多元函数的极限与连续习题.doc

多元函数的极限与连续习题1. 用极限定义证明:2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性1）；(2) ；(3) ；(4) 3. 求极限 （1）； （2）； （3）； （4）4. 试证明函数在其定义域上是连续的1. 用极限定义证明:因为，不妨设，有， ，要使不等式 成立取，于是， ，：且 ，有，即证2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性1）；， ，二重极限不存在或 ， 2) ；可以证明 所以 当，时，极限不存在，因此 不存在，同理 不存在3) ；，当 P(x, y)沿着趋于（0,0）时有 ， 所以 不存在；， (4) ∴ ， ， 不存在3. 求极限 （1）； ， 又 ， ∴ （2）； （3）； ，而 故 （4） 令，， 时，，。

4. 试证明函数在其定义域上是连续的证明：显然f(x, y)的定义域是xy>-1.当时，f(x, y)是连续的， 只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续 以下分两种情况讨论1） 在原点（0,0）处f(0, 0)=0, 当时,由于 不妨设 ， ，从而 ， 取，当时， ，于是，无论，当时，都有 （2） 在处当时， 当x=0时, ,注意到，当时 ，于是，无论， 当时 ，即 f(x, y)在在处连续，综上，f(x, y)在其定义域上连续。