初谈反例在初中数学教学中的作用.docx

    初谈反例在初中数学教学中的作用    【摘 要】数学家盖尔鲍姆说过：“一个数学问题如果用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好戏剧在教学中利用反例可以有效地激发学生的求知欲，通过反例能使学生加深对基础知识的理解反例不但是纠正错误的常用方法，而且是发现问题的重要途径，通过反例的构造可以培养学生的发散性思维和创造思维综合运用反例，不仅可以达到以反辅正、殊途同归的目的，而且能很好地培养和训练学生的反向思维能力Keys】反例；构造；思维逻辑；推导在数学发展史中，有很多著名的命题从正面百思不得其解，而举反例使问题得到了解决，反例与证明具有同等重要的地位当我们要证明某一命题成立时，必须经过严密的逻辑推导，而否定这个命题，通过列举出与这个命题结论相矛盾的例子，即举反例就可以了举反例往往会收到事半功倍的效果 一、数学反例及其应用所谓数学中的反例,是指符合某个命题条件，而又不符合该命题结论的例子简单的说，反例是一种指出某命题不成立的例子数学讲究逻辑，证明要言必有据但是世上所谓“证明”，其目的是为了说服别人相信某个真理，而说服人的方法有许多种，其中就有举反例若举不出反例，则该事不能不真，相反，若举出了反例，则该事必为假。

例：在一个三角形中，内切圆的半径为r，外切圆的半径为R，最长的高为H，则r +R≤H分析：要证明此问题，从正面不容易下手，但是我们可以画出图像加以分析然后构造反例举特殊化的例子：若这个三角形为等边三角形，则r=H／3,R=2H／3,于是上述结论正确二、反例在数学教学中的功能1.反例是使学生加深理解概念的重要工具数学概念是中学数学教学的重要内容，是思维的细胞学好数学概念是学好中学数学知识，提高数学思维能力的基础所以，加强数学概念的学习是中学数学教学的重要任务事实上，现实中的中学教学的概念教学不尽人意学生往往对数学概念缺少深刻的理解就数学教学而言，素质教育提倡的是为理解而教教学上需要用不同的策略处理，用不同的理论指导就数学学习的内容而言，常规训练是否对概念形成有作用，是否有利于理解领会，还需要从内容方面剖析概念形成的过程，要构造自己理解的概念，从而达到学习目的在初二学习函数定义时：在某一变化过程中,存在两个变量x，y当变量x在某一允许变化范围内任取一个值通过某种对应法则，使得都有唯一的y值与之对应，则称y是x 的函数，记作y=f(x)其中x叫做自变量，y叫因变量表面上，同学们都认为这个定义不需要解释也能明白、理解。

仔细分析下来，很多学生对上述定义中“任取”和“唯一”这两个词语理解不透于是教师就在此处引用几个反例来说明所谓“任取”和“唯一”所指的具体含义2.反例是否定命题的重要方法由于反例在否定一个命题时具有特殊的重要意义因此在教学中充分利用反例的这一特点适当地运用反例，可以收到事半功倍的效果 3.反例是数学思维能力培养的重要手段利用反例,可使学生克服思维定势，有利于培养思维的灵活性在教学过程中，学生在教师习惯性程序的影响下容易形成固定的思维模式,即定势思维定势对解决相同类型的问题有积极的作用，而对解决变形的问题则会起到消极作用思维定势是客观的存在，学生的认识过程是在现有的定势上发生的举反例就是一种解决问题有效的数学思维方法利用反例，克服思维定势，抑制产生负迁移，有助于培养思维的灵活性例：一元二次方程ax2+bx+c=0有实根的充要条件是△≥0分析：在实数范围内这是对的，但在复数范围内这是错误的由此，可举反例：①ix2+i=0?圯x=+i或-i，其判别式△=02-4i2＞0②ix2-i=0?圯x=±1，其判别式△＜02+4i2<0所以对复系数一元二次方程，△≥0既不是方程有实根的充分条件，也不是方程有实根的必要条件。

由此可见,囿于定势会产生墨守成规、机械记忆等负面效应，此时举反例恰恰是解决这一弊端的有力方法三、历史上伟大的反例构造在数学的发展史中，数学家一直猜想：“连续函数在其定义区间中，不可导点是有限的许多年来数学家们一直认为这是个正确的结论，但是一直未能给出相应的证明！直到后来我们伟大的数学家Weierstrass在1872年构造出了一个处处连续又处处不可导的函数，为上述猜想做了一个否定的终结：反例的构造是一种非常重要的数学技能，由于数学本身的抽象性，使得反例的构造不是一件轻而易举的事情，所以我们在教学过程中应重在展示反例构造的思维过程，经常进行训练！当然这不是一件简单容易的事情，需要长期不断地努力和探索！四、结束语本文阐述了数学中反例及其应用，同时也收集了一些与教材相关的重要反例，它使我们体会到用反例来解决一些数学问题带给人的愉悦感，也让我们意识到反例在教学中具有不可忽视的作用适当的应用反例可提高教学质量，同时也能促进学生思维能力的发展Reference】[1]方初宝：数学分析选讲[M]，南宁：广西人民出版社，1986-86-152[2]席振伟：数学思维方式[M]，南京，江苏教育出版社，1995[3]罗增儒：数学解题学引证[M]，西安，陕西师范大学出版社，1997[4]沈山剑：教育实践研究2002（1）-46-47（作者单位：四川省广安市五福初级中学）  -全文完-。