要求等价的在该单位网格中的位置要求，从而确定网格的一个结点位置和方向就可以确定整个网格位置，由N化为“1〞，将复杂多变的变得简单明了，大大简化模型5.1. 线性变换设和分别是同一个纯量域F上的维向量空间和维向量空间；设和分别是和的基我们可以分别用同构和把和中的向量表示成F上的元组和元组一个线性变换是一个函数，使得对于任意纯量和以与向量和，都有.一个矩阵可以用下述方式对应一个线性变换：向量当且仅当，这时就称矩阵A表示线性变换T〔关于基和〕；表示矩阵A与基的选择有关5.2. 旋转变换简称旋转.欧氏几何中的一种重要变换.即在欧氏平面上(欧氏空间中),让每一点P绕一固定点(固定轴线)旋转一个定角,变成另一点P',如此产生的变换称为平面上(空间中)的旋转变换.此固定点(固定直线)称为旋转中心(旋转轴),该定角称为旋转角.旋转是第一种正交变换. 　　假设初始点中心点矩阵(表示转置,为从到的旋转角差值)那么证明： 　设圆心为,半径为的圆C为:，如此P点位于圆上,设向量与x轴夹角是;另设一点P'在圆上，且向量与向量的夹角是,可得: ①②由于:，得到:代入①②得: 　　即，其中6. 模型建立和求解图66.1. 在平面上平行移动网格N,使可利用的旧井数尽可能大我们首先在Pi所属平面建立坐标系xoy，在网格N所属平面建立坐标系x'o'y'。

初始状态下，假设坐标系xoy与坐标系x'o'y'的原点与坐标轴重合在坐标系xoy上标注Pi坐标，由此得到旧井的分布情况根据题中所给具体数据，得到n=12时旧井分布如图6.1.1根据假设2)，我们认为Pi在坐标系xoy平面内随机分布，P点落在平面内各点的可能性一样，且任意点P均为孤立点，各点之间的分布情况互不影响P的坐标分布具有随机性，独立性当P点坐标确定之后，假设此时网格N也确定，如此P点在坐标系x'o'y'下的坐标也确定下来，P点相对于其所在网格的位置也随之固定因此，P所在位置可由在单位网格中的相对位置表示我们用P相对于单位网格的相对坐标Pi(a'i,b'i)取代P相对于原坐标系xoy的一般坐标Pi(ai,bi)根据问题分析，我们将每个网格与其中的P点作为单位模型如上所述，P点分布具有随机性与独立性，因此，单位模型之间也相互独立，互不影响因为每个网格性质一样，我们将单位模型彼此重叠，将Pi的相对坐标标注在同一坐标系下根据题设，单位网格边长为1，如此Pi(a'i,b'i)分布在以〔0,0〕，〔0,1〕〔1,1〕〔1,0〕为顶点的正方形区域内，即只需取Pi(ai,bi)的小数局部作为新的坐标。

n=12时，Pi(ai,bi)新的坐标Pi(a'i,b'i)如表格 6.1-1所示：表格 6.1-1i123456789101112a'ib'i 至此，我们得到Pi在单位模型中的分布情况，如图6.1.2所示根据问题分析，我们取边长为0.1单位的正方形S为考察正方形，其几何中心为结点X0依题设所述，当P落在正方形S内部时，我们可以认为P与正方形S的几何中心X0重合要使可利用的旧井数尽可能达，就需要考察正方。